TDPB của học sinh muốn được hình thành và phát triển thì cần phải được diễn ra trong mối quan hệ tương tác mang tính hữu cơ với các thao tác tư duy như: tổng hợp, phân tích so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, hệ thống hóa với nền tảng là hai hoạt động phân tích và tổng hợp.
Để bồi dưỡng các đặc điểm của tư duy như tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn cho học sinh thì cần một môi trường phù hợp để có thể tạo điều kiện cho học sinh luyện tập một cách thường xuyên khả năng phân tích và tổng hợp, nhằm quan sát đối tượng trên nhiều yếu tố và khía cạnh khác nhau với cơ sở là sự so sánh theo trường hợp riêng lẻ. Khi đó, với công cụ là phép tương tự, học sinh có thể chuyển từ trường hợp riêng lẻ này sang trường hợp riêng lẻ
khác nhằm mục đích khai thác quan hệ mật thiết với trừu tượng hóa, hiểu rõ
liên hệ chung và riêng giữa hai mệnh đề xuất phát và tìm được. Bằng các công cụ như: hệ thống hóa, đặc biệt hóa,…ta có thể rèn cho học sinh khả năng khái quát hóa tài liệu Toán học đồng thời tạo khả năng tìm kiếm các giải pháp trên các khía cạnh và tình huống khác nhau, khả năng phát hiện ra những mối liên kết giữa những sự kiện mà tưởng như không có điểm nào liên quan, khả năng xây dựng giải duy nhất hoặc giải pháp lạ. Đây chính là những yếu tố góp phần bồi dưỡng tính độc đáo cũng như tính nhuần nhuyễn của tư duy.
Trong cuốn: “Một phương pháp suy nghĩ phản biện”, xuất bản trên
“Tạp chí toán học và tuổi trẻ”, NXB Giáo Dục năm 1997, tác giả Nguyễn Cảnh Toàn đã nhấn mạnh rằng: “Muốn phản biện toán học, rõ ràng phải giỏi vừa cả phân tích, vừa cả tổng hợp, phân tích và tổng hợp đan xen vào nhau, nối tiếp nhau, cái này tạo điều kiện cho cái kia” [21].
Như vậy, khâu quan trọng nhất trong dạy học phản biện chính là rèn cho học sinh những hoạt động của tư duy.
Và quả thực, Đại số là một môi trường phù hợp để học sinh có điều kiện rèn luyện và phát triển năng lực sáng tạo, năng lực suy luyện toán học. Đó chính là nền tảng cơ bản đề để phát triển tốt TDPB. Để thấy rằng dạy học Đại số phát triển tốt TDPB, chúng ta cùng nhau đi xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.12: Cho biểu thức: 4 − 2 +3xy - 5 + 2y + 2 + +4
với x, y là các số thực:
a) Thu gọn biểu thức
b) Tính giá trị biểu thức tại x = 1 và y = 2
Giáo viên định hướng cho học sinh thực hiện các thao tác tư duy:
Phân tích
GV: Trong bài toán trên thì đại lượng nào thay đổi?
HS: Các đại lượng x, y thay đổi vì đây là các biến số.
GV: Giá trị của biểu thức trên phụ thuộc vào yếu tố nào?
HS: Giá trị của biểu thức phụ thuộc vào hai đại lương x, y.
GV: Vì sao biểu thức trên phụ thuộc vào hai đại lượng x, y? Nó có còn
phụ thuộc yếu tố nào khác không?
HS: Vì x, y là các biến số, có thể thay đổi giá trị còn hệ số đều là các
hằng số không đổi.
Tổng hợp
GV: Các hạng tử trong biểu thức trên có đặc điểm gì đặc biệt?
HS: Trong biểu thức trên, có xuất hiện các hạng tử là các đơn thức đồng dạng.
GV: Khoanh vùng kiến thức.
HS: Bài toán liên quan đến yêu cầu thu gọn đa thức.
GV: Có thể dùng phương pháp, tính chất nào để giải toán?
HS: Để thu gọn đa thức thì có thể sử dụng quy tắc cộng trừ các đơn thức đồng dạng.
GV: Như vậy để tính giá trị của đa thức thì cần thu gọn đa thức. Từ đó dẫn ra lời giải của bài toán.
HS: Em có thể thay trực tiếp giá trị của biến x, y vào mà không cần thu gọn có được không?
GV: Xác nhận cách làm trên là chính xác tuy nhiên dễ gây nhầm lẫn.
Trừu tượng hóa
GV: Nếu như x và y là các số thực dương, ta có thể đặt ra bài toán cực trị như thế nào?
HS: Cho biểu thức: 4x - 2y + 3xy - 5x + 2y + 2y + x + 4 với 2 3 2 3 2 x, y là
các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Mở rộng:
GV: Nếu như x và y là các số thực, ta có biểu thức thể hiện quan hệ của hai đại lượng x và y như sau: 1
x = (y - 2)
3 thì khi đó ta có thể đặt ra bài toán
về cực trị như thế nào?
HS: Ta có thể xây dựng bài toán:
Cho biểu thức: 4x - 2y + 3xy - 5x + 2y + 2y + x + 4 với 2 3 2 3 2 x, y là các số thực sao cho x = 1(y - 2)
3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
GV: Như vậy, rõ ràng là bài toán trên còn rất nhiều các hướng để có thể trừu tượng, khái quát và mở rộng và các em có thể tự tìm cho riêng mình hệ thống như bài toán có liên quan và xây dựng cách để giải quyết chúng.