X Y (β + U) U
1. Kiểm định χ
6.5.10. Kiểm định nhõn tử Largrange (LM) đối với phương sai của sai số thay đổ
Cú một số kiểm định đối với phương sai của sai số thay đổi và chỳng khỏc nhau về nguyờn tắc và năng lực kiểm định. Trong những kiểm định đú, phương phỏp kiểm định LM trở nờn phổ biến trong những năm gần đõy. Bởi vỡ kiểm định thống kờ này dễ tớnh toỏn và nú cú thể bao quỏt được nhiều phương ỏn. Trong phần này chỳng ta sẽ thảo luận về kiểm định LM đối với phương sai của sai số thay đổi theo ba phương ỏn giả thiết về nguyờn nhõn gõy ra phương sai của sai số thay đổi.. Đặt mụ hỡnh là:
Yt = β1 + β2Xt2 + β3Xt3 + ...+ βkXtk + Ut (6.40) Với phương sai của sai số là 2
t
σ = E( 2
t t
U X ). Nếu chỳng ta khụng chỉ rừ dạng của σ thỡ sẽ cú n, σ t và k hệ số hồi quy để ước lượng, tức là, n + k tham số để ước lượng. Chỉ với n quan sỏt, đõy là nhiệm vụ khụng thể thực hiện được. Do đú chỳng ta cần phải đơn giả húa những giả thiết về phương sai của sai số. Ba phương ỏn sau đõy bao quỏt gần hết cỏc trường hợp đó thảo luận trong lý thuyết:
σ2t= α1 + α2Zt2 + α3Zt3 +...+ αpZtp (6.40a) σt = α1 + α2Zt2 + α3Zt3 +...+ αpZtp (6.40b) Lnσ = α2t 1 + α2Zt2 + α3Zt3 +...+ αpZtp (6.40c) điều này tương ứng với :
σ2t = exp(α1 + α2Zt2 + α3Zt3 +...+ αpZtp)
Với exp viết tắt của hàm mũ, là số hệ số chưa biết và cỏc giỏ trị Z là cỏc biến với những giỏ trị đó biết (một vài hoặc tất cả cỏc Z cú thể là cỏc giỏ trị X trong mụ hỡnh). Chỳng ta tham khảo những phương trỡnh này như những phương trỡnh phụ cho phương sai của sai số. Dễ dàng thấy rằng giả thuyết khụng (H0) của phương sai của sai số thay đổi cú p – 1 ràng buộc và được cho bởi : α1 = α2 = α3 =...= αp = 0.Theo giả thuyết khụng phương sai sẽ khụng đổi, cú nghĩa là phương sai của sai số thay đổi khụng tồn tại. Lưu ý rằng, trong tất cả cỏc biểu thức trờn, chỳng ta giả định rằng cỏc biến đó biết Z chịu trỏch nhiệm đối với phương sai của sai số thay đổi.
Bởi vỡ chỳng ta khụng biết σt nờn chỳng ta sử dụng giỏ trị ước lượng cú được từ việc ỏp dụng OLS vào phương trỡnh (6.40). Do đú chỳng ta sẽ sử dụng 2
t
e thay cho σ2t,e (giỏ trị tuyệt đối của Ut) t cho σt và ln( 2
t
e ) cho ln(σ2t). Cỏc bước kiểm định LM như sau:
Bước 1: Hồi quy Y cú số hạng chặn theo X2 X3,..., Xk và nhận được giỏ trị ước lượng OLS của cỏc hệ số β.
Người biờn soạn: TS. Trần Ngọc Minh 152
Bước 3a:Bỡnh phương cỏc phần dưvà hồi quy 2 t
e cú số hạng chặn theo Zt2, Zt3,..., Ztp và nhận được giỏ trị ước lượng OLS cho cỏc hệ số α. Đõy chớnh là hồi quy phụ tương ứng với phương trỡnh (6.40a).
Bước 3b: Tớnh toỏn giỏ trị tuyệt đối và hồi quy e cú số hạng chặn và theo Zt t2, Zt3, ...., Ztp và nhận được giỏ trị ước lượng OLS cho cỏc hệ số α. Đõy chớnh là hồi quy phụ tương ứng với phương trỡnh (6.40b).
Bước 3c: Lấy logarit của bỡnh phương cỏc phần dư và hồi quy ln( 2 t
e ) cú số hạng chặn và theo Zt2, Zt3, ...., Ztp và nhận được giỏ trị ước lượng OLS. Đõy chớnh là hồi quy phụ tương ứng với phương trỡnh (6.40c);
Bước 4: Tớnh toỏn kiểm định thống kờ LM = nR2, với n là số quan sỏt được sử dụng trong việc ước lượng hồi quy phụ và R2
là R2 chưa hiệu chỉnh từ hồi quy này.
Bước 5: Tớnh giỏ trị p = Prob( 2 p-1
> LM), đú là phần diện tớch ở phớa bờn phải của LM trong phõn phối khi bỡnh phương với bậc tự do df là p – 1.
Bước 6: Bỏc bỏ H0: αi = 0 (i = 1,2,3,.., p) và kết luận rằng phương sai của sai số thay đổi cú ý nghĩa nếu giỏ trị p-value nhỏ hơn mức ý nghĩa. Hoặc là, tra bảng khi bỡnh phương đối với bậc tự do df là p – 1 cho giỏ trị tới hạn p-1(α)2 , với α là mức ý nghĩa. Bỏc bỏ H0 nếu LM > p-1(α)2 . Nếu khụng bỏc bỏ kiểm định, thỡ khụng cú bất kỳ bằng chứng nào ủng hộ giả thiết phương sai của sai số thay đổi. Trong trường hợp này, OLS là thủ tục được chấp nhận.
Thống kờ nR2 dược đề cập đến ở đõy khụng phải là trị thống kờ kiểm định được đưa ra bởi những tỏc giả đầu tiờn của những kiểm định này. Như Engle đó chỉ ra, bởi vỡ tất cả những kiểm định này là những kiểm định mẫu lớn, cho nờn tất cả kiểm định đề xuất bởi nhiều tỏc giả khỏc nhau đều tương đương về mặt thao tỏc với kiểm định LM vừa đề cập ở trờn. Bởi vỡ phõn phối chớnh xỏc của những kiểm định thống kờ này chưa được biết (đặc biệt là với cỡ mẫu nhỏ), do vậy chỳng khỏc nhau về năng lực của kiểm định. Kiểm định biết nguyờn nhõn gõy nờn phương sai của sai số thay đổi càng chớnh xỏc, thỡ năng lực của kiểm định đú càng cao. Do kiểm định LM gần tương đương với những kiểm định khỏc (tức là, dành cho những cỡ mẫu lớn). Trị thống kờ nR2
là thớch hợp nhất và nú là kiểm định đề nghị được sử dụng.
Thớ dụ: Sử dụng mụ hỡnh bỡnh phương – logarit về lương của cỏc giỏo sư và minh họa bằng đồ thị sự hiện diện của phương sai của sai số thay đổi, với cỏc phương sai sai số lỳc đầu tăng theo số năm từ khi họ lấy được bằng tiến sĩ và sau đú giảm dần. Điều này gợi ý những mụ hỡnh bỡnh phương cho cấu trỳc sai số sau đõy:
(a) Breusch – Pagan: σ = α2t 1 + α2YEARSt + α3YEARS 2t (b) Glesjer: σt = α1 + α2YEARSt + α3YEARS2t
(c) Harvey – Godfrey: Ln(σ2t) = α1 + α2YEARSt + α3 2 t
YEARS
Giả thuyết khụng về phương sai của sai số thay đổi tương đương với H0: α2 = α3 = 0. Từ phần thực hành mỏy tớnh, chỳng ta thấy rằng cỏc trị thống kờ kiểm định LM tương ứng là 16,587, 28,923 và
Người biờn soạn: TS. Trần Ngọc Minh 153 35,303. Từ bảng khi bỡnh phương, giỏ trị tới hạn với bậc tự do df là 2 và mức ý nghĩa 0,001 là 13,816. Tất cả trị thống kờ của kiểm định LM đều lớn hơn giỏ trị này, và do vậy chỳng ta bỏc bỏ giả thuyết H0 cho tất cả cỏc trường hợp và kết luận rằng cú phương sai của sai số thay đổi.
Kết quả riờng phần của cỏc kiểm định LM:
Đầu tiờn lấy hồi quy của Ln(SALARY) cú hệ số chặn và theo YEARS và YEARS2t . Tiếp theo phỏt ra cỏc biến : usq = 2
t
e , absuhat = e và lnusq = ln(t e2t). Hồi quy phụ cho ba kiểm định LM được cho dưới đõy, bắt đầu bàng kiểm định Breusch – Pagan. Giả thuyết khụng là giả thuyết mà cỏc hệ số của YEARS và 2
t
YEARS đều bàng khụng Dependent variable: usq
VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT 2Prob (t > T ) (0) const -0,0111 0,0135 -0,823 0,411484 (2) YEARS 0,0061 0,0016 3,866 0,000146 *** (4) YEARS2 -0,0001288 0,0000394 -3,271 0,001246 *** Unadjuste R-Squared 0,075 Adjusted R – Squared 0,066
Chi – Squared(2): area to the right of (LM = 16,58655) = 0,00025
Giỏ trị p thấp cho biết bởi vỡ khả năng bỏc bỏ một giả thuyết đỳng là thấp, nờn chỳng ta cú thể bỏc bỏ một cỏch an toàn giả thuyết khụng về phương sai của sai số thay đổi và kết luận rằng cú phương sai của sai số thay đổi một cỏch ý nghĩa. Tiếp đến là hồi quy phụ cho kiểm định Glesjer:
Dependent variable: Absusq
VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT 2Prob (t > T ) (0) const 0,0312 0,0241 1,296 0,196278 (2) YEARS 0,0144 0,0028 5,118 0,000001 *** (4) YEARS2 -0,0002975 0,0000704 -4,227 0,000035 *** Unadjuste R-Squared 0,130 Adjusted R – Squared 0,122
Chi – Squared(2): area to the right of (LM = 28,922794) = 0,000001
Giỏ trị p thấp như vậy cho biết sự hiện hữu của phương sai của sai số thay đổi. Tiếp theo là hồi quy phụ đối với kiểm định Harvey – Godfrey cũng với giỏ trị p thấp, cho biết sự hiện hữu của phương sai của sai số thay đổi.
Dependent variable: Lnusq
VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT 2Prob (t > T ) (0) const -6,5627 0,3592 -18,268 0,000000 (2) YEARS 0,2356 0,0420 5,614 0,000000 *** (4) YEARS2 -0,0048 0,0011 -4,548 0,000009 *** Unadjuste R-Squared 0,159 Adjusted R – Squared 0,151 Chi – Squared(2): area to the right of (LM = 35,302998) = 0,00000
Người biờn soạn: TS. Trần Ngọc Minh 154