Dạy học giải bài tập toán

7. Cấu trúc luận văn

2.1.3 Dạy học giải bài tập toán

* Vị trí và chức năng của bài tập toán học: Ta đã biết rằng ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với HS, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trờng PT là một phơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kỉ năng kỉ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học ở trờng PT. Vì vậy việc tổ chức tốt các chức năng điều hành của GV trong việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán (Theo [6, tr. 206]).

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán đợc sử dụng với những dụng ý khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra...Tất nhiên, việc dạy giải một bài tập cụ thể thờng không nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thờng bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu.

Mỗi bài tập toán cụ thể đợc đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tờng minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những chức năng này đều hớng vào việc thực hiện các mục đích dạy học. Theo Vũ Dơng Thụy, trong môn Toán các bài tập mang các chức năng sau:

Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho HS những tri thức, kĩ năng, kỉ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.

Với chức năng giáo dục, bài tập cần hình thành, củng cố cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức ngời lao động mới. Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực t duy của học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của t duy khoa học.

Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS.

Trên thực tế, các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẽ và tách rời nhau. Hiệu quả của việc dạy học toán ở trờng PT phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà ngời viết SGK đã có dụng ý chuẩn bị. Ngời GV chỉ có thể khám phá và thực hiện đợc những dụng ý đó bằng năng lực s phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình.

* Các yêu cầu đối với lời giải: Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [6, tr. 208], để khai thác tốt các chức năng của bài tập toán, thầy và trò cần nắm vững các yêu cầu của một lời giải.

- Lời giải không có sai lầm.

- Lập luận phải có căn cứ chính xác. - Lời giải phải đầy đủ.

Ngoài ra, GV còn cần yêu cầu lời giải phải ngắn gọn, đơn giản , cách trình bày rõ ràng, hợp lí. Tìm đợc lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác đợc những đặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho HS “ có thể biết đợc cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (Pôlya 1975).

* Dạy học phơng pháp tìm lời giải bài toán: Trong môn Toán ở trờng PT có rất nhiều bài toán cha có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hớng dẫn HS cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đây là cơ hội rất tốt để GV trang bị cho HS một số tri thức phơng pháp – phơng pháp giải toán, phơng pháp toán học hóa – nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực t duy khoa học. Biết đề ra cho HS, đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối t- ợng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý của Pôlya (Pôlya 1975). Theo ông phơng pháp tìm tòi lời giải đợc tiến hành theo bốn bớc:

- Tìm hiểu nội dung của bài toán. - Xây dựng chơng trình giải. - Thực hiện chơng trình giải.

- Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải. Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn điều kiện cho trớc hay không? Hay cha đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẩn?

- Hãy vẽ hình. Hãy sử dụng ký hiệu thích hợp.

- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức hay không?

Bớc 2: Tìm cách giải

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào cha? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?

- Hãy xét kỹ cái cha biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái cha biết hay có cái cha biết tơng tự?

- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng một định lí nào đó không?

- Thấy đợc một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phơng pháp giải bài toán đó. Có cần phải đa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng đợc bài toán đó hay không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không?

- Nếu bạn cha giải đợc bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trờng hợp riêng? Một bài toán tơng tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không? Hãy giử lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm đợc xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi nh thế nào? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định đợc cái phải tìm hay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới đợc gần nhau hơn không?

- Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay cha? Đã sử dụng hết các điều kiện hay ch- a? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán cha?

- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra tờng bớc, thấy mỗi bớc đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?

- Có thể tìm đợc kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không?

- Nếu tìm đợc nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm lời giải ngắn gọn và hợp lý nhất.

Bớc 3: Trình bày lời giải

- Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bớc 2.

- Trình bày lại lời giải sau khi đã lợc bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chổ cần thiết.

Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Bạn có thể sử dụng kết quả hay phơng pháp đó cho một bài toán tơng tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác hay không?

Cần lu ý rằng, không phải lên lớp một bài giảng về phơng pháp giải bài tập toán mà đây là công việc lâu dài, hình thành cho học sinh từ từ và lẽ tất nhiên không phải bài tập nào cũng là những câu hỏi nh nhau. Tuỳ vào dạng toán và mức độ khó hay dễ của bài toán mà cần đến ít hay nhiều câu hỏi và là những câu hỏi nào, tập trung vào b- ớc cụ thể nào nữa,...

2.2. Cụ thể hóa các chức năng điều hành của giáo viên vào dạy học hình học 11 theo một số PPDH tích cực.

ở chơng I, chúng tôi đã nói đến các chức năng điều hành quá trình dạy học của giáo viên. Trong chơng này chúng tôi quan tâm tới hai chức năng:

- Chức năng gợi động cơ tạo tình huống hớng ngời học vào hoạt động phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải quyết vấn đề.

- Chức năng điều khiển học sinh phát hiện cách giải quyết vấn đề.

Trong chơng này chúng tôi sẽ cụ thể hóa hai chức năng điều hành trên vào một số PPDH tích cực đợc vận dụng vào trong các tình huống điển hình nói trên.

2.2.1. Cụ thể hóa các chức năng điều hành của giáo viên vào dạy học theo quan điểm kiến tạo.

2.2.1.1. Dạy học khái niệm.

Theo luận điểm 4 về dạy học theo quan điểm Kiến tạo, kiến thức đợc HS kiến tạo thông qua con đờng đợc mô tả theo s đồ:

Theo quan điểm kiến tạo, quá trình dạy học khái niệm Toán học cần rèn luyện cho học sinh đi từ cái riêng đến cái chung, có nghĩa là khả năng khái quát hoá trong Toán học. Nh vậy, theo quan điểm kiến tạo, khái niệm đợc hình thành theo con đờng quy nạp toán học.

Khi dạy học khái niệm, GV có thể tổ chức cho HS kiến tạo tri thức thông qua các hoạt động chủ yếu sau:

- GV xác định các tri thức kinh nghiệm đã có của HS liên quan chủ yếu đến tri thức mới cần dạy để từ đó tạo môi trờng kích hoạt HS kiến tạo kiến thức;

- Tạo cơ hội tập duyệt cho HS mò mẫm dự đoán đề xuất các phán đoán, các giả thuyết . Từ đó, nhờ vào t

“ ” duy HS làm bộc lộ đối tợng mang tính động cơ, nhu

cầu tìm kiếm kiến thức.

- Tổ chức cho HS thảo luận theo nhóm nhằm kiểm chứng các giả thuyết, đề xuất các cách khác nhau giải quyết vấn đề;

- GV thể thức hoá kiến thức HS tìm đợc.

Ví dụ 2.1: Khi dạy học khái niệm Phép biến hình: “Quy tắc đặt tơng ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M của mặt phẳng đó đ’ ợc gọi là phép biến hình trong mặt phẳng .”

* GV gợi động cơ tạo tình huống hớng học sinh vào hoạt động phát hiện vấn đề nh sau: Kiến thức đã có Dự đoán Kiểm nghiệm Thích nghi Kiến thức mới Thất bại 60

Tình huống 1: GV giao nhiệm vụ cho HS (xuất phát từ những kiến thức đã có). 1, Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định với điểm M tùy ý. Hãy dựng điểm M’ đối xứng với M Qua O.

2, Trong mặt phẳng, cho một véc tơ a, với điểm M tùy ý. Hãy dựng điểm M’ sao cho MM'=a.

3, Trong mặt phẳng, cho một đờng thẳng d và một điểm M. Hãy dựng hình chiếu vuông góc M’ của M lên đờng thẳng d.

Tình huống 2: Hãy nhận xét những đặc điểm giống nhau và điểm khác nhau ở các tình huống trên?

GV gợi ý về khái niệm phép biến hình sau khi HS thực hiện xong các hoạt động trên.:

- Cho điểm M và đờng thẳng d, phép xác định hình chiếu M’của M là một phép biến hình.

- Cho điểm M’ trên đờng thẳng d, phép xác định điểm M để M’ là hình chiếu của M không phải là một phép biến hình.

GVyêu cầu HS tự phát biểu định nghĩa theo sự hiểu biết của mình, sau đó GV thể thức hoá kiến thức HS tìm đợc.

* Khi đã hình thành đợc khái niệm, GV tổ chức cho HS tình huống tiếp theo nhằm giúp HS củng cố khái niệm.

Tình huống 3: GV đề ra các câu hỏi:

Câu hỏi 1: Hãy phát biểu một cách chính xác định nghĩa Phép biến hình? Câu hỏi 2: Hãy nêu một ví dụ về phép biến hình?

Câu hỏi 3: Các quy tắc sau đây, quy tắc nào là phép biến hình. (a) Quy tắc đặt tơng ứng mỗi điểm A với điểm A' sao cho AA'=a. (b) Quy tắc biến mỗi điểm A với điểm A' sao cho AA’//d.

(c) Quy tắc đặt tơng ứng mỗi điểm M với điểm M’ sao cho MM’=a.

Ví dụ 2.2: Dạy học khái niệm hai mặt phẳng song song: “Hai mặt phẳng (α), (β) đợc gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung”

* GV tạo tình huống hớng học sinh vào hoạt động dự đoán nhằm phát hiện vấn đề nh sau:

Câu hỏi 1: Hãy nhắc lại định nghĩa hai đờng thẳng song song?

Câu hỏi 2: Hãy nhắc lại định nghĩa đờng thẳng và mặt phẳng song song? Từ đó hãy dự đoán về hai mặt phẳng song song?

GV thể thức hoá kiến thức HS tìm đợc.

* GV tạo tình huống nhằm củng cố khái niêm.

- Cho HS thực hiện hoạt động:

(1) Yêu cầu HS phát biểu chính xác về định nghĩa hai mặt phẳng song song. (2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Hãy chỉ ra các cặp mặt phẳng song’ ’ ’ ’

song với nhau?

(3) Cho hai mặt phẳng (α), (β) song song với nhau. Đờng thẳng d nằm trong mặt phẳng (α). Hỏi d và (β) có điểm chung hay không?”

Nh vậy ở các ví dụ trên đã thông qua một số hoạt động khảo sát các trờng hợp cụ thể xuất phát từ những kiến thức đã có, rồi dẫn dắt học sinh bằng cách trừu tợng hóa, tơng tự hoá, khái quát hoá đã giúp học sinh suy nghĩ, mò mẫm, dự đoán để tìm ra vấn đề tổng quát hơn Từ đó học sinh có cơ sở dự đoán đợc khái niệm. Nhờ những ph- ơng pháp đó, chúng ta có thể mở rộng,đào tạo thêm kiến thức của mình.

2.2.1.2. Dạy học định lí.

Theo quan điểm kiến tạo, quá trình dạy học một định lý thờng trải qua các khâu sau:

Dự đoán - kiểm nghiệm- chứng minh định lí - phát biểu định lý - củng cố và vận dụng định lý.

Nh vậy, con đờng này tơng tự nh con đờng thứ nhất (con đờng có khâu suy đoán) Theo con đờng này để dạy học một định lí chúng ta thờng đi theo các bớc sau: 1) Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học;

2) Dự đoán và kiểm nghiệm .

3) Chứng minh định lí;

Để chứng minh đợc định lí yêu cầu học sinh phải huy động kiến thức đã học vốn có của mình, và biết cách vận dụng hợp lý để đa ra kết quả cần chứng minh.

4) Củng cố định lí. 5) Vận dụng định lí .

Ví dụ 2.3: Dạy định lí: “ Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) cho trớc có một và chỉ một mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α)” trong bài “Hai mặt phẳng song song”

* GVgợi động cơ, tạo tình huống hớng học sinh vào hoạt động dự đoán nhằm phát hiện vấn đề nh sau:

- GV có thể gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong nội bộ Toán học bằng cách tạo tình huống hớng HS vào hoạt động dự đoán, phát hiện định lí nh sau:

Ta đã biết rằng: Qua một điểm không thuộc đờng thẳng d có một và chỉ một đ- ờng thẳng d’ song song với d. Nếu ta thay đờng thẳng d bởi mặt phẳng (α) thì kết quả sẽ nh thế nào?

- GV tạo tình huống: Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1, điểm M chạy trên CC1. Khi nào thì mp (ABM) song somg với mp (A1B1C1D1)?

A D B C N A1 M D1 J B1 C1 I Hình 7

GV yêu cầu HS xét các trờng hợp đặc biêt: M ≡ C1; M ≡ C; M ≠ C và M ≠ C1

HS khảo sát các trờng hợp trên:

+ Khi M ≡ C1 thì mp (ABM) cắt mp (A1B1C1D1) theo giao tuyến C1D1.

+ Khi M ≡ C thì mp (ABM) chính là mp (ABCD) song song với mp (A1B1C1D1). + Khi M ≠ C và M ≠ C1 thì mp (ABM) cắt DD1 tại N sao cho MN // C1D1.

Khi đó AM cắt B1C1 tại I, BN cắt A1D1 tại J nên mp (ABM) cắt mp (A1B1C1D1) theo giao tuyến IJ.

Nh vậy, từ việc gợi động cơ , tạo tình huống của GV, HS dựa vào kiến thức đã biết kết hợp với kết quả của việc khảo sát trên, HS sẽ đa ra dự đoán.

Dự đoán: Từ tình huống của GV, kết hợp với kiến thức HS đã biết các em sẽ đa ra dự đoán: Nếu ta thay đờng thẳng d bởi mặt phẳng (α) thì kết quả sẽ có duy nhất