X Y (β + U) U
Y =β ˆX +V ZZ
6.5.6. Kiểm định Goldfel d Quandt
Nếu ta giả thiết rằng phương sai của sai sụ thay đổi σi2cú thể liờn hệ dương với một trong cỏc biến giải thớch trong mụn hỡnh hồi quy thỡ ta cú thể sử dụng kiểm định này. Để đơn giản ta hóy xột mụ hỡnh 2 biến:
Yi = 1 + 2Xi + Ui Giả sử σ2i cú liờn hệ dương với biến X theo cỏch sau:
σ2i = 2
X2i (6.31)
Trong đú 2
là hằng số. Giả thiết này cú nghĩa là σ2i tỷ lệ với bỡnh phương của biến X. Nếu giả thiết (6.31) là thớch hợp thỡ điều này cú nghĩa là khi X tăng σi2 cũng tăng.
Thủ tục kiểm định của Goldfeld - Quandt gồm cỏc bước sau:
Bước 1: Sắp xếp cỏc quan sỏt theo thứ tự tăng dần về giỏ trị của biến X
Bước 2: Bỏ quan sỏt ở giữa theo cỏch sau:
Đối với mụ hỡnh 2 biến, Goerge G. Judge đề nghị: c = 4 nếu cỡ mẫu khoảng n = 30
c = 10 nếu cỡ mõu khoảng n = 60
và chia số quan sỏt cũn lại thành nhúm, trong đú mỗi nhúm cú n-c
2 quan sỏt.
Bước 3: Sử dụng phương phỏp bỡnh phương nhỏ nhất ước lượng tham số của cỏc hàm hồi quy đối với n-c
2 quan sỏt đầu và cuối; thu được bỡnh phương cỏc phần dư của RSS1, RSS2 tương ứng. Trong đú RSS1 đại diện cho RSS từ hồi quy ứng với cỏc giỏ trị của Xi nhỏ hơn và RSS2 ứng với cỏc giỏ trị Xi lớn hơn. Bậc tự do tương ứng là n-c
2 - k hoặc n-c-2k
2 . Trong đú k là số cỏc tham số được ước lượng kể cả hệ số chặn (trường hợp 2 biến k=2).
Bước 4: Tớnh tỷ số: 2 1
RSS /df F=
RSS /df
Nếu Ui là phõn phối chuẩn và nếu giả thiết về phương sai cú điều kiện khụng đổi được thỏa món thỡ F tuõn theo phõn phối F với bậc tự do ở tử số và mẫu số là (n-c-2k)/2, nghĩa là F cú phõn phối F(n-c-2k,2).
Trong ứng dụng nếu F tớnh được lớn hơn điểm tới hạn F ở mức ý nghĩa mong muốn, thỡ chỳng ta cú thể từ bỏ giả thiết H0: Phương sai cú điều kiện khụng đổi, nghĩa là cú thể núi cú thể phương sai của sai số thay đổi.
Người biờn soạn: TS. Trần Ngọc Minh 146 Chỳ ý rằng trong trường hợp cỏc biến giải thớch X nhiều hơn 1 thỡ việc sắp xếp cỏc quan sỏt trong kiểm định ở bước 1 cú thể làm đối với một biến bất kỳ trong cỏc biến giải thớch đú. Chỳng ta cú thể tiến hành kiểm định Park đối với mỗi biến X. Thớ dụ sau đõy là số liệu về chi tiờu (Y) của 30 gia đỡnh và thu nhập (X) của họ. Số liệu này đó được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của X.
Thớ dụ 6.4: Bảng số liệu tiờu dựng Y và thu nhập X Bảng 6.9. Số liệu sắp xếp theo giỏ trị của X
Y X Y X Y X 55 80 95 140 144 210 70 85 108 145 152 220 75 90 113 150 140 225 65 100 110 160(*) Bỏ 4 165(*) quan 180(*) sỏt 185(*) này 137 230 74 105 125 145 240 80 110 115 175 245 84 115 130 189 250 79 120 135 190 180 260 90 125 120 200 178 265 90 130 140 205 191 270
Chỳng ta giả thiết chi tiờu về tiờu dựng liờn hệ tuyến tớnh với thu nhập nhưng cú tồn tại hiện tượng phương sai của sai số thay đổi trong tập số liệu, và cũng giả thiết rằng bản chất của phương sai của số thay đổi được chỉ ra ở (6.31).
Thủ tục kiểm định Goldfeld - Quamdt được tiến hành như sau:
Bướcc 1: Sắp xếp cỏc quan sỏt theo giỏ trị tăng dần của X
Bước 2: Loại bỏ 4 quan sỏt ở giữa đú là cỏc quan sỏt từ thứ 14 - 17
Bước 3:Chia tập số liệu làm hai phần. Ước lượng 2 hồi quy. Hồi quy thứ nhất trờn tập số liệu gồm 13 quan sỏt đầu. Hồi quy thứ 2 trờn tập số liệu cuối. Kết quả như sau:
- Hồi quy trờn 13 quan sỏt đầu ta tỡm được hàm :
ˆY = 3,4094 + 0,6968X i i
Biến Hệ số Sai lệch chuẩn r2
=0.8887 RSS1=377.17 df=11
X 0.6968 0,744
Const 3.4094 8.7049 - Hồi quy trờn 13 quan sỏt cuối ta thu được :
Biến Hệ số Sai lệch chuẩn r2
=0.7681 RSS1=1536.8 df=11 X 0,7941 0,1319 Const -28.0272 30.6421 ˆY = -28.272 + 0.7941X i i
Người biờn soạn: TS. Trần Ngọc Minh 147 Từ cỏc kết quả ta thu được :
2 1
RSS /df 1536,8 / 11
F= 4,07
RSS /df 377,17 / 11
Ở mức ý nghĩa 5% thỡ F0,05(11,11) = 2,82 và F = 4,07 > 2,82, vậy cú phương sai sai số thay đổi.
Chỳ ý: Theo kinh nghiệm của cỏc nhà kinh tế lượng thỡ số quan sỏt bị loại bỏ khoảng 20% tổng số quan sỏt và khụng nhất thiết phải bỏ đi cỏc quan sỏt ở giữa. Trong trường hợp đú cần phải xỏc định số bậc tự do cho thớch hợp. Cỏc thử nghiệm theo phương phỏp Monte Carlo thỡ c = 8 nếu n khoảng 30; c =16 nếu n khoảng 60.