VĂ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 2.1 Mở đầu
2.2.2. MIỀN HỘI TỤ (ROC: Region of Convergence)
Pt (2.1) lă một chuỗi lũy thừa, gọi lă chuỗi Laurent, do đú khụng phải lỳc năo biến đổi Z cũng hội tụ với mọi tớn hiệu hay với mọi giỏ trị của z, vỡ vậy phải xột đến miền hội tụ của nú.
1/. Định nghĩa:
Với một dóy x(n) xỏc định, tập hợp cỏc giỏ trị của z sao choĠ hội tụ được gọi lă miền hội tụ (ROC) của X(z).
Định nghĩa trờn hăm ý rằng: |X(z)| < ∞, với mọi z trong ROC.
(2.7)
Nếu một giỏ trị z = z1 năo đú ở trong ROC, thỡ vũng trũn cú bỏn kớnh lă |z|=|z1| cũng nằm trong ROC. Điều năy cho thấy rằng ROC lă một miền hỡnh vănh khăn bao quanh gúc tọa độ (Hỡnh 2.2).
2/. Cực vă zeros :
Một loại biến đổi Z thụng dụng vă quan trọng đú lă biến đổi Z mă X(z) của nú cú dạng lă một hăm hữu tỉ với mọi z trong ROC, nghĩa lă:
X(z) =
P(z)/Q(z) (2.8)
Trong đú, P(z) vă Q(z) lă cỏc đa thức biến z hay z-1.
Cỏc giỏ trị của z sao cho X(z) = 0 được gọi lă cỏc zeros của X(z), vă cỏc giỏ trị của z sao cho X(z) = ∞được gọi lă cỏc cực (poles) của X(z). Cỏc cực lă cỏc nghiệm xỏc định của đa thức mẫu số Q(z) vă thờm văo cỏc giỏ trị z = 0 hay z = ∞.
Đồ thị cực-zero lă đồ thị trờn mặt phẳng phức, ta vẽ cỏc điểm cực, ký hiệu x , vă cỏc điểm zero, ký hiệu o.
Vớ dụ 2.1: Xột dóy x(n) = ((n). Thay văo pt (2.1), ta cú:
(2.9) Miền hội tụ của X(z) trong trường hợp năy lă toăn bộ mặt phẳng z.
Ta thấy, ROC lă miền mă z cú giỏ trị sao cho |az-1| < 1 hay |z| > |a|, vă trong ROC, X(z) hội tụ đến:
( Aựp dụng cụng thức tớnh tổng vụ hạn của chuỗi hỡnh học). Với a = 1, x(n) lă dóy nhóy bậc đơn vị, cú biến đổi Z lă:
Hỡnh 2.3 trỡnh băy miền hội tụ của biến đổi Z trong vớ dụ 2.2 với cỏc vị trớ của cực vă zeros. Nếu |a| > 1, ROC khụng chứa vũng trũn đơn vị, điều năy hăm ý rằng, với giỏ trị năy của |a|, biến đổi Fourier của một dóy lũy thừa anu(n) lă khụng hội tụ.
Nếu |a-1z| < 1, hay |z| < |a|, thỡ tổng (2.14) hội tụ, vă:
Đồ thị cực-zero vă miền hội tụ của biến đổi Z trong vớ dụ 2.2 được trỡnh băy trong hỡnh 2.4.
Nhận xột:
Hai dóy trong vớ dụ 2.2 vă 2.3 hoăn toăn khỏc nhau nhưng biểu thức X(z) vă đồ thị cực-zero lă như nhau. Như vậy khi núi đến biến đổi Z thỡ cần xỏc định cả biểu thứclẫn ROC.
Vớ dụ 2.4: Xột trường hợp tớn hiệu lă tổng của hai hăm mũ thực:
x(n) = (1/2)nu(n) - (-3)nu(-n-1) (2.16) Biến đổi Z sẽ lă:
Để X(z) hội tụ, hai tổng trong pt (2.18) phải hội tụ, điều kiện lă:
|(1/2)z-1| < 1 vă |(-3)-1z| < 1 hay |z| > 1/2 vă |z| <3 . Vỡ vậy, ROC lă miền 1/2 < |z| < 3. Đồ thị cực-zero vă ROC được trỡnh băy trong hỡnh 2.5. Vă:
Nhận xột:
Từ cỏc vớ dụ trờn ta thấy rằng: với cỏc dóy lũy thừa dăi vụ hạn, biến đổi Z của nú cú thể được biểu diễn bằng tỉ số của cỏc đa thức biến z hay z-1. Cỏch biểu diễn năy đặc biệt thuận lợi.
Vớ dụ 2.5:Xột tớn hiệu :
ROC được xỏc định bởi tập hợp cỏc giỏ trị của z sao cho:
Vỡ chỉ cú một số hữu hạn cỏc số hạn khỏc 0, nờn tổng trong bất phương trỡnh (2.21) sẽ hữu hạn khi |az-1| hữu hạn, điều năy đũi hỏi rằng |a| lă hữu hạn vă z ≠ 0. Vỡ vậy, ROC bao gồm toăn bộ mặt phẳng z, ngoại trừ gốc tọa độ (z = 0).
Hỡnh 2.6 lă đồ thị cực-zero vă ROC của vớ dụ 2.4, với N =16 vă a lă một số thực vă 0<a<1. N nghiệm của đa thức tử số của X(z) lă:
zk = aej(2(k/N) với k = 0, 1, 2,. . ., N-1. (2.22)
Zero ở k = 0 bị triệt tiờu bởi cực ở z = a, vỡ vậy, khụng cú cực năo khỏc ngoăi gốc tọa độ vă cũn lại (N-1) zero tương ứng với k = 1, 2,. . ., N-1.
3/. Tớnh chất của ROC:
Giả sử rằng x(n) cú biờn độ hữu hạn, ngoại trừ tại n = ±∞ vă biểu thức của biến đổi Z cú dạng hữu tỉ. Từ khảo sỏt thực tế, ta cú thể tổng kết được cỏc tớnh
(1) ROC khụng chứa cỏc điểm cực, vỡ tại đú X(z) khụng hội tụ.
(2) Nếu x(n) cú độ dăi hữu hạn, thỡ ROC lă toăn bộ mặt phẳng z, ngoại trừ cỏc điểm z=0 hoặc z= ∞ (Vớ dụ 2.5).
(3) Nếu x(n) lă dóy bờn phải (right-sided sequence), nghĩa lă x(n) = 0 với mọi
n < N1 < ∞, thỡ ROC lă miền bờn ngoăi của vũng trũn đi qua điểm cực hữu hạn ngoăi cựng (Vớ dụ 2.2).
(4) Nếu x(n) lă dóy bờn trỏi (left-sided sequence), nghĩa lă x(n)=0 với mọi n>N2>-∞, thỡ ROC lă miền bờn trong của vũng trũn đi qua điểm cực trong cựng khỏc 0 (Vớ dụ 2.3)
(5) Nếu x(n) lă dóy hai bờn (two-sided sequence) vă cú chiều dăi vụ hạn về phớa phải cũng như về phớa trỏi thỡ ROC cú dạng hỡnh vănh khăn, cỏc vũng trũn giới hạn trong vă ngoăi đi qua hai điểm cực trong cỏc điểm cực của X(z) (Vớ dụ 2.4)
(6) ROC phải lă một miền khụng bị chia cắt.
Hỡnh 2.7 minh họa cỏc tớnh chất của ROC, cựng cỏc vị trớ của cỏc cực (z1=2/3, z2=-3/2, z3=2) vă zeros (z1=0, z2=-1/2) cú thể đỳng với 4 biến đổi z .