Một hệ thống rời rạc đệ qui lă hệ thống mă đỏp ứng y(n) ở mỗi thời điểm n phụ thuộc văo một số bất kỳ cỏc giỏ trị y(n-1); y(n-2);...ở cỏc thời điểm trước đú.
Ta thấy, một hệ thống đệ qui cú thể được mụ tả bằng một LCCDE cú bậc N³1. Để tỡm nghiệm của LCCDE, ngoăi phương phỏp trực tiếp đó trỡnh băy ở phần trờn vă phương phỏp giỏn tiếp dựng biến đổi z sẽ trỡnh băy trong chương sau, ta cũn cú thể xỏc định y(n) bằng phương phỏp đệ qui, nghĩa lă tớnh đỏp ứng y(n) của hệ thống khụng chỉ dựa văo tớn hiệu văo mă cũn dựa văo cỏc giỏ trị của đỏp ứng ở cỏc thời điểm đó tớnh được trước đú.
Giả sử cỏc điều kiện đầu đó cho lă y(-1), y(-2),..., y(-N), ta sẽ dựng phương phỏp đệ qui để tớnh y(n) với n ³ 0 vă với n < -N.
@ Tớnh y(n) với n ³ 0:
Ta thấy pt(1.73) biểu diễn y(n) theo tớn hiệu văo vă cỏc giỏ trị của đỏp ứng ở cỏc thời điểm trước đú. Cỏc mẫu y(n) được tớnh với n tăng dần, thủ tục năy được gọi lă phộp đệ qui tiến.
vă tớn hiệu văo lă x(n) = K((n), với a vă K lă cỏc hằng số. Điều kiện đầu lă y(-1) = c, c cũng lă một hằng số.
Ta tớnh y(n) với n ≥ 0, bắt đầu với n = 0: y(0) = a.c + K
y(1) = a.y(0) + 0 = a.(a.c + K) = a2c + a.K y(2) = a.(a2c + a.K) = a3c + a2 K
y(3) = a.( a3c + a2 K) = a4c + a3 K
: :
: :
Từ cỏc kết quả trờn ta cú thể tổng quỏt húa thănh cụng thức tớnh y(n) y(n) = an+1c + an K, với n ³ 0 (1.75)
@ Tớnh y(n) với n < 0
Trong trường hợp năy Pt(1.55) được viết lại:
Cỏc giỏ trị của đỏp ứng y(n) với -N Í nÍ -1 đó được cho bởi cỏc điều kiện đầu, vă ta tớnh được lần lượt cỏc giỏ trị y(-N -1), y(-N -2), y(-N - 3),... bằng cỏch thay lần lượt cỏc giỏ trị n = -1, -2, -3,... văo pt(1.76). Cỏc mẫu y(n) được tớnh với n giảm dần, thủ tục năy được gọi lă phộp đệ qui lựi.
Vớ du 1.17: Xột một hệ thống được mụ tả bởi LCCDE (1.74) với cựng điều kiện đầu trong vớ dụ 1.16 . Để xỏc định giỏ trị của đỏp ứng với n < 0, ta viết lại phương trỡnh (1.74) như sau:
y(n-1) = a-1 [y(n) - x(n)] (1.77)
ỏp dụng điều kiện đầu y(-1) = c, ta cú thể tớnh y(n) với n <-1 một cỏch lần lượt như sau :
y(-2) = a-1[y(-1) - x(-1)] = a-1 c y(-3) = a-1 a-1 c = a-2 c
: :
: :
Từ cỏc kết quả trờn ta tổng quỏt húa thănh cụng thức tớnh y(n) với n < 0 như sau:
y(n) = an+1 c , với n < 0 (1.78)
Từ kết quả của 2 vớ dụ 1.16 vă 1.17, ta tổng kết thănh cụng thức tớnh đỏp ứng y(n) với mọi n của hệ thống được mụ tả bởi phương trỡnh sai phõn (1.74), tớn hiệu văo lă x(n) = Kδ(n), với a vă K lă cỏc hằng số, vă điều kiện đầu lă y(-1) = c, như sau:
y(n) = an+1 c + an Ku(n), với mọi n (1.79)
Nhận xột:
(1) Ta đó thực hiện thủ tục đệ qui để tớnh đỏp ứng theo chiều dương vă chiều õm của trục thời gian, bắt đầu với n = -1. Rừ răng đõy lă một thủ tục khụng nhõn quả.
(2) Khi K=0, tớn hiệu văo luụn cú giỏ trị bằng 0, nhưng đỏp ứng cú giỏ trị lă y(n)=an+1 c. Nhưng một hệ thống tuyến tớnh đũi hỏi rằng, nếu giỏ trị của tớn hiệu văo bằng 0, thỡ giỏ trị của đỏp ứng cũng bằng 0 (tớnh chất năy được chứng minh như một băi tập). Vỡ võy, hệ thống năy khụng tuyến tớnh.
(3) Nếu ta dịch tớn hiệu văo n0 mẫu, tớn hiệu văo lỳc năy lă x1(n) = Kd(n-n0),
ta tớnh lại đỏp ứng theo thủ tục như trờn, kết quả lă:
Ta thấy y1(n) ≠y(n-n0), vậy hệ thống khụng bất biến theo thời gian.
Theo phõn tớch trờn, hệ thống khụng phải lă hệ thống LTI mă chỳng ta mong đợi, ngoăi ra nú cũng khụng cú tớnh nhõn quả. Sở dĩ như vậy lă vỡ trong cỏc điều kiện đầu đó cho khụng bao hăm cỏc tớnh chất năy. Trong chương 2, ta sẽ trỡnh băy cỏch tỡm nghiệm của LCCDE bằng cỏch dựng biến đổi z, ta sẽ ngầm kết hợp cỏc điều kiện cho tớnh chất tuyến tớnh vă bất biến, vă chỳng ta sẽ thấy, ngay cả khi cỏc điều kiện bảo đảm tớnh chất tuyến tớnh vă bất biến được đưa văo, nghiệm của phương trỡnh sai phõn cũng sẽ khụng duy nhất. Đặc biệt, cả hai hệ thống LTI nhõn quả vă khụng nhõn quả cú thể cựng được mụ tả bởi một phương trỡnh sai phõn.
Nếu một hệ thống được mụ tả bởi một LCCDE vă thỏa món điều kiện đầu để hệ thống cú cỏc tớnh chất tuyến tớnh, bất biến vă nhõn quả thỡ nghiệm sẽ được xỏc định duy nhất. Điều kiện năy thường được gọi lă điều kiện nghỉ (initial-rest
Ta xột lại vớ dụ 1.14 vă 1.15, nhưng với điều kiện nghỉ, nghĩa lă y(n) = 0 với n < 0, tương ứng với x(n) = Kd(n) = 0 khi n < 0. Ta sẽ thấy hệ thống lă một hệ thống LTI nhõn quả.