8. Cấu trúc luận văn
2.2.2 Thiết kế tình huống dạy học định lý về góc trong không gian
a) Định lý 1: Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
“Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc
một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy” [25, trang 99]
– Hoạt động tiếp cận định lý
(!) Tháp Pisa (Nước Ý–1173) ngay trong khi đang xây, tòa tháp đã bắt đầu nghiêng vì lún, ngày nay tháp nghiêng ổn định một góc 3,97oso với phương thẳng đứng.
(?) Trong xây dựng, người ta làm thế nào để có thể dựng các trụ cột cho công trình thẳng đứng so với mặt đất?
Hình 2.22 Xây dựng các cột trụ công trình
<!> Khi dựng các cột trụ cho công trình, thợ xây dùng dây dọi để xác định phương thẳng đứng. Hai người đứng ở hai vị trí khác nhau, mỗi người cầm một dây dọi hướng đến một cột trụ cần dựng. Khi hai quả dọi đứng yên thì phương của dây dọi sẽ là phương cần dựng cột.
(?) Ở hình 2.23 có hai người dùng dây dọi để xác định phương thẳng đứng của cột trụ ở hai vị trí khác nhau. Nếu chỉ xác định phương thẳng đứng ở một vị trí có được không?
(?) Trong hình học, mặt đất được quy về một mặt phẳng, cột trụ quy về đường thẳng. Vậy, nếu một đường thẳng d chỉ vuông góc với một đường thẳng a
thuộc mặt phẳng (α) thì đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (α)?
Hình 2.24 Đường thẳng vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng.
<!> Nếu đường thẳng d chỉ vuông góc với một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (α) thì đường thẳng d chưa chắc chắn là vuông góc với mặt phẳng (α)?
– Hoạt động phát hiện định lý
(!) Vậy để chắc chắn đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì đường thẳng d phải vuông góc với ít nhất hai đường thẳng thuộc mặt phẳng (α). Ta lần lượt xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng song song cùng thuộc mặt phẳng (α).
Dùng phần mềm GeoGebra biểu diễn hình ảnh: Đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại H và vuông góc với hai đường thẳng a và b song song với nhau thuộc (α).
Sử dụng chức năng di chuyển để quay đường thẳng d quanh điểm H sao cho d luôn luôn vuông góc với haiđường thẳng a và b.
(?) Yêu cầu học sinh nhận xét số đo góc giữa cặp đường thẳng d, a và số đo góc giữa cặp đường thẳng d, b khi đường thẳng d quanh quanh H.
Hình 2.25 Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song.
<!> Khi d quay quanh H thì góc giữa cặp đường thẳng d, a và góc giữa cặp đường thẳng d, b không đổi và bằng 90o
, hay đường thẳng d luôn vuông góc với hai đường thẳng song song a và b.
Từ hoạt động trên, học sinh khám phá ra rằng:
<!> Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a và b song song thuộc mặt phẳng (α) thì đường thẳng d chưa chắc song song với mặt phẳng (α).
Học sinh sẽ có nhận định: Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là đường thẳng đó phải vuông góc với hai đường thẳng không được song song với nhau thuộc mặt phẳng. Mà trong mặt phẳng không song song nghĩa là cắt nhau.
Trường hợp 2: Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng (α). Trong trường hợp này, giáo viên hướng dẫn học sinh thông qua bài toán 2.4.
– Hoạt động chứng minh định lý
Bài toán 2.4 Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau trong mặt phẳng (α). Đường thẳng d vuông góc với cả hai đường thẳng a và b. Gọi c là đường thẳng bất kì nằm trong mặt phẳng (α). Chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c.
<!> Gọi a
,b ,c
,d
lần lượt là véctơ chỉ phương của đường thẳng a,b, c, d.
Hình 2.26 Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau.
Vì d a d b nên . 0 . 0 d a d b Vì ba véctơ a , b , c đồng phằng và hai véctơ a , b không cùng phương nên cma nb
(phân tích một véctơ theo hai véctơ không cùng phương). Ta xét tích vô hướng: d c .
= (d ma nb)
= md a nd b. . = 0
<!> Vậy đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c bất kì nằm trong (α) nên theo định nghĩa thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α).
Đến đây học sinh khám phá ra rằng:
<!> Nếu không có điều kiện a và b cắt nhau thì ta sẽ không thể phân tích véctơ c
theo hai véctơ a
và b
, dẫn đến không thể giải được bài toán.
(?) Việc giải bài toán trên, xem như một bài chứng minh định lý. Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu định lý.
<!> Định lý: Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là đường thẳng đó phải vuông góc với ít nhất hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng.
(!) Giáo viên chỉnh sửa phát biểu định lý dạng “nếu … thì…”: “Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy”. [25, trang 99]
(?) Yêu cầu học sinh phát biểu hệ quả 1 và hệ quả 2 của định lý 2.
<!> Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
<!> Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng (α) và () vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng () thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (α).
– Hoạt động củng cố định lý
Bài toán 2.5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SB = SC,
M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng BC (SAM).
Hình 2.27 Hình chóp tam giác đều S.ABC.
(?) Yêu cầu học sinh trình bày bài giải chi tiết. <!> Với M là trung điểm của BC, ta có:
Tam giác ABC đều nên BCAM (SAM) (1) Tam giác SBC cân tại S nên BCSM (SAM) (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC vuông góc với hai đường thẳng AM và SM cắt nhau tại M và cùng trong mặt phẳng (SAM) nên BC (SAM).
b) Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
“Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng
này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia” [25, trang108]
– Hoạt động tiếp cận định lý
(!) Sử dụng phần mềm GeoGebra biểu diễn hình ảnh: Mặt phẳng () cắt mặt phẳng (α) theo giao tuyến t chứa điểm H. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) tại H, đường thẳng d’ đi qua H và nằm trong mặt phẳng ().
Hình 2.28 Biểu diễn mặt phẳngquay quanh giao tuyến.
Sử dụng chức năng di chuyển để quay mặt phẳng () quanh giao tuyến t. Gọi là góc giữa d’ và (α); là góc giữa d’ và d.
Cho hiển thị số đo góc và khi mặt phẳng () quay quanh t.
Cho dừng lại ở vài vị trí, trong đó có một vị trí ngẫu nhiên (Hình 2.28 a) và một vị trí đặc biệt (Hình 2.28 b).
(?) Yêu cầu học sinh nhận xét.
<!> Tổng của hai góc và luôn bằng 90o
.
<!> Hai mặt phẳng sẽ trùng với nhau khi d vuông góc d’. <!> Đường thẳng d trùng với d’ khi góc bằng 0o
. <!> Đường thẳng d trùng với d’ khi góc bằng 90o
. <!> Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi d trùng với d’. <!> Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi góc bằng 0o
(?) Yêu cầu các em kiểm chứng nhận định của mình thông qua bài toán:
– Hoạt động chứng minh định lý
Bài toán 2.6 Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α). Một mặt phẳng () tùy ý chứa đường thẳng d. Chứng minh rằng (α) ().
Hình 2.29 Mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
(?) Yêu cầu học sinh tìm cách giải bài toán.
(!) Áp dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng: Từ bài toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta đưa về bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Hai đường thẳng này là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Hình 2.30 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Trên (α) dựng đường thẳng a đi qua H và vuông góc với t. (1) Vì d vuông góc với (α) nên d vuông góc với đường thẳng a. (2)
(1) cho ta: ( ) (2) cho ta: ( ) a t a d
Suy ra đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ().
Như vậy, góc giữa hai mặt phẳng (α) và () chính là góc giữa hai đường thẳng d và a lần lượt vuông góc với (α) và () và bằng 90o hay (α) ().
– Hoạt động phát hiện định lý
(?) Thông qua việc chứng minh bài toán trên, yêu cầu học sinh rút ra một định lý có liên quan?
<!> Học sinh phát biểu định lý: Nếu mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () thì hai mặt phẳng (α) và () vuông góc với nhau.
(?) Điều ngược lại có đúng không? Nghĩa là nếu hai mặt phẳng (α) và () vuông góc với nhau thì liệu mặt phẳng (α) có chứa ít nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng () không?
(?) Yêu cầu học sinh chúng minh tương tự bài toán trên. <!> Học sinh trình bày chứng minh.
(?) Yêu cầu học sinh phát biểu định lý với “Điều kiện cần và đủ…”
<!> “Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt
phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia” [25, trang 108]
– Hoạt động củng cố định lý
Bài toán 2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA
vuông góc với đáy. Chứng minh rằng:
i. (SAC) (ABCD).
Hình 2.31 Hình chóp S.ABCD.
(?) Yêu cầu học sinh trình bày bài giải chi tiết. <!> Hai học sinh lên bảng trình bày bài giải:
i. Chứng minh (SAC) (ABCD).
Mặt phẳng (SAC) chứa SA vuông góc với (ABCD) nên (SAC) (ABCD).
ii. Chứng minh (SAC) (SBD).
Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SABD (1) Tứ giác ABCD là hình vuông nên AC BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD vuông góc với hai đường thẳng SA và AC cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SACM) nên BD vuông góc với (SAC).
Mặt phẳng (SBD) chứa BD vuông góc với (SAC) nên (SBD) (SAC).
c) Định lý 3: “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó” [25, trang
109]
– Hoạt động tiếp cận định lý
(?) Yêu cầu học sinh nhắc lại "định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng": <!> Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng: “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đội một song song.” [25, trang 57]
(!) Giáo viên dùng phần mềm GeoGebra trình chiếu hai trường hợp ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến a, b, c.
– Trường hợp thứ nhất, ba giao tuyến đôi một song song với nhau; – Trường hợp thứ hai, ba giao tuyến đồng quy tại H.
Hình 2.32 Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau.
(!) Trong thực tế chúng ta thường nhìn thấy những vật dụng có hình dạng tương tự mô hình ba mặt phẳng cắt nhau như: nhà ở, cầu đường, bàn ghế,…
Ví dụ, một căn nhà đơn giản như nhà kho, phần mái nhà là mô hình của ba mặt phẳng cắt nhau có ba giao tuyến đôi một song song với nhau. Phần hai vách liền kề và nền là mô hình ba mặt phẳng cắt nhau có ba giao tuyến đồng qui.
(!) Trên hình 2.33, ta quan tâm đến ba mặt phẳng gồm: hai mặt phẳng vách (α), () và mặt phẳng nền nhà (γ). Ba mặt phẳng này lần lượt cắt nhau theo ba giao tuyến a, b, t và đồng qui tại H (hình 2.34).
Hình 2.34 Ba mặt phẳng có ba giao tuyến đồng qui.
(?) Hai mặt phẳng (α) và () cùng vuông góc với mặt phẳng (γ). Vấn đề đặt ra là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (), chính là đường thẳng t, có vuông góc với mặt phẳng (γ) không?
(!) Dùng phần mềm GeoGebra biểu diễn hình ảnh: Hai mặt phẳng (α) và () cùng vuông góc với mặt phẳng (γ). Mặt phẳng (α) cắt mặt phẳng () theo giao tuyến t.
Sử dụng chức năng di chuyển để di chuyển hai mặt phẳng (α) và (). Khi hai mặt phẳng (α) và () di chuyển, giao tuyến t cũng thay đổi.
Hiển thị số đo góc giữa cặp đường thẳng (t, a) và cặp đường thẳng (t, b). Khi (α) và () di chuyển, các số đo này luôn là 90o
.
Hình 2.35 Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
α γ β a b t H α γ β
(?) Giao tuyến t có vuông góc với mặt phẳng (γ) không?
<!> Có. Vì góc giữa đường thẳng t và hai đường thẳng a, b luôn bằng 90o
. Nghĩa là đường thẳng t luôn vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng (γ).
(!) Để có kết luận chính xác cho khẳng định này, ta xét bài toán 2.7.
– Hoạt động chứng minh định lý
Bài toán 2.7 Cho hai mặt phẳng (α) và () cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng (γ). Chứng minh giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và () vuông góc với mặt phẳng (γ).
(?) Yêu cầu học sinh nghiên cứu và trình bày bài giải.
<!> Giả sử t là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (). Ta cần chứng minh đường thẳng t vuông góc với mặt phẳng (γ).
Hình 2.36 Hai mặt phẳng cắt nhau vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Từ một điểm A trên giao tuyến t ta dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (γ). Theo hệ quả 2 của định lý 2 ở trên thì d nằm trong mặt phẳng (α) và d
nằm trong mặt phẳng ().
Vậy d trùng với t, nghĩa là t vuông góc với mặt phẳng (γ).
(?) Thông qua việc chứng minh bài toán trên, bạn nào có thể rút ra một định lý có liên quan?
<!> Học sinh phát biểu định lý: “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó” [24, trang 109]
– Hoạt động củng cố định lý
Bài toán 2.8 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD).
Hình 2.37 Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
(!) Bài toán có nhiều cách giải.
(?) Yêu cầu học sinh trình bày một số cách giải.
<!> Cách 1: Áp dụng Định lý 3 vừa học: Để chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) ta chứng minh AC’ là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (A’BD). Ta chọn mặt phẳng thứ nhất là (ACC’A’) và mặt phẳng thứ hai là (ABC’D’), hai mặt phẳng này có giao tuyến là AC’.
Mặt phẳng (A’BD) chứa đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng
(ACCA’) nên mặt phẳng (A’BD) vuông góc với mặt phẳng (ACCA’). Tương tự,
mặt phẳng (A’BD) vuông góc với mặt phẳng (ABC’D’). Suy ra AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) tại H.
<!> Cách 2: Áp dụng Định lý 1: Để chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) ta chứng minh AC’ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (A’BD).
Vì BD vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’) nên BD vuông góc với AC’. Tương tự, A’D vuông góc với mặt phẳng (ABC’D’) nên BD vuông góc với AC’.
Vậy AC’ vuông góc với cả hai đường thẳng BD và A’D thuộc mặt phẳng (A’BD) nên AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD).