khi tớnh hiệu văo bằng 0)
Phương trỡnh sai phõn thuần nhất cú dạng:
(Bằng cỏch chia 2 vế cho a0 để cú dạng (1.58) với a0 = 1)
Ta đó biết rằng, nghiệm của phương trỡnh vi phõn thường cú dạng hăm mũ, vỡ vậy, ta giả sử nghiệm của phương trỡnh sai phõn thuần nhất cú dạng:
yh(n) = ln (1.59) Chỉ số h được dựng để chỉ rằng đú lă nghiệm của phương trỡnh thuần nhất. Thay văo pt(1.58) ta thu được một phương trỡnh đa thức:
hay: ln –N (lN + a1lN-1 + a2lN-2 + … + aN-1l + aN) = 0
(1.60)
Đa thức trong dấu ngoặc đơn được gọi lă đa thức đặc tớnh (characteristic polynomial) của hệ thống.
Núi chung, đa thức năy cú N nghiệm, ký hiệu lă l1, l2,…,lN, cú giỏ trị thực hoặc phức. Nếu cỏc hệ số a1, a2,…, aN cú giỏ trị thực, thường gặp trong thực tế, cỏc nghiệm phức nếu cú sẽ lă cỏc cặp liờn hợp phức. Trong N nghiệm cũng cú thể cú một số nghiệm kộp (mutiple-order roots).
Giả sử rằng, tất cả cỏc nghiệm lă phõn biệt, khụng cú nghiệm kộp, thỡ nghiệm tổng quỏt của phương trỡnh sai phõn thuần nhất lă :
yh(n) = C1ln
1 + C2ln
2 + …+ CNln
N (1.61)
Ở đõy, C1 , C2 ,…,CN lă cỏc hằng số tuỳ định. Cỏc hằng số năy được xỏc định dựa văo cỏc điều kiện đầu của hệ thống.
Vớ dụ 1.13: Xỏc định đỏp ứng với tớn hiệu văo x(n) = 0 của một hệ thống
được mụ tả bởi LCCDE bậc 2 như sau:
y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = 0 (1.62)
Giải:
Ta biết nghiệm của pt(1.62) cú dạng: yh(n) = (n, thay văo pt(1.62), ta thu được:
ln - 3ln-1 - 4ln-2 = 0 hay ln -2 (l2 - 3l - 4) = 0 vă phương trỡnh đặc tớnh lă: (l2 - 3l - 4) = 0
Ta cú 2 nghiệm l1 = -1 vă l2 = 4, nghiệm của phương trỡnh thuần nhất cú dạng tổng quỏt lă:
yh(n) = C1ln
1 + C2ln2 = C1(-1)n + C2(4)n (1.63)
Đỏp của hệ thống với tớn hiệu văo bằng 0 cú thể thu được bằng cỏch tớnh giỏ trị cỏc hằng số C1 vă C2 dựa văo cỏc điều kiện đầu. Cỏc điều kiện đầu được cho thường lă giỏ trị của đỏp ứng ở cỏc thời điểm n=-1; n = -2;...; n = -N. Ở đõy, ta cú N=2, vă cỏc điều kiện đầu được cho lă y(- 1) vă y(-2). Từ pt(1.62) ta thu được:
y(0) = 3y(-1) + 4y(-2)
y(1) = 3y(0) - 4y(-1) = 13y(-1) + 12y(-2) Mặt khỏc, từ pt(1.63) ta cú:
y(0) = C1 + C2
y(1) = -C1 + 4C2
Suy ra: C1 + C2 = 3y(-1) + 4y(-2) -C1 + 4C2 = 13y(-1) + 12y(-2) Giải hệ 2 phương trỡnh trờn ta được:
C1 = (-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2) C2 = (16/5)y(-1) + (16/5)y(-2) Vậy đỏp ứng của hệ thống khi tớn hiệu văo bằng 0 lă:
yh(n) = [(-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)](-1)n + [(16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)](4)n (1.64)
Giả sử, y(-2)=0 vă y(-1)=5, thỡ C1=-1 vă C2 =16. Ta được: yh(n) = (-1)n+1 + (4)n+2 , với n ³ 0
Chỳ ý rằng, trong trường hợp phương trỡnh đặc tớnh cú nghiệm kộp, pt(1.61) phải được sửa lại, chẳng hạn, nếu (1 lă nghiệm kộp bậc m, thỡ pt(1.61) trở thănh:
yh(n) = C1ln1 + C2nln1 + C3n2ln1+ …+ Cmnm-1ln1 +…+ Cm+1lnm+1 +…+ CNln
N (1.65)