VĂ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 2.1 Mở đầu
2.2.3. BIẾN ĐỔ IZ NGƯỢC (The inverse Z-transform) 2.31 Định nghĩa:
2.31. Định nghĩa:
Nếu X(z) lă biến đổi Z của x(n), thỡ x(n) lă biến đổi Z ngược của X(z), ta cú cặp biến đổi Z:
Biến đổi Z ngược cũn được định nghĩa lă một thủ tục để biến đổi từ miền z sang miền thời gian. Về mặt toỏn học, biến đổi Z ngược lă một toỏn tử mă nú biến một hăm X(z) thănh dóy x(n).
Chỳ ý rằng, ta chỉ cú thể xỏc định biến đổi Z ngược của X(z) khi miền hội tụ của X(z) được xỏc định.
Cụng thức để tớnh dóy x(n) từ X(z) được thănh lập dựa văo định lý tớch phõn Cauchy.
1. Định lý tớch phõn Cauchy, được phỏt biểu bởi cụng thức sau:
với C lă đường cong kớn cú chiều ngược chiều kim đồng hồ vă bao qu../Anh gốc tọa độ.
2.Thiết lập cụng thức tớnh biến đổi z ngược
Từ cụng thức định nghĩa của biến đổi z:
Nhõn hai vế của cụng thức trờn cho zk-1 vă lấy tớch phõn trờn đường cong kớn C bao qu../Anh gốc tọa độ, ngược chiều kim đồng hồ vă nằm trong miền hội tụ của X(z), ta được:
Tớch phõn đường trong pt(2.27) được tớnh bằng định lý giỏ trị thặng dư của Cauchy (Cauchy’s residue theorem) như sau:
Giỏ trị thặng dư (residue) tại một điểm cực d0, bậc s của X(z)zn-1 ,
Đối với cỏc điểm cực đơn, pt(2.29) trở thănh:
Đường cong kớn C nằm trong ROC của X(z) nờn cú bỏn kớnh lớn hơn |a|. @ Với n ≥ 0, C bao qu../Anh một cực duy nhất tại z = a, ta cú:
kết quả lă: x(n) = an
@ Với n < 0 , cú cực kộp bậc n tại z = 0. - Khi n = -1, cú 2 cực trong C lă z = a vă z = 0
Kết quả lă x(-1) = a-1 - a-1 = 0
- Khi n = -2, cú 1 cực đơn z = a vă một cực kộp bậc 2 tại z = 0 trong C.
Kết quả lă x(-2) = 0
Tớnh tiếp tục với n = -3, -4, -5,… ta thấy x(n) = 0, với mọi n < 0. Vậy, kết quả cuối cựng lă: x(n) = anu(n).
2.3 Cỏc tớnh chất của biến đổi ZGiả sử ta cú cỏc cặp biến đổi Z như sau: