7. Cấu trúc luận văn
2.3. Sử dụng phơng tiện trực quan trong việc tổ chức các tình huống để h-
HS vào hoạt động PH vấn đề, PH cách GQVĐ.
2.3.1. Sử dụng các mô hình, hình ảnh thực tế làm cơ sở bớc đầu để HS phát hiện kiến thức
Khi học các kiến thức của môn Toán, đặc biệt là kiến thức về hình học, có rất nhiều mô hình hay hình ảnh thực tế sẽ là cơ sở cho HS phát hiện, hình thành khái niệm hay định lí. Chẳng hạn để HS hiểu giao tuyến của hai mặt phẳng GV có thể chỉ ra đó là sống quyển sách với hai mặt phẳng cắt nhau là hai trang sách; hay đó là cạnh nơi giao nhau của hai bức tờng. Hoặc để cho HS hiểu ba đờng thẳng trong không gian đôi một vuông góc với nhau chúng ta có thể chỉ cho HS thấy: các đờng giao tuyến của hai bức tờng và trần nhà của phòng học sẽ tạo ra ba đờng thẳng vuông góc với nhau từng đôi một.
Bên cạnh đó thực tế không chỉ để học sinh hiểu hay hình thành các khái niệm mà thực tế khách quan còn có thể giúp HS phát hiện ra các định lí, các tính chất hình thành định lí, qua đó hiểu định lí và hình thành cách thức chứng minh các định lí. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ:
Ví dụ 2.23: Để HS phát hiện ra các vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và mặt phẳng, chúng ta có thể cho HS quan sát mô hình hình lập phơng và yêu cầu nhận xét số điểm chung của mỗi cạnh AD,AA ',A 'D' và mặt phẳng (A 'B'C'D') của hình lập phơng.
Tiếp theo GV dùng thớc thay cho đờng thẳng và bảng thay cho mặt phẳng đa ra các trờng hợp về vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và mặt phẳng để giúp HS một lần nữa tiếp cận khái niệm.
Ví dụ 2.24: Để HS có thể phát hiện định lí: “Nếu đờng thẳng ∆ vuông góc với hai đờng thẳng cắt nhau a, b thuộc mặt phẳng (P) thì ∆ vuông góc với mọi đờng thẳng d thuộc (P)”. Chúng ta có thể cho HS tiến hành hoạt động với mô hình thực tế sau:
Lấy hai thanh kim loại mảnh, đợc hàn kết với nhau ở giữa và tạo lỗ thủng để có thể cắm vừa thanh thép thứ ba vuông góc với hai thanh nói trên; chúng mô tả các đ- ờng thẳng a, b cắt nhau và đờng thẳng c vuông góc với hai đờng
thẳng a và b. Hệ thống các thanh thép đợc đặt trên tấm ván gỗ mỏng tợng trng cho phần mặt phẳng (P). Hai đờng thẳng a, b đ- ợc mô tả bởi hai thanh thép a và b nằm
sát trên tấm ván và đờng thẳng c xuyên qua hai thanh thép a, b và đồng thời xuyên qua tấm gỗ đợc giữ chặt.
Thanh thép thứ t đặc trng cho đờng
thẳng ∆đợc cắm xuyên qua tấm ván sao cho c // ∆.
Hoạt động 1: Cho đờng thẳng d bất kì nằm trên tấm ván và nhận xét độ lớn các góc.
+ Góc giữa d và ∆ cũng là góc (a,c) khi d // a. + Góc giữa d và ∆ cũng là góc (c,b) khi d // b.
+ Góc giữa d và ∆ khi d không song song với cả a và b.
Trờng hợp cuối HS dự đoán góc giữa d và ∆. Khi HS đã có kết luận về góc giữa d và ∆ rồi GV mới tiến hành tiếp hoạt động 2.
Hoạt động 2: Cho đặt thêm một thanh thép d' sao cho d' đi qua giao điểm của a và b đồng thời d'// d .
- Hãy cho biết độ lớn của góc tạo bởi hai đờng thẳng d và c?’
HS trực giác phán đoán độ lớn góc (d',c) là 900.
Từ đó GV cho HS phán đoán mệnh đề về góc giữa đờng thẳng d bất kì thuộc (P) và đờng thẳng c, có nghĩa là góc giữa d và ∆.
GV thể chế hoá kiến thức: “Nếu đờng thẳng ∆ vuông góc với hai đờng thẳng cắt nhau a, b thuộc mặt phẳng (P) thì ∆ vuông góc với mọi đờng thẳng d thuộc (P)”.
Ví dụ 2.25: Khi dạy định lí: “Nếu mặt phẳng (α ) chứa hai đờng thẳng a, b cắt nhau và hai đờng thẳng này cùng song song với mặt phẳng ( )β cho trớc thì mặt phẳng (α ) và ( )β song song với nhau”.
GV có thể gợi động cơ nhằm phát hiện định lí với mô hình sau:
a b d' c d ∆ Hình 39 112
Hình lập phơng ABCD.A B C D1 1 1 1 làm bằng bìa hoặc gỗ mỏng đợc cắt thành hai nửa và chúng có thể ghép lại bằng những mẩu nam châm mỏng.
Hình 40
Hoạt động 1: Quan sát hình vẽ và nhận xét hai
mặt phẳng (ABCD) và (A B C D )1 1 1 1 .
Mong đợi câu trả lời: Mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A B C D )1 1 1 1
Hoạt động 2: Nhận xét về các cặp đờng thẳng (AB, AD),(BA, BC) và (CB, CD).
Mong đợi câu trả lời: Chúng đều có tính chất cắt nhau và song song với mặt phẳng
1 1 1 1
(A B C D ).
GV đặt câu hỏi cho HS : Cần bao nhiêu cặp đờng thẳng cắt nhau của mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A B C D )1 1 1 1 để mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng(A B C D )1 1 1 1 ?.
Cắt đôi hình lập phơng theo mặt phẳng (ACC A )1 1 ta đợc các hình nh sau (Hình..., hình...).
Hãy quan sát hình đợc cắt ra: ở hình 2 chỉ có hai đờng thẳng BA ;BC1 1 cắt nhau và song song với mặt phẳng (A 'B C ')1 1 1 và hình 3 chỉ còn cặp đờng thẳng DA , DC2 2
cắt nhau và song song với mặt phẳng (A "C "D )1 1 1 . Tuy nhiên vẫn giữ nguyên các cặp mặt phẳng (A BC );(A 'B C ')1 1 1 1 1 song song với nhau và (A DC ); (A "D C ")2 2 1 1 1 song
song với nhau.
A1 D1 D C B B1 C 1 A
A'1 C1 B B'1 C' 1 A1 A"1 D1 D C2 C"1 A2
- Để cho mặt phẳng đáy trên song song với mặt phẳng đáy dới thì ta cần điều kiện gì?
- Em hãy phát biểu mệnh đề tổng quát điều kiện để mặt phẳng ( )α song song với ( )β là gì?
Từ đó HS nêu mệnh đề tổng quát.
2.3.2. Sử dụng một cách hợp lí các phần mềm dạy học trong việc tổ chức các hoạt động học tập
Trong phạm vi đề tài, luận văn đề cập đến việc sử dụng phần mềm dạy học Geometer’s Sketchpad nhằm hỗ trợ trong việc tổ chức các tình huống để giúp học sinh tích cực hoạt động tìm tòi, phát hiện kiến thức.
Với các chức năng vẽ hình (điểm, đoạn thẳng, đờng thẳng, tia, đờng tròn, tạo trung điểm của một đoạn thẳng, dựng một đờng thẳng song song với một đờng thẳng khác,...); mô phỏng quỹ tích, các phép biến đổi hình học (tịnh tiến, phản xạ, quay và co hình, vị tự,...); đo đạc và tính toán, hoạt hình và giữ vết. Có thể thấy phần mềm Geometer’s Sketchpad là một công cụ lí tởng để tạo ra các bài giảng sinh động môn Hình học. Đặc biệt với khả năng động, việc tiến hành các bài giảng trên máy tính với phần mềm này sẽ góp phần tích cực hoá ngời học một cách cao độ.
Sau đây là một số ví dụ về việc sử dụng Geometer’s Sketchpad trong việc tổ chức các tình huống dạy học toán:
Hình 41 Hình 42
a) Dạy khái niệm: Với các đặc tính u việt, cho phép khai thác phần mềm Geometer’s Sketchpad hỗ trợ dạy học khái niệm ở cả hai giai đoạn trong quá trình hình thành khái niệm hình học đó là: Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng và từ t duy trừu tợng đến thực tiễn. Phần mềm này có thể trợ giúp tốt cho việc nhận dạng các thuộc tính đặc trng của khái niệm, cụ thể hoá và đặc biệt hoá khái niệm.
Sau đây chúng ta xét một vài ví dụ trong số đó. vr
Ví dụ 2.26: (trình bày trên Geometer’s Sketchpad ) M’ Khi dạy khái niệm “Phép tịnh tiến”, M
ta có thể làm nh sau: + Dựng vectơ vr
+ Dựng điểm M và ảnh M’ của nó qua phép tịnh tiến theo vectơ vr
+ Cho véctơ vr thay đổi cả về phơng, chiều và độ lớn. Yêu cầu HS nhận xét
để thấy đợc thuộc tính đặc trng của khái niệm “Phép tịnh tiến” là bao giờ cũng có: MM'
uuuuur
= vr.
+ Cho điểm đầu và điểm cuối của vectơ vr trùng nhau, khi đó M’ trùng với M, phép tịnh tiến theo vectơ vr = 0r lúc này chính là phép đồng nhất, đây là sự đặc biệt hoá của khái niệm “Phép tịnh tiến”.
b) Dạy các định lý: Geometer’s Sketchpad có thể trợ giúp tốt cho việc giới thiệu định lý, gợi động cơ chứng minh định lý, phân tích định lý để tìm cách chứng minh.
Ví dụ 2.27: Khi dạy định lý “Nếu phép đối xứng trục biến hai điểm bất kỳ M và N thành hai điểm M’, N’ thì MN = M’N’, ta có thể giới thiệu và gợi động cơ nh sau:
+ Dựng đờng thẳng d.
+ Dựng hai điểm M, N. + Dựng ảnh M’ của M và N’ của N qua phép đối xứng trục d (Đd).
+ Dựng đoạn MM’ và NN’ bằng nét đứt.
+ Nối MN và M’N’, đo độ dài của hai đoạn thẳng này (kết quả đợc ghi vào một khung hình d N' M' M N Hình 43 Hình 44
chữ nhật đặt bên cạnh đoạn cần đo)
+ Thay đổi điểm M hoặc điểm N thì độ dài đoạn MN và M’N’ cùng thay
đổi nhng luôn bằng nhau. Từ đó ta nêu định lý và yêu cầu học sinh tìm cách chứng minh.
Ví dụ 2.28: Khi dạy định lí: “Phép vị tự biến đờng tròn thành đờng tròn”. Ta có thể phối hợp các phơng pháp nh sau:
Đặt vấn đề: Nh chúng ta đã biết, các phép dời hình biến một đờng tròn thành một đờng tròn bằng nó và tâm đờng tròn này biến thành tâm đờng tròn kia, liệu rằng phép vị tự có tính chất này không?
+ Dựng điểm O và gõ vào một số thực k ≠0. + Dựng đờng tròn (I, R).
(Dừng lại một lúc cho HS vẽ hình vào vở)
+ Yêu cầu HS dựng ảnh I’ và I và ảnh của một số điểm trên đờng tròn qua phép k O
V để dự đoán xem những điều nói trên có còn đúng không.
Để chính xác hoá những nhận định trên, GV có thể làm tiếp nh sau: + Chọn điểm M thuộc (I, R). Dựng ảnh M’ của M qua k
O
V bằng cách thực hiện lệnh Dilate từ thực đơn Transform, nối OM’ bằng nét đứt.
+ Xác định trạng thái để lại dấu vết cho điểm M’, sau đó di chuyển điểm M trên (I, R), khi đó điểm M’ cũng di chuyển và vạch ra quỹ tích của nó, quỹ tích đó nhìn trực quan có vẻ nh là một đờng tròn tâm I’ nhng bán kính nói chung không bằng bán kính của đờng tròn (I, R).
Đến đây, GV có thể nêu câu hỏi:
M I I’ O M' Hình 45 116
- Muốn chứng minh cho điểm M thuộc một đ’ ờng tròn nào đó có tâm là I th’ ì ta phải làm thế nào? (HS có thể trả lời ngay rằng cần phải chứng minh cho điểm M’ luôn cách điểm I’ một khoảng không đổi).
GV hỏi tiếp: Khoảng cách không đổi giữa M và I đó bằng bao nhiêu?’ ’
Để gợi ý, ta có thể nối IM và I’M’ rồi yêu cầu HS sử dụng những kiến thức đã học (định lý 1 của bài “Phép vị tự” hoặc tam giác đồng dạng) để tìm câu trả lời. Nếu HS sử dụng tam giác đồng dạng (tam giác OI’M’ đồng dạng với tam giác OIM theo tỉ số k ) thì GV có thể cho điểm O di chuyển đến trùng với điểm M hoặc điểm I và yêu cầu HS làm chặt chẽ thêm cách chứng minh này, bởi vì lúc
đó không xuất hiện các tam giác nêu trên.
Cuối cùng, khi đã phát hiện ra rằng: Khoảng cách giữa M’ và I’ luôn bằng k R
thì GV có thể cho HS chứng minh lại định lý một cách chi tiết hay chỉ hớng dẫn qua tuỳ vào từng đối tợng HS.
c) Dạy giải toán: Geometer’s Sketchpad có thể trợ giúp tốt cho việc tìm hiểu nội dung của bài toán, tìm đờng lối giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải, mở rộng và phát triển bài toán.
Với các dạng bài tập chứng minh và tính toán cho phép thử nghiệm và kiểm tra các quan hệ song song, vuông góc, sự thẳng hàng, sự đồng quy, v.v...Xác định độ chính xác của độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc.
Với dạng bài tập tìm tập hợp điểm, có thể di chuyển điểm cần tìm quỹ tích tới các vị trí khác nhau giúp HS dự đoán hình dạng của quỹ tích đồng thời dựa vào biểu t- ợng trực quan, xác định đợc mối liên hệ giữa hình quỹ tích và hình đã cho.
Với dạng bài tập dựng hình, có thể di chuyển hình tới nhiều vị trí khác nhau, giúp HS dự đoán nghiệm hình và biện luận các trờng hợp có thể xảy ra.
Với dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đại lợng hình học, có thể kết hợp việc xem xét sự thay đổi vị trí của hình với khảo sát đồ thị
hàm số của đại lợng biến thiên cần tìm cực trị, từ đó dự đoán đợc vị trí điểm đạt cực trị nhờ sự tơng ứng của nó với điểm cực trị của đồ thị.
Thay đổi giả thiết bài toán (thay đổi số điểm, số cạnh, giảm hoặc tăng điều kiện) để phát triển bài toán.
Ví dụ 2.29: Xét bài toán sau: “Cho hai điểm cố định B, C trên đờng tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đờng tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC”.
Trớc hết ta xây dựng hình vẽ nh sau: + Dựng đờng tròn (O).
+ Dựng tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn. Hình 46
+ Sử dụng lệnh Perpenducular từ thực đơn Construct để dựng các đờng cao của tam giác ABC, từ đó xác định trực tâm H của tam giác đó.
+ Cho điểm A chạy trên đờng tròn (O) và theo dõi quỹ tích của điểm H, ta sẽ thấy H chạy trên một đờng tròn đi qua B, C. Chọn 3 điểm trên đờng tròn này và xác định tâm O’ của nó.
Nhìn hình vẽ, HS có thể dự đoán rằng đờng tròn (O’) có bán kính bằng bán kính của đờng tròn (O) (ta có thể kiểm tra điều này bằng cách đo 2 bán kính của 2 đờng tròn đó, sau đó cho bán kính của đờng tròn (O) thay đổi thì bán kính đờng tròn (O’) cũng thay đổi theo). Từ dự đoán này ta có thể hớng HS tới suy nghĩ rằng: (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm hoặc phép tịnh tiến. Cụ thể nh sau:
- Nếu là phép đối xứng trục thì trục là đờng thẳng nào? (HS dễ nhận thấy rằng đó là đờng thẳng BC).
- Nếu là phép đối xứng tâm thì tâm đó là điểm nào? (HS dễ nhận thấy đó chính là trung điểm I của BC).
- Nếu là phép tịnh tiến thì vectơ tịnh tiến là véc tơ nào?
Tất nhiên HS có thể sẽ nghĩ ngay đó là vectơ OO'uuuur. Tuy nhiên điểm O’ có đợc là do ta dùng hình vẽ để dự đoán, hơn nữa cái ta cần là phải tìm đợc tạo ảnh của H (tạo ảnh này nằm trên đờng tròn (O)). Để giải quyết điều này ra có thể làm nh sau:
H C B O O’ A 118
Cho điểm A chạy trên (O), ta thấy AH luôn vuông góc với BC và độ dài AH hình nh không đổi, từ đó gợi ý HS chứng minh rằng vectơ AH luôn bằng một vectơ không đổi nào đó (đó chính là vectơ tịnh tiến cần tìm) để từ đó đi đến kết luận: A chính là tạo ảnh của H qua phép tịnh tiến nói trên.
Cuối cùng, sau khi đã chứng minh xong bài toán, ta kiểm tra lại kết quả ở một số trờng hợp đặc biệt, chẳng hạn nh cho A trùng với B hoặc C rồi yêu cầu HS xác định điểm H và giải thích tại sao lại có điều đó.
Bài toán này có mặt ở cả 3 bài: Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến dới dạng ví dụ hoặc bài tập. Vì vậy tuỳ vào vị trí của nó mà GV có thể tiến hành kẻ các đờng phụ, xác định tạo ảnh của điểm H để gợi ý chứng minh cho phù hợp.
Sau khi giải bài toán, chúng ta đặt vấn đề mở rộng bài toán thông qua các các tình huống sau:
- Nếu có thêm một trong 3 điểm B, C, O thay đổi thì sao?
- Vẫn cho A chạy trên đờng tròn (O), nhng B, C ở ngoài (O) và đờng thẳng BC không có điểm chung với (O).
- Cho điểm A cố định (có thể thuộc hoặc không thuộc (O)) và dây cung BC thay đổi (B, C thuộc (O)) sao cho BC = m, với m là số dơng cho trớc.
Rõ ràng vai trò của trực quan trong dạy học thật là to lớn. Tuy nhiên, bên cạnh việc khẳng định vai trò trực quan, ta cũng không nên tuyệt đối hóa nó. Tuỳ vào tình