ROC của z-k X(z) lă Rx trừ ra z = 0 nếu k > 0 hoặc trừ ra z = ∞ nếu k < 0.
Chứng minh:
Nhận xột: Dịch phải k mẫu tức lă lăm trễ tớn hiệu k mẫu sẽ tương ứng với nhõn cho z-k trong phộp biến đổi z. Với k = 1, ta ký hiệu toỏn tử z-1 tương ứng với phộp lăm trễ một mẫu, đõy lă ký hiệu đó được dựng để biểu diễn phần tử lăm trễ một mẫu.
Tớnh chất tuyến tớnh vă tớnh chất dịch thời gian lăm cho biến đổi z trở thănh cực kỳ hữu dụng trong việc phõn tớch hệ thống LTI.
với a lă hằng số thực hoặc phức bất kỳ.
ROC của X(z/a) lă |a|.Rx = |a|.rL < |z| < |a|.rH.
Chỳng minh:
Từ định nghĩa của biến đổi Z ta cú:
Vỡ ROC của X(z) lă Rx = rL < |z| < rH nờn ROC của X(a-1z) lă rL < | a-1z| < rH hay
|a|rL < |z| < |a|rH.
Vớ dụ 2.8: Xỏc định biến đổi Z của cỏc tớn hiệu: (a) x(n) = an (cos0n)u(n) (b) x(n) = an (sin0n)u(n)
Giải:
(a) Từ kết quả (2.32) trong vớ dụ 2.7 kết hợp với tớnh chất (2.35) ta thu được kết quả một cỏch đễ dăng:
4/. Đảo thời gian (Time Reversal)
Trong biểu thức trờn ta đó đổi biến m = -n.
Vớ du 2.9: Xỏc định biến đổi Z của tớn hiệu x(n) = u(-n) Giải: Ở vớ dụ 2.2 ta đó biết :
5/. Vi phõn trong miền z (Differentiation in the z-domain)
Với Ry = Rx (Ngoại trừ trường hợp thờm văo hay loại bỏ cỏc điểm cực tại z = 0 hay z=∞.
Chứng minh:
Bằng cỏch lấy đạo hăm 2 vế của biểu thức định nghĩa biến đổi Z, ta cú:
Vớ dụ 2.10: Xỏc định biến đổi Z của tớn hiệu x(n) = nanu(n) .
Giải:
Đặt x1(n) = anu(n), ta được x(n) = nx1(n) . Từ vớ dụ 2.2 ta đó biết:
với ROC Rx của X(z) nhỏ nhất lă miền giao nhau của ROCx1 vă ROCx2
Nếu cú cỏc zeros được sinh ra khử đi một số điểm cực thỡ miền hội tụ Rx được mở rộng ra.
Chứng minh:
Theo định nghĩa, tổng chập của 2 dóy x1(n) vă x2(n) lă:
Biến đổi z của x(n) lă:
Vớ dụ 2.11: Tớnh tổng chập x(n) của 2 dóy :
vă x2(n) = u(n) – u(n – 6)
Giải:
Từ định nghĩa ta tớn được biến đổi Z của x1(n) vă x2(n) như sau: X1(z) = 1 – 2z-1 + z-2
X2(z) = 1 + z-1 + z-2+ z-3+ z-4+ z-5
X1(z). X2(z) = 1 - z-1 - z-6 + z-7 Suy ra:
Tớnh chất được ỏp dụng để tớnh tổng chập một cỏch cú hiệu quả.
7/. Tương quan (Correlation)
Chứng minh: Ta nhắc lại định nghĩa của tương quan giữa 2 dóy x1(n) vă x2(n), đú lă:
Giống như trường hợp tớnh tổng chập, tương quan giữa hai tớn hiệu cú thể tớnh một cỏch dễ dăng hơn bằng cỏch ỏp dụng tớnh chất (2.42), sau đú tỡm biến đổi Z ngược để thu được kết quả.