1 d(n) Tất cả mặt phẳng z 2U(n)|z| >
2.4.3. PHƯƠNG PHÂP TRIỂN KHAI THĂNH MỘT CHUỖI LŨY THỪA (POWER SERRIES EXPANSION)
(POWER SERRIES EXPANSION)
Từ định nghĩa của biến đổi z, ta thấy X(z) lă mụt chuỗi lũy thừa, trong đú x(n) chớnh lă hệ số của z-n . Ta viết lại:
Vậy, nếu ta cú thể đưa X(z) về dạng năy, ta sẽ xỏc định được giỏ trị của x(n) tương ứng với giỏ trị của n.
1/. Khai triển một tớch số:
Vớ dụ 2.15: Hóy xỏc định dóy x(n) mă biến dổi z của nú lă:
Ta thấy X(z) cũng cú dạng hăm hữu tỉ, nhưng chỉ cú một cực lă z = 0, Ta cú thể khai triển thănh một chuỗi lũy thừa như sau:
2/. Khai triển Taylor
Phương phỏp năy thường được ỏp dụng khi X(z) cú dạng logarit, sin, hyperbolic, hăm mũ. Ta nhắc lại cụng thỳc Taylor của một hăm f(x) tại điểm x = x0, như sau:
trong đú, c nằm giữa x vă x0.
Nếu trong cụng thức (2.54), ta cho x0 = 0, ta được:
trong đú, c nằm giữa 0 vă x, cụng thức (2.58) được gọi lă cụng thức Mac Laurin.
Vớ dụ 2.16:
Hóy xỏc định dóy x(n) cú biến đổi z lă: X(z) = ln(1 + az-1), với ROC lă |z| > |a|.
Gỉải:
Khai triển Taylor của X(z) theo z-1 , với n n →∞, ta cú:
3/. Khai triển bằng phộp chia:
Phương phỏp năy thường được thực hiện khi X(z) cú dạng hữu tỉ: X(z) = P(z)/Q(z). Ta cú thể thực hiện phộp chia đa thức P(z) cho Q(z) để cú được một chuỗi lũy thừa, từ đú, nhận được từng mẫu của dóy x(n).
Vớ dụ 2.17: Hóy xỏc định biến đổi Z ngược của:
khi: (a) ROC lă |z| > 1 (b) ROC lă |z| < 0.5
Giải:
(a) Từ ROC của X(z) ta thấy x(n) lă một dóy bờn phải. Vỡ vậy , ta sẽ tỡm một khai triển chuỗi lũy thừa với số mũ õm. Bằng cỏch chia tử cho mẫu xếp theo số mũ õm dần, ta được:
So sỏnh với pt(2.56), ta được:
(b) Từ ROC của X(z), ta thấy x(n) lă một dóy bờn trỏi. Vỡ vậy, ta phải thực hiện phộp chia sao cho thu được khai triển lũy thừa dương của z. Muốn vậy, ta xếp cỏc đa thức tử số vă mẫu số theo thứ tự sao cho lũy thừa của z-1 giảm dần (tức số mũ ớt õm dần cho đến 0). Ta thực hiện phộp chia như sau:
Ta thu được:
2.5 GIẢI PHƯƠNG TRỉNH SAI PHĐN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG DÙNGBIẾN ĐỔI Z MỘT PHÍA