1 d(n) Tất cả mặt phẳng z 2U(n)|z| >
2.4.2. PHƯƠNG PHÂP TRIỂN KHAI THĂNH CÂC PHĐN THỨC HỮU TỈ
(PARTIAL FRACTION EXPANSION)
Trường hợp X(z) khụng cú sẳn một cỏch tường minh trong bảng cỏc cặp biến đổi z. Ta cú thể biến đổi biểu thức X(z) thănh tổng của cỏc số hạng đơn giản cú thể tra bản. Đõy lă trường hợp X(z) cú dạng hữu tỉ, nghĩa lă X(z) = P(z)/Q(z), với
P(z) vă Q(z) lă cỏc đa thức theo biến z hay z-1, bởi vỡ trong trường hợp năy ta cú thể khai triển X(z) thănh cỏc phõn thức hữu tỉ đơn giản.
Giả sử rằng X(z) được biểu diễn bằng tỉ số của 2 đa thức của z-1, như sau:
Pt (2.47) chỉ ra rằng, sẽ cú M zeros vă N cực ở cỏc vị trớ khỏc 0 trờn mặt phẳng phức. Thờm văo, cũng sẽ cú M-N cực ở z = 0 nếu M > N hay cú N-M zeros ở z=0 nếu N > M. Núi khỏc đi, biến đổi z cú dạng pt(2.46) luụn luụn cú số cực vă zero bằng nhau trong mặt phẳng z hữu hạn, vă khụng cú cực vă zero ở z = ∞.
Pt (2.46) cũn cú thể biểu diễn ở dạng:
Trong đú, ta cú thể dễ dăng tỡm biến đổi z ngược của đa thức Ġbằng cỏch tra bảng kết hợp với ỏp dụng tớnh chất tuyến tớnh vă tớnh chất dịch thời gian; cũn Xht(z) lă một hăm hữu tỉ cú bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, Cỏc hăm hữu tỉ cú dạng như Xht(z) được gọi lă hăm hữu tỉ thật sự (Proper rational function). Vậy, vấn đề lă tỡm biến đổi z ngược của cỏc hăm hữu tỉ thật sự.
ê Trường hợp M > N, X(z) lă hăm hữu tỉ thật sư vă cú N cực khỏc 0 phõn biệt (khụng cú cực kộp):
Khi đú X(z) cú thể viết lại:
vớI Ak lă cỏc hệ số mă ta cần phải tớnh. Để tớnh cỏc hệ số Ak, ta nhõn hai vế phương trỡnh (2.49) với (1 –dkz-1) vă cho z = dk, ta tớnh được cỏc hệ số Ak :
Vớ dụ 2.13: Giả sử x(n) cú biến đổi z lă:
với ROC lă |z| > 1. Tỡm x(n).
Giải:
Từ ROC của X(z), ta thấy x(n) lă một dóy bờn phải. Vỡ M = N vă tất cả cỏc cực đều lă bậc nhất. Ta cú thể biểu diễn X(z) dưới dạng:
Hệ số B0 được tỡm bởi phộp chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số:
Đặt , ta sẽ khai triển X ht(z) thănh tổng của 2 phõn thức đơn giản, cỏc hệ số
A1 vă A2 được tớnh bằng cỏch ỏp dụng pt(2.51), như sau:
Âp dụng tớnh chất tuyến tớnh, ta được:
x(n) = 2d(n) – 9 (1/2)nu(n) + 8 u(n)
êTrường hợp M > N, X(z) lă hăm hữu tỉ thật sư vă cú N cực khỏc 0, trong
đú cú cực kộpù:
Pt(2.47) cú thể được viết lại:
N 2 2 N 2 1 N 1 N 0 1 M N M 3 N 2 2 N 1 1 N 0 a ... z a z a z a z b ... z b z b z b z ) z ( X - - - - - - - (2.53)
Sau đú khai triển X(z)/z thănh tổng cỏc phõn thức hữu tỉ đơn giản. Giả sử, X(z) cú cực kộp bậc s tại dj. Pt(2.53) sẽ được triển khai dưới dạng:
Từ pt(2.54), ta viết lại X(z) đưới dạng:
Cỏc hệ số Ak được tớnh như trờn, ta cú thể tỡm cụng thức tổng quỏt để tớnh cỏc hệ số Cm , tuy nhiờn cụng thức năy khỏ phức tạp. Trong thực tế, để thực hiện một hệ thống lớn, người ta thường liờn kết nhiều hệ thống bậc 2. Vỡ vậy, để đơn giản, ta chỉ cần khảo sỏt trường hợp nghiệm kộp bậc 2 như trong vớ dụ 2.14. Sau khi tỡm được cỏc hệ số Ak vă Cm, ta ỏp dụng phương phỏp tra bảng kết hợp với cỏc tớnh chất tuyến tớnh vă tớnh chất vi phõn trong miền z để tỡm biến đổi z ngược.
Vớ dụ 2.14: Hóy xỏc định dóy nhõn quả x(n) cú biến đổi z lă:
Giải: Ta thấy X(z) cú một nghiệm kộp bậc 2 tại z = 1, ta viết lại X(z) dưới dạng:
Cỏc hệ số A vă C2 cú thể tớnh được một cỏch dễ dăng như sau:
Để tớnh C1, ta viết lại:
Âp dụng phương phỏp tra bảng kết hợp với cỏc tớnh chất tuyến tớnh, vi phõn trong miền z, với x(n) lă một dóy nhõn quả, ta thu được:
X(n) = ẳ (-1)nu(n) + ắ u(n) + ẵ n u(n) = [ẳ (-1)n + ắ + n/2]u(n)