Thiết kế tình huống dạy học giải bài tập về góc trong không gian

8. Cấu trúc luận văn

2.3.2 Thiết kế tình huống dạy học giải bài tập về góc trong không gian

a) Dạng bài tập tìm góc giữa hai đường thẳng

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = 3

2

a

. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

– Hoạt động tìm hiểu nội dung bài toán

(?) Yêu cầu học sinh nêu rõ giả thiết và kết luận của bài toán.

Giả thiết Kết luận

– AB = CD = a

– M là trung điểm của BC

– N là trung điểm của AD

– MN = 3 2

a

– Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

(?) Hai đường thẳng AB và CD có nằm trong cùng mặt phẳng không? <!> Hai đường thẳng AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

(?) Hãy nêu cách xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

<!> Từ một điểm O tùy ý, ta vẽ đường thẳng a song song với đường thẳng

AB, vẽ đường thẳng b song song với đường thẳng CD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD chính là góc giữa hai đường thẳng a và b.

(?) Vậy trong trường hợp này các em lựa chọn điểm O ở vị trí nào cho phù hợp?

<!> – Từ điểm B vẽ đường thẳng By song song với CD; – Từ điểm C vẽ đường thẳng Cx song song với AB;

– Từ điểm M vẽ đường thẳng x song song với AB, vẽ đường thẳng y

Dùng phần mềm GeoGebra để biểu diễn ba trường hợp tương ứng.

a) b)

c)

Hình 2.38 Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

– Hoạt động xây dựng chương trình giải

(!) Giáo viên dùng phần mềm GeoGebra biểu diễn hình ảnh tương ứng: – Hình 2.35 a) Từ B vẽ đường thẳng y song song với CD, góc cần tìm là góc giữa hai đường thẳng AB và y.

– Hình 2.35 b) Từ C vẽ đường thẳng x song song với AB, góc cần tìm là góc giữa hai đường thẳng x và CD.

– Hình 2.35 c) Từ điểm M vẽ x song song với AB, vẽ y song song với CD, góc cần tìm là góc giữa hai đường thẳng x và y.

(?) Yêu cầu học sinh nêu cách xác định số đo các góc tương ứng. <!> Trường hợp a) và b) khó xác định số đo góc.

Trường hợp c) thì có thể xác định được dễ dàng vì giả thiết cho độ dài

MN = 3

2

a

, thuận lợi cho tính số đo góc.

(?) Có nhận xét gì về đường thẳng x đối với ABC? Tương tự, có nhận xét gì về đường thẳng y đối với BCD?

<!> Đường thẳng x là đường trung bình trong ABC, đường thẳng y là đường trung bình trong BCD.

(?) Nêu cách dựng đường thẳng x và y?

<!> Ta gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD. Khi đó, đường thẳng

x, y lần lượt chính là đường thẳng MP và MQ. (?) Làm sao tính được số đo góc PMQ?

<!> Ta chứng minh tứ giác MPNQ là hình thoi nên có MN PQ. Từ đó dễ dàng tìm được số đo góc PMQ dựa vào giả thiết đã cho.

– Hoạt động thực hiện chương trình giải

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BC, I là trung điểm của MN. Khi đó, MP và MQ lần lượt là đường trung bình trong CAB và BCD. Suy ra // // AB MP CD MQ    Hình 2.39 Hình chóp ABCD.

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là góc giữa hai đường thẳng MP

và MQ hay chính là góc PMQ. Ta tính số đo góc PMQ.

Tứ giác MPNQ có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình thoi. Suy ra tam giác PMI vuông tại I.

Ta có: 3 3 2 4 cos 2 2 2 MN a MI PMI AB a MP      PMI30o Suy ra PMQ 2PMI 60o

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60o.

– Hoạt động kiểm tra và nghiên cứu lời giải

(?) Yêu cầu học sinh nêu ngắn gọn các bước giải bài toán trên.

<!> Bước 1: Từ bài toán xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD chéo nhau trong không gian, ta đưa về bài toán xác định góc giữa hai đường thẳng

MP và MQ cùng nằm trong mặt phẳng (MPNQ).

Bước 2: Sử dụng giả thiết của bài toán và kiến thức của hình học phẳng

ta xác định số đo góc giữa hai đường thẳng MP và MQ.

(?) (Phát triển bài toán) Nếu thay đổi giả thiết AB = CD = a bởi giả thiết

ABCD, chẳng hạn thay AB = a, CD = b thì bài toán giải như thế nào?

(!) (Phát biểu bài toán tổng quát) Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = c. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD theo a, b, c.

<!> Trong bài toán trên, dựa vào giả thiết AB = CD = a ta đã chứng minh tứ giác MPNQ là hình thoi dẫn tới tam giác MPI vuông tại I và ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính số đo góc PMI

Hình 2.40 Hình thoi MPNQ và hình bình hành MNPQ.

<!> Với giả thiết AB = a, CD = b, MN = c, tứ giác MPNQ là hình bình hành. Ta áp dụng định lý Côsin để tính số đo góc PMQ theo a, b, c.

Ta có: PMQPMI IMQPMIINP180oMPN

Với 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 cos 2 . 2 2 2 2 a b c PM PN MN a b c MPN a b PM PN ab                               Vậy 2 2 2 4 180 arccos 2 o a b c PMQ ab          

(?) Bài toán ban đầu là một trường hợp riêng của bài toán tổng quát. Yêu cầu học sinh kiểm tra lại bài toán với những giá trị riêng trên.

<!> Ta thay các giá trị của bài toán ban đầu bởi b = a, c = 3 2 a . Khi đó     2 2 2 3 4 2 1 180 arccos 180 arccos 60 2 2 o o o a a a PMQ a a                                M Q I 2 a 2 b P N c N M P Q I 2 a 2 a 3 2 a

b) Dạng bài tập tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD) sao cho SA = SB = SC = SD = a. Tính số đo góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD).

– Hoạt động tìm hiểu nội dung bài toán

(!) Trước hết, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách dựng điểm S sao cho SA = SB = SC = SD.

(!) Sử dụng phần mềm GeoGebra biểu diễn hình ảnh: Hình chóp S.ABCD

có SA = SB = SC = SD (đáy ABCD là tứ giác nội tiếp bất kì).

(!) Dùng chức năng di chuyển để di chuyển điểm S trên đường thẳng SO. (!) Cho hiển thị số đo độ dài các đoạn thẳng SA, SB, SC, SD và SO.

(!) Cho dừng lại ở vài vị trí, trong đó có vị trí ngẫu nhiên và vị trí đặc biệt

(?) Yêu cầu học sinh nhận xét.

<!> Khi S thay đổi thì SA = SB = SC = SD. <!> Khi SO = 0 thì SO.

<!> Khi S thay đổi thì O luôn là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD). <!> OA = OB = OC = OD.

<!> …

(?) Tập hợp những điểm cách đều các điểm A, B, C, D có đặc điểm gì? <!> Tập hợp những điểm cách đều các điểm A, B, C, D nằm trên trục của tứ giác ABCD.

(?) Vậy làm thế nào để dựng được điểm S?

<!> – Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD; – Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD); – Trên d lấy điểm S sao cho SA = a.

(!) Giáo viên lần lượt đặt câu hỏi để học sinh khám phá cách xác định trục của một số đa giác thường gặp, sau đó sử dụng GeoGebra trình chiếu từng trường hợp để minh họa cho kiến thức học sinh vừa khám phá.

(?) Trường hợp tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD xác định bằng cách nào?

<!> Tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật (kể cả hình vuông) là giao điểm hai đường chéo.

(?) Trường hợp tứ giác ABCD là hình thang cân thì tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD xác định bằng cách nào?

Hình 2.43 Cách dựng trục của hình thang cân.

<!> Tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang cân là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh bên.

(?) Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp thì tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD xác định bằng cách nào?

Hình 2.44 Cách dựng trục của tứ giác nội tiếp.

<!> Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác nội tiếp ABCD là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh bên.

(?) Trường hợp tam giác ABC là tam giác đều thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC xác định bằng cách nào?

Hình 2.45 Cách dựng trục của tam giác đều.

<!> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác. (?) Trường hợp đáy là tam giác thường thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác xác định bằng cách nào?

Hình 2.46 Cách dựng trục của tam giác thường.

<!> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác.

(?) Đa giác nào cũng có trục đúng không các em?

<!> Không phải đa giác nào cũng có trục, chỉ những đa giác nào nội tiếp một đường tròn mới có trục.

(!) Trở lại bài tập 2

(?) Giáo viên yêu cầu học sinh nêu rõ giả thiết và kết luận của bài toán.

Giả thiết Kết luận

– ABCD là hình vuông cạnh bằng a

– S (ABCD)

– SA = SB = SC = SD = a

– Số đo góc giữa đường thẳng

SD và mặt phẳng (ABCD). (?) Vị trí điểm S có gì đặc biệt?

<!> Điểm S nằm trên trục của hình vuông ABCD và cách các đỉnh của hình vuông một khoảng cách bằng a.

– Hoạt động xây dựng chương trình giải

(!) Sử dụng mềm GeoGebra hiển thị từng bước xác định điểm O và điểm S, chỉ ra cho học sinh thấy được các tính chất của hình.

Hình 2.47 Các bước dựng trục của hình vuông ABCD.

(?) Từ hình vẽ, yêu cầu học sinh nêu cách xác định góc giữa đường thẳng

SD và mặt phẳng (ABCD).

<!> OD là hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) chính là góc SDO.

– Hoạt động thực hiện chương trình giải

Ta có OD là hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) chính là góc SDO.

Ta tính số đo góc SDO.

Hình 2.48 Hình chóp S.ABCD.

Vì ABCD là hình vuông cạnh bằng a nên OD = 2

2 2

BD a

 .

SOD vuông tại O nên

2 2 2 cos 2 a OD SDO SD a     SDO45o

Vậy góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là 45o

– Hoạt động kiểm tra và nghiên cứu lời giải

(?) Yêu cầu học sinh nêu ngắn gọn các bước giải bài toán trên.

<!> Bước 1: Từ bài toán xác định góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) trong không gian, ta đưa về bài toán xác định góc giữa hai đường thẳng

SD và OD cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Bước 2: Sử dụng giả thiết của bài toán và kiến thức của hình học phẳng ta xác định số đo góc giữa hai đường thẳng SD và OD.

(?) (Phát triển bài toán) Nếu thay đổi giả thiết ABCD là hình vuông cạnh a

bởi giả thiết ABCD là hình chữ nhật cạnh a và b, và SA = SB = SC = SD = c thì bài toán giải như thế nào?

(!) (Phát biểu bài toán tổng quát) Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a,

BC = b. Điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD) với SA = SB = SC = SD = c. Tính số đo góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD).

(?) Yêu cầu học sinh nghiên cứu giải bài toán tổng quát.

<!> Trong bài toán trên, dựa vào giả thiết ABCD là hình vuông cạnh a, ta dễ dàng suy ra OD = 2

2 2

BD a

 , nhưng với hình chữ nhật ABCD thì ta phải áp dụng định lý Pitago để tính độ dài OD. Còn việc tính góc SDO vẫn áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Ta có: OD =

2 2 2 2

2 2 2

BD AB BC a b

  .

SOD vuông tại O nên

2 2 2 2 2 cos 2 a b OD a b SDO SD c c     

Vậy góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là

2 2 arccos 2 a b c 

(?) Bài toán ban đầu là một trường hợp riêng của bài toán tổng quát. Yêu cầu học sinh kiểm tra lại bài toán với những giá trị riêng trên.

<!> Ta thay các giá trị của bài toán ban đầu bởi b = c = a. Khi đó: 2 2 ( ) 2 arccos arccos 45 2( ) 2 o a a SDO a    

c) Dạng bài tập tìm góc giữa hai mặt phẳng

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc

60o

BAD . Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy và SO = 3 4

a

. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD).

– Hoạt động tìm hiểu nội dung bài toán

Giả thiết Kết luận – ABCD là hình thoi cạnh bằng a. – ACBD = O. – SO (ABCD). – BAD60o. – SO = 3 4 a

– Số đo góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD).

(?) Vị trí điểm S có gì đặc biệt?

<!> S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. (?) Vậy làm thế nào để dựng được điểm S?

Hình 2.49 Hình chóp S.ABCD.

<!> – Xác định tâm O của hình thoi ABCD cạnh bằng a;

– Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD); – Trên d lấy điểm S sao cho SO = 3

4

a

.

– Hoạt động xây dựng chương trình giải

(!) Giáo viên dùng phần mềm GeoGebra hiển thị từng bước xác định điểm

O và điểm S, chỉ ra cho học sinh thấy được tính chất của các hình.

(?) Với giả thiết đã cho, yêu cầu học sinh nhận xét về hình thoi ABCD. <!> ABCD là hình thoi cạnh bằng a có góc BAD60o.

(?) Yêu cầu học sinh vẽ hình trên giấy nháp. Có nhận xét gì về ABD? <!> Tam giác ABD cân tại A và có góc BAD60o nên là tam giác đều. (!) Giáo viên có thể chỉ ra cho học sinh thấy hình thoi ABCD được tạo thành từ hai tam giác đều ghép lại.

Hình 2.50 Hình thoi ABCD.

(?) Yêu cầu học sinh nêu cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).

<!> Dự đoán ý kiến 1: Tìm hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD), góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) chính là góc giữa hai đường thẳng đó;

Dự đoán ý kiến 2: Tìm hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) và cùng vuông góc với giao tuyến, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) chính là góc giữa hai đường thẳng đó.

(?) Yêu cầu học sinh nghiên cứu cách giải theo hướng đã chọn.

<!> Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) có giao tuyến là BC. Ta tìm hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) cùng vuông góc với BC.

Góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABCD) chính là góc giữa hai đường thẳng a và b.

– Hoạt động thực hiện chương trình giải

C B A D a a 60o

Hình 2.51 Hình chóp S.ABCD.

Gọi M, H lần lượt là chân đường cao hạ từ D và O xuống cạnh AB.

Khi đó AB  OH (1)

Vì SO (ABCD) nên SOAB, suy ra AB  (SOH) AB  SH (2) Từ (1) và (2) suy ra góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng OH và SH hay chính là góc SHO.

Ta tính số đo góc SHO.

Ta có: 1 1 3 3

2 2 2 4

a a

OH  DM  

SOH vuông tại O nên

3 4 tan 3 3 4 a SO SHO OH a     SHO60o

Vậy góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 60o.

– Hoạt động kiểm tra và nghiên cứu lời giải