7. Cấu trúc luận văn
2.2.1.2 Dạy học định lí
Theo quan điểm kiến tạo, quá trình dạy học một định lý thờng trải qua các khâu sau:
Dự đoán - kiểm nghiệm- chứng minh định lí - phát biểu định lý - củng cố và vận dụng định lý.
Nh vậy, con đờng này tơng tự nh con đờng thứ nhất (con đờng có khâu suy đoán) Theo con đờng này để dạy học một định lí chúng ta thờng đi theo các bớc sau: 1) Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học;
2) Dự đoán và kiểm nghiệm .
3) Chứng minh định lí;
Để chứng minh đợc định lí yêu cầu học sinh phải huy động kiến thức đã học vốn có của mình, và biết cách vận dụng hợp lý để đa ra kết quả cần chứng minh.
4) Củng cố định lí. 5) Vận dụng định lí .
Ví dụ 2.3: Dạy định lí: “ Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) cho trớc có một và chỉ một mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α)” trong bài “Hai mặt phẳng song song”
* GVgợi động cơ, tạo tình huống hớng học sinh vào hoạt động dự đoán nhằm phát hiện vấn đề nh sau:
- GV có thể gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong nội bộ Toán học bằng cách tạo tình huống hớng HS vào hoạt động dự đoán, phát hiện định lí nh sau:
Ta đã biết rằng: Qua một điểm không thuộc đờng thẳng d có một và chỉ một đ- ờng thẳng d’ song song với d. Nếu ta thay đờng thẳng d bởi mặt phẳng (α) thì kết quả sẽ nh thế nào?
- GV tạo tình huống: Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1, điểm M chạy trên CC1. Khi nào thì mp (ABM) song somg với mp (A1B1C1D1)?
A D B C N A1 M D1 J B1 C1 I Hình 7
GV yêu cầu HS xét các trờng hợp đặc biêt: M ≡ C1; M ≡ C; M ≠ C và M ≠ C1
HS khảo sát các trờng hợp trên:
+ Khi M ≡ C1 thì mp (ABM) cắt mp (A1B1C1D1) theo giao tuyến C1D1.
+ Khi M ≡ C thì mp (ABM) chính là mp (ABCD) song song với mp (A1B1C1D1). + Khi M ≠ C và M ≠ C1 thì mp (ABM) cắt DD1 tại N sao cho MN // C1D1.
Khi đó AM cắt B1C1 tại I, BN cắt A1D1 tại J nên mp (ABM) cắt mp (A1B1C1D1) theo giao tuyến IJ.
Nh vậy, từ việc gợi động cơ , tạo tình huống của GV, HS dựa vào kiến thức đã biết kết hợp với kết quả của việc khảo sát trên, HS sẽ đa ra dự đoán.
Dự đoán: Từ tình huống của GV, kết hợp với kiến thức HS đã biết các em sẽ đa ra dự đoán: Nếu ta thay đờng thẳng d bởi mặt phẳng (α) thì kết quả sẽ có duy nhất mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α).
Kiểm nghiệm: GV cho HS quan sát hình vẽ để các em thảo luận và rút ra nhận xét.
Hình vẽ nh sau: Điểm A nằm ngoài mặt phẳng (α) cho trớc.Trong mp (α) lấy hai đờng thẳng d1, d 2 cắt nhau. Qua A, kẻ các đờng thẳng d1’, d 2’ lần lợt song song với d1, d 2 .
Khi đó HS sẽ nhận thấy rằng có mặt phẳng (β) chứa hai đờng thẳng d1’, d 2’ cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (α) nên (β) // (α).
Để giúp HS kiểm nghiệm tính duy nhất, GV có thể định hớng bằng cách đặt câu hỏi: Nếu còn có mặt phẳng (β’) cũng đi qua A và song song với mặt phẳng (α) thì sẽ dẫn đến điều gì? Từ đó các em sẽ phát biểu đợc định lí một cách chính xác. GV thể chế hoá kiến thức. d1’ A d2’ )β d1 d2 )α Hình 8
- Chứng minh định lí: Trên cơ sở HS đã kiểm nghiệm đợc dự đoán của mình GV yêu cầu HS trình bày chứng minh định lí thông qua hai ý:
+ Chỉ ra tồn tại một mặt phẳng qua A và song song với mặt phẳng (β). + Chứng minh tính duy nhất bằng phơng pháp phản chứng.
- Củng cố định lí: GV giao cho HS thực hiện các nhiệm vụ sau nhằm củng cố định lí.
(1) Hãy phát biểu định lí một cách chính xác?
(2) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC . Gọi Sx,Sy,Sz lần lợt là phân giác ngoài của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB. Chứng minh rằng:
a, Mặt phẳng (Sx,Sy) song song với mặt phẳng (ABC). b, Sx,Sy,Sz cùng nằm trong một mặt phẳng.
- ứng dụng định lí. Từ định lí trên ta có thể chứng minh đợc các hệ quả sau:
Hệ quả 1: Nếu đờng thẳng d // (α) thì có một mặt phẳng duy nhất qua d và song song với mp (α).
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hệ quả 3: Cho A là một điểm không nằm trong mặt (α). Mọi đờng thẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và
song song với mặt phẳng (α).
Ví dụ 2.4: Dạy học định lí Ta-Lét trong không gian: “Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ”
* GV gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong nội bộ Toán học.
Tình huống 1: Hãy phát biểu định lí Ta-Lét trong tam giác?
Hãy phát biểu định lí Ta-Lét trong mặt phẳng?
Nếu thay đờng thẳng bởi mặt phẳng thì kết quả sẽ thế nào?
Tình huống 2: GV cho HS quan sát hình vẽ rồi đa ra nhận xét về các tỉ số
' ' ; ' ' ; ' ' A C AC C B BC B A AB ? d d’ d d’ A≡A’ A A’ B B’ B’ B C C’ C C’ Hình 9 Hình 10
Nếu d, d’ chéo nhau thì kết quả sẽ nh thế nào? 66
Từ những tình huống đặt ra của GV, kết hợp với kiến thức đã biết HS sẽ đa ra dự đoán.
GV yêu cầu HS kiểm chứng lại dự đoán của mình bằng cách cho HS quan sát hình vẽ sau: d d1 d’ A A’ B B1 B’ C1 C C’ Hình 11
Sau đó phát biểu mệnh đề mình vừa kiểm chứng. - GV thể chế hoá kiến thức.
* GV điều khiển HS chứng minh định lí.
Trớc hết, GV cần giải thích lại để HS hiểu đợc thế nào là các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ. Giả sử ba mặt phẳng song song ( ) ( ) ( )α , β , γ cắt hai đờng thẳng d và d’ lần lợt tại A, B, C và A’, B’, C’ (hình vẽ). khi đó ta cần phải chứng minh hệ thức nói về các
đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ sau đây: AAB'B' =BBC'C' =CCA'A'
Hỏi: Hai đờng thẳng d và d’ ở trong không gian, ta cần xét những trờng hợp nào của hai đờng thẳng đó?
Mong đợi câu trả lời: Ta cần xét hai trờng hợp: d và d’ đồng phẳng; d và d’ chéo nhau.
Trờng hợp 1: d và d đồng phẳng.’
GV yêu cầu HS sử dụng định lí Ta-Lét trong hịnh học phẳng để chứng minh.
Trờng hợp 2: d và d’ chéo nhau.
Khi đó A’ không nằm trên d. Qua A’ vẽ đờng thẳng d1 // d cắt ( ) ( )β , γ lần lợt tại B1 ,C1 (hình 11).
Hỏi: Em có nhận xét gì về AB và A’B1; BC và B1C1; B1 B’ và C1 C’? Vì sao? Từ cách định hớng của GV, buộc HS phải huy động kiến thức đã biết để chứng minh định lí.
*Tổ chức các hoạt động nhằm củng cố định lí.
- Yêu cầu HS phát biểu định lí một cách chính xác.
- Cho HS làm bài toán sau để nhận dạng và thể hiện định lí.
“ Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A1 là trung điểm của cạnh SA và A2 là trung điểm lợt đi qua A1 , A2. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lợt tại B1,C 1, D1. Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lợt tại B2,C 2, D2. Chứng minh:
a, B1,C 1, D1 lần lợt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. b, B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D.
* GV gợi động cơ học tập định lí đảo. Điều ngợc lại của định lí Ta-Lét có đúng hay không?
GV dẫn dắt HS đi đến nội dung của định lí Ta-Lét đảo. *ứng dụng định lí.
(1) ứng dụng định lí Ta-Lét để chứng minh một đờng thẳng song song với một mặt phẳng cố định.
Ví dụ: “Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 . Hai điểm M, N di động trên AA1
và BC sao cho MAMA =NCNB
1 . Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.”
Ví dụ : “Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác
nhau. Trên các cạnh AD, BE lần lợt lấy hai điểm M, N sao cho AM BN
MD NE= . Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định”.
(2) ứng dụng vào bài toán quỹ tích.
Ví dụ: Trong không gian cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b. AB là đờng
vuông góc chung. Hai điểm M, N di động trên a, b sao cho: AM = BN. Tìm quỹ tích trung điểm MN?
Nh vậy, để dạy định lí theo quan điểm kiến tạo, GV không cung cấp định lí một cách đột ngột mà bằng cách gợi động cơ học tập, tạo tình huống hớng HS vào hoạt động kiến tạo, hình thành kiến thức mới bắt nguồn từ những kiến thức đã có. Qua đó rèn luyện cho học sinh các năng lực: Năng lực xem xét các đối tợng Toán học, các quan hệ Toán học trong mỗi quan hệ giữa cái chung, cái riêng..., năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, năng lực liên tởng...
2.2.1.3. Dạy học giải bài tập toán.
Từ PPDH theo quan điểm kiến tạo của nhiều tác giả.Từ những luận điểm của G.Polya về con đờng phát hiện tìm tòi lời giải bài toán. Từ thực tiễn dạy giải bài tập toán. Chúng tôi nghĩ rằng: Để việc dạy giải bài tập toán nói chung và giải bài tập hình học nói riêng theo quan điểm kiến tạo có hiệu quả thì trớc hết chúng ta cũng tuân thủ theo phơng pháp tìm tòi lời giải của G.Polya đã trình bày ở trên. Đặc biệt, GV cần tạo các tình huống hớng HS vào các hoạt động nhằm rèn luyện cho HS các năng lực sau đây:
với các kiến thức đã có. Từ đó Khai thác triệt để các kiến thức và kinh nghiệm đã có của HS liên quan đến vấn đề cần dạy làm cơ sở cho việc kiến tạo tri thức mới
- Năng lực khái quát hoá, tơng tự hoá, đặc biệt hoá, xét trờng hợp đặc biệt cụ thể
- Năng lực nhìn nhận bài toán dới nhiều góc độ khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng tình huống mới với tri thức đã có trớc đó để huy động kiến thức
Sau đây là một số ví dụ khi dạy học giải bài tập toán thể hiện quá trình dạy học trên.
Ví dụ 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4x2−12x+13+ 4x2 −28x+53
* GV tạo tình huống, hớng HS vào các hoạt động kiến tạo kiến thức nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề.
Tình huống 1: Hãy nhận xét về các biểu thức dới dấu căn? Các em có thể biến đổi nh thế nào? Vì sao?
HS sẽ nhận thấy: Biểu thức dới căn bậc hai đều dơng với mọi x, hơn nữa ta có thể biến đổi. ( ) (2 )2 2 12x 13 2x 3 0 2 x 4 − + = − + − ( ) (2 )2 2 28x 53 2x 7 0 2 x 4 − + = − + −
Biến đổi trên có đợc là nhờ sự liên tởng đến công thức độ dài của một đoạn thẳng mà các em HS đã biết. ( ) ( )2 A B 2 A B 2 y y x x AB = − + −
Khi đó hàm số y đợc biến đổi về dạng
( ) (2 )2 2 ) 2 0 ( ) 7 x 2 ( 2 0 3 x 2 y= − + − + + + −
Tình huống 2: Ta có thể chuyển đổi bài toán này sang bài toán hình học đợc không? Hãy tìm cách chuyển đổi bài toán?
Gọi điểm M(2x,0) di chuyển trên 0x A(3;2); B(7;2) là các điểm cố định. Ta đợc y=MA+MB Hình 12 M 2x 2 A B 0 3 5 7 A ’ H y x 70
Nh vậy ta đã biến đổi từ hình thức của bài toán đại số, dới dạng hình
thức của bài toánhình học, khi đó bài toán đợc chuyển thành: “Xác định vị trí của điểm M trên trục 0x sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất .”
Đây là bài toán quen thuộc đối với HS.
Từ hình vẽ ta suy ra: MA+MB=MA'+MB≥ A'B Đẳng thức xảy ra khi 2 5 x 5 x 2 H M≡ ⇔ = ⇔ = 2 4 2 min y =HA HB+ = HB=
Trong quá trình giải toán, ta cũng cần rèn luyện cho học sinh cách chuyển đổi ngôn ngữ trong một nội dung bài toán hoặc chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác. Từ đó dẫn đến các cách để HS kiến tạo kiến thức nhằm giải quyết vấn đề.
Ví dụ 2.6: Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1. Gọi G là trọng tâm của tam giác BDA1. Chứng minh rằng ba điểm Α, G, C1 thẳng hàng.
* GV tạo tình huống, hớng HS vào các hoạt động kiến tạo kiến thức nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề.
Tình huống: Hãy chuyển yêu cầu bài toán theo ngôn ngữ véc tơ? Theo ngôn ngữ tổng hợp? Theo ngôn ngữ của phép chiếu song song? Từ đó hãy định hớng cách giải? Cách 1. Ta có thể chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ: Α, G, C1 thẳng hàng khi và chỉ khi AG xACuuur= uuuur1, xác định x. Việc xác định nhờ khai triển các vectơ
1
AG xAC=
uuur uuuur
qua ba vectơ không đồng phẳng AG auuur r= , AD buuur r= , AAuuuur r1=c. Từ đó ta tính đợc x=1 3 . Vậy 1 1 AG AC 3 = uuur uuuur suy ra ba điểm Α,G,C1 thẳng hàng. Cách 2: Ta có thể sử dụng ngôn ngữ tổng hợp:
Chứng minh rằng Α, G, C1 thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt.
Cách 3: Ta có thể lập luận chứng minh rằng hình chiếu của ba điểm Α, G, C1
theo hai phơng khác nhau có ảnh là ba điểm thẳng hàng.
Chúng ta cũng cần chú ý rèn luyện cho HS năng lực khái quát hóa, tơng tự hóa, đặc biệt hóa... Các ví dụ sau đây thể hiện rõ điều đó.
Ví dụ 2.7: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lợt là các điểm thuộc các cạnh AD, BB’ sao cho AM= BN. Gọi I,J lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, C’D’. Hãy xác định vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng MN, IJ?
A M D I B C N O A’ D’ J B’ C’ Hình 13
* GV gợi động cơ, tạo tình huống hớng HS vào hoạt động phát hiện vấn đề.
Tình huống: Hãy khảo sát vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng MN và đờng thẳng IJ trong các trờng hợp sau:
- Khi điểm M ≡ A, N ≡ B - Khi điểm M ≡ D, N ≡ B
- Khi M, N lần lợt là trung điểm của cạnh AD, BB’
Khi gặp tình huống trên học sinh tự tìm tòi suy nghĩ và trao đổi với ngời cùng nhóm về cách giải quyết vấn đề.
-Trong trờng hợp thứ nhất, ta có AB⊥IJ.
-Trong trờng hợp thứ hai, do tứ giác IDJB’ là hình thoi nên IJ cắt và vuông góc với B’D.
-Trong trờng hợp thứ ba, gọi O là trung điểm của BD’, khi đó tứ giác OMIN là hình thoi nên MN cắt và vuông góc với IJ tại trung điểm của đoạn MN.
GV yêu cầu HS phát biểu mệnh đề tổng quát. Từ các trờng hợp riêng, các em sẽ biết tổng quát lên và phát biểu đợc “ Nếu M là điểm thuộc cạnh AD, N là điểm thuộc cạnh BB’ thì MN luôn cắt và vuông góc với IJ.”
*GV điều khiển học sinh chứng minh trờng hợp tổng quát.
Gợi ý HS chứng minh MN ⊥ IJ theo các hớng sau đây:
Hớng 1: MN ⊥ IJ tại trung điểm của MN khi và chỉ khi N là ảnh của M qua phép đối xứng trục IJ. Yêu cầu học sinh lập luận bằng cách thực hiện phép đối xứng trục. Hớng 2: MN cắt và vuông góc với IJ khi và chỉ khi ba véc tơ IM,IJ,IN đồng phẳng và MN.IJ =0
Hớng 3: Chọn hệ tọa độ sao cho A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A’(0,0,1). Yêu cầu