Hƣớng dẫn HS sử dụng hệ thống câu hỏi và bài tập để tự học và tự kiểm tra.

- Phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình giải bài tập vận dụng công

c) Hƣớng dẫn HS sử dụng hệ thống câu hỏi và bài tập để tự học và tự kiểm tra.

tự kiểm tra.

Để học được suốt đời thì phải có khả năng tự học. Khả năng này cần được rèn luyện ngay khi còn là học sinh ngồi trên ghế nhà trường. Vì vậy quá trình dạy học phải bao hàm cả dạy tự học. Việc dạy tự học đương nhiên chỉ có

thể thực hiện được trong cách dạy học mà người học là chủ thể, tự họ hoạt động để đáp ứng của xã hội và chuyển hóa thành nhu cầu của chính bản thân họ.

Trong mơn tốn thời gian HS học tập trên lớp là hạn chế nên vẫn có những HS chưa hiểu hoặc chưa kịp hiểu hoặc hiểu chưa sâu do đó việc học sinh tự học có ý nghĩa quan trong giúp cho bản thân HS học tốt mơn tốn do đó GV giúp HS chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự học chủ động. Muốn vậy GV cần truyền thụ cho HS những tri thức phương pháp để HS biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tịi để phát hiện những kiến thức mới. Các tri thức phương pháp thường là những quy tắc quy trình, nói chung là các phương pháp có tính chất thuật toán. Tuy nhiên, cũng cần coi trọng các phương pháp có tính chất tìm đốn (ví dụ phương pháp tổng quát của G – Polya để giải bài tập toán học). HS cần được rèn luyện các thao tác tư duy: tổng hợp, khái quát hóa; Các quy tắc phương pháp tìm đốn như quy lạ về quen, phép suy ngược suy suôi, lật ngược vấn đề, xét bài tốn tương tự…Do đó GV khi có dịp có thể dạy cho HS đường lối suy nghĩ để học tập đăc biệt là quy tắc giải bài tốn của G - Polya để giúp cho HS có được những kinh nghiệm học, kinh nghiệm giải toán (theo 4 bước). Chúng ta biết rằng khơng có phương pháp tổng qt nào, khơng có thuật tốn nào để giải mọi bài tốn, chỉ có thể thơng qua dạy học sinh giải toán để học sinh có khả năng giải được các bài tốn đó ở chương trình tốn phổ thơng một số bài tốn cụ thể mà dần dần truyền cho các em kinh nghiệm và nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ, giúp họ tự tìm thấy lời giải của các bài tốn khác. Với ý nghĩa đó để tổ chức hoạt động của học sinh trong quá trình dạy giải bài tập tốn, giáo viên cần hình thành cho các em cách tìm tịi lời giải của một bài tốn theo bốn bước của G - Polya.

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Để giải một bài tốn, trước hết phải hiểu bài tốn và có hứng thú giải bài tốn đó. Đồng thời phải tìm hiểu bài tốn một cách tổng hợp; tránh thói quen vội vàng đi ngay vào các chi tiết. Tiếp theo phải phân tích bài tốn đã cho:

+ Đâu là cái phải tìm? Đâu là cái đã cho? Mối liên hệ nào giữa những cái phải tìm và cái đã cho là gì?

+ Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

Bước 2: Tìm cách giải

+ Phân tích bài tốn thành từng bộ phận hoặc thành những bài toán đơn giản.

+ Biến đổi bài toán: dung định nghĩa hay định lí đã biết để thay thế điều phải chứng minh hay cái phải tìm bằng điều tương đương, phát biểu bài tốn một cách khác,.v.v.

+ Mị mẫm hay dự đốn bằng cách thử các trường hợp có thể xảy ra, xét các trường hợp đặc biết của bài toán, xét bài toán tương tự hay tổng quát hơn.v.v…[13]

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó. Chú ý lựa chọn phương án giải tối ưu.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

+ Kiểm tra lại lời giải, xem lại suy luận.

+ Xem xét các trường hợp có thể xảy ra của bài tốn.

+ Xem lại quá trình giải, rút ra phương pháp giải tổng quát cho một lớp bài toán tương tự.

+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng hoặc đề suất các bài toán mới.

Khi dạy học trên lớp nếu có cơ hội tốt để tập luyện các hoạt động học tốn GV có thể tổ chức cho HS học tập khám phá kiến thức rèn luyện phương pháp tự đọc sách để đào sâu suy nghĩ tự tổng kết biết ghi chép khi đọc…

Giáo viên hướng dẫn rồi làm mẫu cho HS một số lần rồi dần dần HS sẽ có được những thói quen suy nghĩ theo đường lối chung để giải bài toán khi học trên lớp cũng như tự học ỏ nhà. Có thể bắt đầu tư một vấn đề trình bầy những suy nghĩ về phương pháp giải quyết vấn đề, đôi khi lại nảy sinh vấn đề mới, cần phải điều chình lại cách nghĩ, cách giải quyết vấn đề, rồi lại nảy sinh ra vấn đề khác v. v…

Có thể minh họa lập luận trên qua ví dụ sau:

Với nội dung tập luyện giải một số phương trình đưa được về bậc nhất đối với sinx và cosx, phương trình lượng giác cơ bản như sau:

Bài 1 Giải các phương trình

a) 3sin 2xcos 2x1; b) sin 2x3cos 2x3;

c) 2 2 sin xcosxcosx  3 cos 2 ;x

d) 2 3 sinxcosx3sin2x 7 cos 2 ;x

e) 2sinxcosx 1 3 cos 2 .x Hướng dẫn:

+ Với ý a có những suy nghĩ sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

? Với phương trình này đâu là ẩn? đâu là giữ kiện? Phương trình này có đặc

điểm gì?

? Hãy phân tích đề bài để tìm được mối liên hệ giữa những yếu tố đã cho và

yêu cầu giải phương trình của đề bài?

- Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2 , cos 2x x quen thuộc đã biết

cách giải, với các hệ số a 3,b 1,c1và nên thỏa mãn 2 2 2

a b c do đó phương trình có nghiệm; do đó chỉ việc áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc nhất đối vớisinx và cosxlà giải được.

Bước 3: Trình bày lời giải

3 sin 2xcos 2x 1 3sin 2 1cos 2 1

2 x2 x 2

1 sin 2 cos cos 2 sin

6 6 2 x   x    sin 2 sin 6 6 x           6 2 x k x k              , k

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

? Có thể kiểm tra kết quả được không? Cách kiểm tra như thế nào?

- Thay trực tiếp 6 x  và 2 x 

vào phương trình nếu cả hai nghiệm đều thỏa mãn thì có nhiều khả năng lời giải trên đúng.

? Có thể kiểm tra từng bước biến đổi được không? (các bước suy luận áp dụng công thức đã đúng chưa)

Nghiệm vừa tìm được có thỏa mãn các giữ kiện của bài tốn khơng?

? Nếu bài tốn đã giải là đúng thì việc tìm được lời giải của bài tốn trên căn

cứ vào đâu?

- Như vậy, việc tìm được lời giải của bài tốn trên căn cứ vào một số phát hiện đó là nhận ngay ra dạng của phương trình phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x và thực hiện lời giải theo đúng các bước là được kết quả.

? Có thể sử dụng phương pháp trên cho bài tốn khác được khơng? Hoặc nêu

bài tốn có cách giải tương tự?

- Khi thay cung 2x bởi các cung lượng giác bất kì ta cũng có thể thực hiện giải tương tự như trên.

+ Với ý b có những suy nghĩ tương tự như ý a tuy nhiên có sự khác biệt  không phải là sin của các cung đặc biệt nên cần lưu ý khi ghi nghiệm.

Lời giải: sin 2x3cos 2x 3 1 sin 2 3 cos 2 3

10 x 10 x 10

Đặt 1 cos ,

10   thì 3 sin

10  , khi đó ta được: sin 2x3cos 2x 3 sin 2 cosx  cos 2 sinx  sin 

 

sin 2x sin

Vậy phương trình có các nghiệm là

, ,

2

x  k x  k

k .

+ Với ý c có những suy nghĩ sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

? Với phương trình này đâu là ẩn? đâu là giữ kiện? Phương trình này có đặc

điểm gì?

Bước 2: Tìm cách giải

? Hãy phân tích đề bài để tìm được mối liên hệ giữa những yếu tố đã cho và

yêu cầu giải phương trình của đề bài?

- Phương trình này lúc đầu chưa có dạng quen thuộc nếu ta phá ngoặc thì có lẽ sẽ có khả năng giải được vì khi đó 2

sin cos , cosx x x có thể đưa về cùng một hàm số lượng giác cos 2 .x

Bước 3: Trình bày lời giải

 

2

2 2 sin cosx x 2 2 cos x 3 cos 2x

   

 

2 sin 2x 2 1 cos 2x 3 cos 2x

       2 sin 2x 2 1 cos 2x 3 2      Ta có:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 2 2 1 3 2 11 6 2 3 2 a a b b a b c c c                           

Vậy phương trình vơ nghiệm.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

? Có thể kiểm tra kết quả được không? Cách kiểm tra như thế nào?

- Trong trường hợp này vô nghiệm nên không thể kiểm tra theo cách trên mà phải kiểm tra từng bước suy luận.

? Có thể kiểm tra từng bước biến đổi được không? các bước suy luận áp dụng

công thức đã đúng chưa?

- Ở bài này đã áp dụng công thức nhân đôi và công thức hạ bậc nên ta cần kiểm tra lại việc áp dụng các cơng thức này có phù hợp hay khơng.

? Nếu bài tốn đã giải là đúng thì việc tìm được lời giải của bài tốn trên căn

cứ vào đâu?

Như vậy, việc tìm được lời giải của bài toán trên căn cứ vào một số phát hiện sau đây:

- Việc nhân phá ngoặc đã tạo điều kiện để sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và cơng thức hạ bậc để đưa về phương trình với cùng một hàm số lượng giác.

- Khi giải phương trình bậc nhất đối với sin và cơsin phải ln có thói quen kiểm tra điều kiện để có nghiệm a2

+ b2 c2.

- Ta nhìn phương trình với cùng một hàm số lượng giác là cos 2x chứ không thuần túy là cosx.

? Liệu rằng có thể sử dụng kết quả hay cách giải của bài toán này vào

việc giải bài tốn khác được khơng? Hãy nghĩ xem phương trình có có điều gì đặc biệt khơng? Hãy phân tích rồi nhận xét?

- Nếu đề bài thay cung 2x bởi các cung khác thì cũng có thể có hướng suy nghĩ tương tự.

+ Với ý d có những suy nghĩ sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

? Với phương trình này đâu là ẩn? đâu là giữ kiện? Phương trình này có đặc

điểm gì?

Bước 2: Tìm cách giải

? Hãy phân tích đề bài để tìm được mối liên hệ giữa những yếu tố đã cho và

yêu cầu giải phương trình của đề bài?

- Nếu nhân phá ngoặc thì vế trái là biểu thức lượng giác chứa hai hàm lượng giác nhưng cùng một cung x, còn vế là biểu thức lượng giác chứa hai hàm lượng giác nhưng cùng một cung 2x nên có thể đưa về phương trình dạng sinxsin nên bài tốn có khả năng giải được.

Với cách nghĩ như trên ta có lời giải như sau:

Bước 3: Trình bày lời giải

Biến đổi phương trình về dạng: 2 3 sinx2cosx3sin2x 7 cos 2x

3 1 3 7

sin cos sin2 cos 2

2 x 2 x 4 x 4 x

   

Đặt 3 cos

4   thì 7 sin ,

4   khi đó ta được: sin cos cos sin sin2 cos cos 2 sin

6 6

 sin sin 2 sin sin 2 6 x  x           2 6 , . 7 2 18 3 3 x k k k x                     

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

? Em có thể kiểm tra ngay lời giải bài toán (kiểm tra lại đáp số, các bước suy

luận) được không?

? Nếu bài tốn đã giải là đúng thì việc tìm được lời giải của bài tốn trên căn

cứ vào đâu?

Như vậy, việc tìm được lời giải của bài toán trên căn cứ vào một số phát hiện sau đây:

- Vế trái là biểu thức lượng giác chứa hai hàm lượng giác nhưng cùng một cung x, còn vế là biểu thức lượng giác chứa hai hàm lượng giác nhưng cùng một cung 2 .x

- Khi chia cả hai vế của phương trình cho 4 thì cả hai vế đều phù hợp với cơng thức cộng.

? Liệu rằng có thể sử dụng kết quả hay cách giải của bài toán này vào

việc giải bài toán khác được khơng? Hãy nghĩ xem phương trình (*) có có điều gì đặc biệt khơng? Nếu được thì em hãy chứng minh nhận định đó?

- Phương trình (*) có dạng a sin kx bcos kx csin lx dcos lx

với điều kiện 2 2 2 2

a b c d nếu dùng công thức cộng ta sẽ đưa được về dạng sin f  x sing x  nên dễ dàng giải tiếp.

+ Với ý e có những suy nghĩ sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

? Với phương trình này đâu là ẩn? đâu là giữ kiện? Phương trình này có đặc

điểm gì?

Bước 2: Tìm cách giải

? Hãy phân tích đề bài để tìm được mối liên hệ giữa những yếu tố đã cho và

yêu cầu giải phương trình của đề bài?

- Với bài này nếu nhân phá ngoặc ta được

2sin cosx x2sinx 3 cos 2x nếu áp dụng tiếp cơng thức nhân đơi thì ta được sin 2x 3 cos 2x 2sinx ở vế trái có dạng a sin kx bcos kx tuy nhiên vế phải cũng có dạng csin lx dcos lx nhưng nhìn dưới góc độ

 

cos 0

d lx  và đảm bảo điều kiện 2 2 2 2

a b c d như vậy đây chỉ là trường hợp đặc biệt của dạng bài tập d).

Bước 3: Trình bày lời giải

 

2sinx cosx 1 3 cos 2x 2sin cosx x2sinx 3 cos 2x

sin 2x 3 cos 2x 2sinx

   1sin 2 3cos 2 2sin

2 x 2 x x

  

sin 2 cos cos 2 sin sin

3 3 x  x  x    sin 2 sin 3 x  x         2 3 , . 4 2 9 3 x k k k x              

 Vậy phương trình có hai họ nghiệm.