III. Điều kiện cần thiết để thực hiện môđun
6.3.Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.6 SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH Thông tin cơ bản
6.3.Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp
Có nhiều phương pháp chứng minh, dưới đây ta trình bày một số phương pháp chứng minh thông dụng nhất.
a) Phương pháp chứng minh trực tiếp
Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu. Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau:
A A1
A1 A2
—————- An-1 An An B.
áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận được điều phải chứng minh. Ví dụ 6.10 :
Ta phân tích chứng minh định lí “Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường”.
Định lí được tóm tắt như sau (Luận đề) : Giả thiết ABCD là hình bình hành
AC cắt BD tại O. Kết luận OA = OC và OB = OD
Qua phân tích trên đây ta thấy:
Giả thiết và kết luận của định lí là luận đề của chứng minh.
Chứng minh của định lí trên có bảy bước, trong mỗi bước đều dùng các định nghĩa hoặc định lí đã được chứng minh làm luận cứ và ngầm sử dụng một suy luận tổng quát làm luận chứng.
ở phổ thông, trong các chứng minh toán học người ta thường bỏ đi nhiều tiền đề trong mỗi bước suy luận. Vì vậy chứng minh được thực hiện theo sơ đồ thu gọn: A A1 A2 ... An - 1 An B.
Trong phép chứng minh này (và nhiều phép chứng minh trực tiếp khác) ta thường sử dụng quy tắc suy luận kết luận và suy luận bắc cầu. Vì vậy hai phép suy luận này có vai trò đặc biệt quan trọng trong chứng minh trực tiếp.
b) Phương pháp chứng minh phản chứng
Trong trường hợp tổng quát, muốn chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B bằng phương pháp phản chứng ta tiến hành theo sơ đồ sau:
Giả sử A đúng mà B sai (G (A ^ ) = 1)
A ^ C ^
áp dụng quy tắc suy luận
Ta rút ra kết luận A B là đúng.
Đôi khi sơ đồ trên được thu gọn như sau:
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giả sử A đúng mà B sai (tức đúng)
áp dụng quy tắc suy luận:
Ta rút ra kết luận A B là đúng. Ví dụ 6.11 :
Ta phân tích chứng minh định lí trong hình học phẳng “Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.
Định lí được tóm tắt như sau (luận đề).
Giả sử a không song song với b. Suy ra a cắt b tại M. Như vậy từ M ta kẻ được hai đường vuông góc với đường thẳng C.
Mệnh đề này sai, vì nó mâu thuẫn với mệnh đề đúng đã biết trước “Từ một điểm ở ngoài một đường thẳng ta chỉ kẻ được một và chỉ một đường vuông góc tới đường thẳng đó”.
Vậy mệnh đề “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì cắt nhau” là sai. Điều đó chứng tỏ rằng mệnh đề phải chứng minh là đúng.
Chứng minh rằng phương trình bậc nhất: ax + b = 0 (1)
có không quá một nghiệm.
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Theo định nghĩa ta có: ax1 + b = 0
và ax2 + b = 0
áp dụng tính chất bắc cầu ta có: ax1 + b = ax1 + b
áp dụng luật giảm ước đối với phép cộng ta có: ax1 = ax2, a 0
áp dụng luật giảm ước đối với phép nhân ta có: x1 = x2
Như vậy x1 vừa khác lại vừa bằng x2. Điều này trái với luật mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh.
c) Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn. Giả sử tập hữu hạn X = {a1, a2, ... , an}
và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong tập X. Ta phải chứng minh mệnh đề:
x X, T(x)
là đúng bằng phương pháp quy nạp hoàn toàn. Ta cần chứng tỏ rằng T(a1), T(a2), ... , T(an) đều là những mệnh đề đúng. Từ đó kết luận mệnh đề trên là đúng.
ở đây ta áp dụng quy tắc suy luận tổng quát:
Ví dụ 6.13 :
Chứng minh rằng tích của năm số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 5.
Giả sử n là số tự nhiên và T = n (n + 1)(n + 2) (n + 3) (n + 4). Gọi D là tập các số dư của phép chia n cho 5. Vậy D = {0, 1, 2, 3, 4}
Nếu số dư bằng 0 thì n 5. Suy ra T 5 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu số dư bằng 1 thì (n + 4) 5. Suy ra T 5
Nếu số dư bằng 2 thì (n + 3) 5. Suy ra T 5
Nếu số dư bằng 3 thì (n + 2) 5. Suy ra T 5
Nếu số dư bằng 4 thì (n + 1) 5. Suy ra T 5 Vậy T chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên. d) Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Để chứng minh tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự nhiên n n0) tức là phải chứng minh mệnh đề tổng quát.
n N, T(n) (hoặc n n0, T(n)) đúng. Ta tiến hành theo các bước dưới đây:
Bước 1: Chứng minh G (T(0)) = 1 (hoặc G (T(n0) = 1) hay tính chất T(n) đúng với n
= 0 ( hoặc n = n0).
Bước 2: Giả sử G (T(k)) = 1 hay tính chất T(n) đúng với n = k. Ta chứng minh G
Từ đó ta rút ra kết luận: tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự nhiên n n0) hay
n N, T(n) (hoặc n n0, T(n)) là mệnh đề đúng
Cơ sở lôgíc của phương pháp chứng minh này là quy tắc suy luận tổng quát sau:
Ví dụ 6.14 :
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1
Từ đó suy ra công thức trên đúng với mọi n 2 Ví dụ 6.15 :
Cho n điểm trong mặt phẳng (n 2). Hỏi khi nối n điểm đó với nhau ta sẽ được bao nhiêu đoạn thẳng?
Với n = 2 nối hai điểm cho trước ta được một đoạn thẳng. Ta có:
Vậy công thức trên đúng với n = 2.
Giả sử công thức trên đúng với n = k. Tức là khi nối k điểm cho trước trong mặt phẳng ta được
đoạn thẳng.
Giả sử trong mặt phẳng cho trước k + 1 điểm, khi nối k điểm đầu với nhau (theo giả thiết ở phần trên) ta được:
đoạn thẳng. Bây giờ ta nối điểm thứ k + 1 với k điểm còn lại ta được thêm k + 1 đoạn thẳng nữa. Vậy số đoạn thẳng đếm được khi nối k + 1 điểm đó với nhau là:
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1.
Từ đó suy ra: Nếu cho trước n điểm phân biệt trong mặt phẳng thì nối chúng với nhau ta sẽ được: đoạn thẳng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});