X Y (β + U) U
2. Với Q là lượng bỏn gas (bỡnh); PG là giỏ gas (nghỡn đồng/bỡnh); PE là giỏ điện (trăm
7.5.6 Kiểm định Durbi nh
Phần trờn đó núi rằng d. Durbin - Watson khụng thể sử dụng để kiểm định tớnh tự tương quan chuỗi trong mụ hỡnh cú chứa biến phụ thuộc ở thời kỳ trễ là biến độc lập. Những mụ hỡnh này gọi là mụ hỡnh tự hồi quy. Giỏ trị d tớnh được trong cỏc mụ hỡnh như vậy núi chung sẽ gần 2, đú là giỏ trị d mong đợi đối với một chuỗi ngẫu nhiờn thực sự. Như vậy nếu ỏp dụng thống kờ d thụng thường ở đõy khụng cho phộp phỏt hiện ra tương quan chuỗi.
Durbin đó đưa ra kiểm định với mẫu lớn đối với tương quan chuỗi bậc nhất của mụ hỡnh tự hồi quy.
Ta xột mụ hỡnh:
Yt = α0 + α1Xt + α2Yt-1 + ut
Thống kờ kiểm định này được gọi là thống kờ h và đước xỏc định theo cụng thức: h = ˆρ
2
n 1 -nVar(α )
Trong đú n là kớch thước mẫu; Var(α ) là phương sai của hệ số của biến trễ Yt-12 . ˆρ là ước lượng của tương quan chuỗi bậc nhất ρ từ phương trỡnh:
n t t-1 t=1 n 2 t t=1 e e ˆρ= e
Khi n lớn, Durbin chỉ ra rằng, nếu ρ = 0 thỡ thống kờ h tuõn theo phõn phối chuẩn húa - N(0,1).
Lưu ý: trong thực hành, khụng cần tớnh ˆρvỡ ˆρcú thể tớnh được xấp xỉ bằng cụng thức: ˆρ= 1 - d/2
Người biờn soạn: TS. Trần Ngọc Minh 180 h = (1 - d/2) 2 n 1 -nVar(α ) Vậy để ỏp dụng thống kờ h phải:
- Ước lượng mụ hỡnh: Yt = α0 + α1Xt + α2Yt-1 + ut bằng OLS thụng thường. - Tớnh Var(α ). 2
- Tớnh ˆρ= 1 - d/2 - Tớnh h
- Quy tắc quyết định: Vỡ h ~ N(0,1) nờn P[-1,96 ≤ h ≤ 1,96] = 0,95 do đú:
a. nếu h > 1,96 hoặc h < -1,96 thỡ bỏc bỏ giả thuyết H0: khụng cú tự tương quan bậc nhất dương hoặc õm.
+/ h > 1,96 thỡ bỏc bỏ H0 rằng khụng cú tự tương quan bậc nhất dương.
+/ h < - 1,96 thỡ bỏc bỏ giả thuyết H0 rằng khụng cú tự tương quan bậc nhất õm.
b. Nếu -1,96 < h < 1,96 thỡ khụng bỏc bỏ giả thuyết H0: khụng cú tự tương quan bậc nhất (dương hoặc õm).
Đối với thống kờ h cú một số lưu ý:
- Để tớnh thống kờ h ta chỉ cần quan tõm đến phương sai của biến trễ Yt-1, cỡ mẫu n và giỏ trị d.
- Kiểm định này khụng ỏp dụng được khi n* Var(α ) > 1. 2
- Vỡ kiểm định này chỉ dựng cho mẫu lớn, nờn nếu ỏp dụng cho cỏc mẫu nhỏ sẽ khụng được chớnh xỏc. Cỏc tớnh chất của kiểm định này chưa được thiết lập với cỏc mẫu nhỏ.
Thớ dụ 7.5: Bộ số liệu theo quý từ qỳy I/1974 - quý 4/1984 sau đõy cho mức tiờu dựng (C) và
thu nhập (Y) ở Anh. Ta sẽ dung DW và BG để kiểm định tự tương quan. Trước hết ước lượng mụ hỡnh sau đõy:
Ct = β1 + β2Yt + Ut bằng OLS ta được:
Ct = 1988,0 + 0,85114Yt. R2 = 0,81294; d = 1,8587 (*)
Với mức ý nghĩa 5%; dL = 1,44; dU = 1,55; 4 - dU = 2,45 > d > dU, do đú khụng cú tự tương quan bậc nhất.
Bõy giờ ta sử dụng BG để kiểm định tương quan bậc cao. Ta giả sử rằng ta cú lược đồ AR(4), do vậy, ta ước lượng mụ hỡnh:
et = β1 + β2Yt + ρ1et-1 + ρ2et-2 + ρ3et-3 + ρ4et-4 + vt trong đú et, et-1, et-2, et-3, et-4 là cỏc phần dư thu được từ (*)
et = 2702,8 - 0,049Yt + 0,057et-1 - 0,083et-2 - 0,029et-3 + 0,733et-4 R2 = 0,56383; n = 40
Ta cú (n - p)R2 = (40 - 4)0,56383 = 20,29; χ20,05(4) =9,4877 Giả thuyết H0: ρ1 = ρ2 = ρ3 = ρ4 = 0, bị bỏc bỏ vỡ (n - p)R2
> χ20,05(4).