Giáo dục toán học truyền thống phân chia hoạt động học tập thành hai pha rõ rệt pha thu nhận kiến thức và pha vận dụng kiến thức. Trong khuôn khổ của khái niệm này, bài tập có chức năng trắc nghiệm sự nắm chắc kiến thức và chức năng vận dụng những kiến thức Êy. Những năm gần đây, trào lưu cải cách toán học xuất hiện những công trình nghiên cứu về bài tập toán học. Bài tập có những chức năng mới: Bài tập được coi là phương tiện có hiệu quả để dạy học sinh biết suy nghĩ, sáng tạo và là động lực thức đẩy học sinh tích cực thu nhận kiến thức mới. Ở đây vừa được coi là phương tiện, vừa là mực đích của dạy học toán. Vì vậy, có thể sử dụng câu hỏi và bài tập phục vụ cho việc phát triển tư duy lôgic. Thông qua bài tập và câu hỏi có thể phát triển tư duy lôgic theo hướng: Hình thành phương pháp suy luận, rèn khả năng suy luận quy nạp, rèn các thao tácTDLG, kết hợp với rèn luyện khả năng diễn đạt.
Ở trường tiểu học, dạy học toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán học ở tiểu học là phương tiến rất có hiệu quả và không thể thay đổi được trong việc giúp học sinh phát triển tư duy lôgic. Chính
Tuấn
trong giải bài tập toán, khả năng tư duy lôgic của học sinh được phát triển cao nhất. Vì ở đó học sinh phải vận dụng phối hợp các khái niệm, các quy tắc, kỹ năng, phương pháp suy luận. Đó cũng chính là cơ hội để học sinh kiểm nghiệm kiến thức và phương pháp của mình.
Thông qua thực hành toán học có thể hình thành bước đầu khái niệm toán học, các quy tắc, tính chất, bằng thực hành toán học, sẽ củng cố tri thức mới, rèn luyện các kỹ năng cơ sở, phát triển tư duy. Các bài tập và giê thực hành về lôgic giữ một vai trò quan trọng trong việc hình thành tư duy lôgic cho học sinh. Vai trò của chúng nhìn chung cũng giống như việc hình thành các kỹ năng toán học. Bất kỳ kỹ năng nào, kể cả kỹ năng lôgic, cũng được hình thành trong luyện tập, trong thực hành. Không thể rèn được các kỹ năng lôgic nếu không luyện tập. Hoạt động giải các bài tập toán đòi hỏi các suy luận, vì điều đó căn cứ vào các dữ liệu và mối quan hệ đã biết, để lập ra mối quan hệ mới và tách những dữ liệu không tường minh trong các đề bài tập .
Các bài tập có nội dung sâu sắc, có liên quan đến thực tại quanh ta hay những lĩnh vực tư duy khác, cũng như những bài tập dùa vào việc áp dụng những suy luận có lý, phát triển khiếu suy luận của học sinh, đều có sự trưởng thành về mặt trí tuệ nhanh hơn những bài tập trong sách giáo khoa và chỉ thích hợp để áp dụng cho mét quy tắc riêng lẻ. Bên cạnh đó, cần nhớ rằng quá trình phát triển từng bước khả năng suy luận và chứng minh suy diễn gắn liền với quá trình lĩnh hội kiến thức và nội dung kiến thức, vì vậy không thể không đặt ra một cách nghiêm túc việc bồi dưỡng và phát triển ngay khả năng đó ngay từ những líp đầu bậc tiểu học. Trong quá trình làm bài tập toán thao tác phân tích thông qua tổng hợp khi phân tích và tổng hợp được gắn liền với nhau trong một quá trình, liên hệ và tác động lẫn nhau. Dạng này tương đối khó đối với học sinh tiểu học những nó là hoạt động chủ yếu khi giải toán. Còn quá trình trừu tượng khi giải bài tập, học sinh phải tìm cách loại bỏ những chi tiết không cơ bản để bộc
Tuấn
lé ra các quan hệ, điều kiện cơ bản của bài toán và tìm ra những phân tích thích hợp để giải quyết.
Không những thế việc hình thành kỹ năng, khả năng suy luận quy nạp.. được thực hiện trong quá trình củng cố kiến thức, luyện tập vận dụng kiến thức vào các điều kiện khác nhau. Bài tập số học có vai trò quan trọng không chỉ hình thành các kỹ năng toán mà quan trọng hơn là góp phần quan trọng vào việc hình thành và phát triển của tư duy nói chung và tư duy lôgic nói riêng cho học sinh.
2.3.1. Rèn thao tác TDLG
Các bài toán số học là phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc phát triển năng lực TDLG. Vì chính ở đó, học sinh phải vận dụng, phối hợp các thao tác TDLG một cách cao nhất trong việc tìm hiểu đề bài, tìm cách làm, hay rót ra cách giải chung cho một dạng toán nào đó. Ví dô 1: Tính theo mẫu. Mẫu: 2 :3 2 4 8
4 3 3 × = = 5 :3 7, 2 4 : 3 , 7 5 : 6
Hãy nêu cách chia một số tự nhiên cho một phân số.
Dùa theo mẫu, học sinh sẽ lần lượt tìm kết quả của các phép tính. Trên cơ sở đó, giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp và so sánh từng phép tính, cụ thể nh phép tính chia 5 :3 7.Ta có 3 5 : 7= 5 7 35 3 3 × = . Trong phép chia này 5 là số bị chia, 3
7 là phân số chia; còn 5 7
3
×
, thì 5 chính là số
bị chia trong phép chia 5 :3 7,
7
3 chính là phân số nghịch đảo của phân sè 3 7
Tuấn
. Nh vậy khi chia 5 :3
7 ta lấy 5 nhân với phân số nghịch đảo của phân sè
37 . 7 . Các phép tính khác học sinh cũng tiến hành tương tự.
Trên cơ sở so sánh các phép tính, học sinh rót ra được những dấu hiệu chung: Lấy số tự nhiên nhân với nghịch đảo của phân số chia, các số tự nhiên đều là số có một chữ số, các phân số chia có tử và mẫu số là số tự nhiên có một chữ số...Dựa vào những dấu hiệu vừa tìm được, học sinh tiến hành trừu tượng nhằm tách dấu hiệu bản chất: Lấy số tự nhiên nhân với nghịch đảo của phân số chia ra khỏi những dấu hiệu khác. Từ đó khái quát thành quy tắc “Khi chia một số tự nhiên cho một phân số, ta lấy số tự nhiên nhân với nghịch đảo của phân số đó”.
abcd
Ví dô 2: Tìm các số khác nhau a, b, c biết rằng × 9 a0bcd
Giáo viên có thể gợi ý để học sinh nhận thấy không thể tìm được các giá trị của a, b, c, d bằng cách lần lượt thử với các số từ 0 đến 9. Do đó để tìm được các số phải xác định được một một số. Dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh tiến hành phân tích .
Ta có: a0bcd = abcd × 9
a × 10000 + bcd =(a × 1000 + bcd) × 9.
a × 10000 + bcd = a × 9000 + bcd × 9.
a × 1000 = bcd × 8.
a × 125 = bcd.
Vậy a < 8 vì nếu a = 8 (trở lên) thì 8 × 125 = 1000 (trở lên) > bcd. Song
a còng lớn hơn 0 vì a là chữ số đầu tiên. Nên a có thể là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Kết hợp với điều kiện các chưa số a, b, c, d khác nhau ta có: Nếu a = 1, thì bcd =125, vậy a = b = 1 (loai)
Nếu a = 2, thì bcd = 2 ×125 = 250, vậy a = b = 2 (loại)
Tuấn
Nếu a = 4, thì bcd = 4 × 125 = 500, vậy c = d = 0 (loại)
Nếu a = 5, thì bcd = 5 × 125 = 625, vậy a = d = 5 (loại)
Nếu a = 6, thì bcd = 6 × 125 = 750, thử lại 60750 = 6750 × 9 (thoả mãn)
Nếu a = 7, thì bcd = 7 × 125 = 875, vậy a = c = 7 (loại) Vậy a = 6, b = 7, c = 5, d = 0.
Ví dô 3: Tính và so sánh giá trị của hai biểu thức:
(3 + 5) × 4 và 3 × 4 + 5 × 4
Từ kết quả so sánh được, hãy nêu cách nhân một số với một tổng. Học sinh nhanh chóng tìm được giá trị của hai biểu thức, còng nh nhận ra giá trị của hai biểu thức đều bằng 32. Từ đó, học sinh tổng hợp lại để có: (3 + 5) × 4 = 3 × 4 + 5 × 4. Để nhận biết các dấu hiệu, quan hệ; học
sinh phải phân tích, so sánh hai biểu thức: Biểu thức (3 + 5) × 4 , có (3 + 5)
là một tổng, 4 là một số, nên biểu thức này có dạng một tổng nhân với một số. Còn biểu thức 3 × 4 + 5 × 4, có 3 × 4 và 5 × 4 là hai tích, có dạng tổng
của hai tích. Qua so sánh, học sinh nhận thấy các thừa số trong hai tích chính là các số hạng và thừa số trong biểu thức: (3 + 5) × 4. Từ đó đi đến kết luận: Biểu thức 3 × 4 + 5 × 4 chính là tổng hai tích giữa các số hạng
của tổng (3 + 5) với 4 trong biểu thức (3 + 5) × 4.
Dùa vào những dấu hiệu vừa tìm được, học sinh tiến hành tách những dấu hiệu chung bản chất ra khỏi những dấu hiệu như: “Cùng thừa số 4, có các số 3, 5 giống nhau và đều là số có một chữ số...” để giữ lại lại dấu hiệu “giá trị của hai biểu thức bằng nhau, quan hệ bằng nhau giữa hai biểu thức”. Trên cơ sở đó, học sinh khái quát thành tính chất “Muốn nhân một tổng với một số, ta có thể nhân từng số hạng của tổng với số đó rồi cộng các kết quả lại với nhau”.
Từ ví dụ trên, ta thấy trong quá trình làm các bài tập toán học sinh không những có điều kiện vận dụng kiến thức, rèn các kỹ năng tính toán mà còn có cơ hội hình thành và phát triển các thành tố của tư duy lôgic, trong đó nổi lên là các thao tác tư duy lôgic. Bởi để nhận biết các dấu hiệu,
Tuấn
quan hệ của các tính chất hay quy tắc, học sinh phải tiến hành phân tích, so sánh, tổng hợp. Trên cớ sở đó tiến hành loại bỏ những dấu hiệu không quan trọng, rồi khái quát thành tích chất ( quy tắc).
2.3.2. Rèn TDLG gắn với hình thành phương pháp suy luận quy nạp
Dạy học toán ở líp 4 không chỉ giúp học sinh nắm được hệ thống các khái niệm, quy tắc, tính chất, rèn khả năng vận dụng, mà còn hình thành cho học sinh phương pháp suy luận, đặc biệt là phương pháp suy luận quy nạp để học sinh có thÓ tự mình tòi kiến thức, qua đó phát triển TDLG. Trong quá trình làm toán, luôn đòi hỏi học sinh phải vận dụng phương pháp suy luận quy nạp vào làm bài, không chỉ ở một bài mà trên hệ thống bài với sự đa dạng và phong phú, mức độ khác nhau...Qua đó, không những giúp học sinh hiểu đúng, nắm vững, mà còn rèn khả năng vận dụng cho các em.
Ví dô 1: a) Tính rồi thử lại phép tính cộng theo mẫu
Mẫu 2416 Thử lại 7580 5164 2416 7580 5164 35426 + 27519 ; 69108 + 2074 b) Tính rồi thử lại phép trừ Mẫu: 6839 Thử lại: 6357 482 482 6357 5164 4025 – 32 ; 5901 – 638 c) Nêu cách thử lại phép trừ, phép cộng.
Theo mẫu, học sinh sẽ nhanh chóng tính rồi thử lại các phép tính. Dùa vào các phép tính cộng, trừ và phép thử, học sinh tiến hành phân tích, so sánh. Trước tiên là phép cộng, chẳng hạn nh: Mẫu: 35462 Phép thử: 62921 27519 35462 _ _ + + + _ _
Tuấn
62921 27519
Trong phép cộng, 35426, 27519 là các số hạng, 62921 là tổng. Còn trong phép thử, 62921 là số bị trừ, 35462 là phép trừ, 27519 là hiệu. Nh vậy, tổng trong phép cộng chính là số trừ trong phép thử, số bị trừ là một trong hai số hạng và hiệu chính là số hạng còn lai, mặt khác phép tính thử là phép trừ. Các phép tính còn lại, học sinh cũng tiến hành tương tự. Qua đó các em rót ra được các dấu hiệu chung của phép tính thử của những phép tính cộng đã tính, Cụ thể 4025 Thử lại: 3713 312 312 3713 4025 Trong phép tính thử, số các số hạng là 3713, 312, tổng là 4025. Còn trong phép tính trừ 4025 là số bị trừ, 312 là số trừ, hiệu là 3713. Từ đó học sinh sẽ nhận thấy các số các số hạng trong phép tính thử là số bị trừ, hiệu của phép trừ, và tổng chính là số bị trừ trong phép trừ.
Các phép tính khác học sinh cũng tiến hành nh vậy. Qua so sánh các dấu hiệu của các phép tính thử, học sinh sẽ nhận biết được những dấu hiệu chung giữa chóng nh: Lấy hiệu của phép trừ cộng với số trừ thì được tổng là số bị trừ. Bước tiếp theo, các em tách dấu hiệu bản chất đó ra khỏi những dấu hiệu khác như các số hạng, tổng đều là số có 3, 4 chữ số và đều là những số cụ thể...Dựa trên dấu hiệu bản chất đó, học sinh khái quát thành quy tắc “Muốn thử lại phép trừ ta có thể lấy hiệu cộng với số trừ, nếu được kết quả là số bị trừ thì phép tính làm đúng”
Ví dô 2: Tính theo mẫu 2 3 , 3 15, 9
2 7 − − −97 11 Mẫu 2 3 8 3 5 4 4 4 4 − = − =
Từ đó hãy nêu cách trừ một số tự nhiên cho một phân số. +
Tuấn
Dùa theo mẫu, kết hợp với sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ nhanh chóng tìm được hiệu của các phép trừ. Trên cơ sở đấy, học sinh tiên hành phân tích, so sánh từng phép tính trừ các phân sè , chẳng hạn nh phép trừ 2 3 4 3 1 2 2 2 2 − = − = . Trong phép tính trừ 2 3 2 − , sè bị trừ là 2, phân số trừ 3 2; còn ở phép trừ 4 3 2 2− , phân số bị trừ là 4 2, phấn số trừ 3 2. Nh vậy cả hai phép trừ đều có số trừ giống nhau, chỉ khác nhau ở số bị trừ: Một bên là phân số bên kia là số tự nhiên. Nhưng phân sè 4
2 còng có giá trị bằng 2. Từ đó học sinh tổng hợp lại để rót ra cách tính: Viết 2 dưới dạng phân số có mẫu bằng mẫu số của phân sè 3
2, trừ hai phân số cùng mẫu 4 2,
3 2.
Các phép tính còn lại học sinh cũng tiến hành tương tự. Thông qua việc so sánh cách tính của các phép tính, học sinh rót ra những dấu hiêu, quan hệ chung giữa các phép tính: Đưa số tự nhiên về dạng phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số kia, rồi thực hiện phép trừ hai phân số cùng mẫu, các số tự nhiên đều có một chữ số, tử số và mẫu số của phân số từ đều có một chữ số...
Dùa trên những dấu hiệu vừa tìm được, học sinh tiến hành tách dấu hiệu bản chất ra khỏi những dấu hiệu không bản chất, rồi rót ra quy tắc “Muốn trừ một số tự nhiên cho một phân số, ta viết số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số kia, rồi từ hai phân số cùng mẫu”.
Ví dô 3: Tìm x, biết 38426 < x + 36254 < 38433
Qua phân tích, học sinh sẽ nhân thấy không thể tìm ra các giá trị của x bằng cách thử cho đến khi tìm ra giá tri của x, mà phải tìm được “khoảng” xác định trong đó có chứa gia trị của của x thoả mãn điều kiện đầu bài.
Tuấn
Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích để tìm ra cái “khoảng” đó. Ta nhận thấy x + 36254 là một tổng, đã biết một số hạng bằng 36254, và số hạng còn lại là x (cần phải tìm). Mặt khác, ta chưa biết tổng này bằng bao nhiêu, chỉ biết nó nhỏ hơn 38433 và lớn hơn 38426. Điều đó có nghĩa giá trị của x: 38426 – 36254 = 2172 < x < 38433 – 36254 = 2179.
Từ đây, ta đi vào xét các giá trị có thể có của x (2172 < x < 2179): Nếu x lớn hơn hoặc bằng 2172, ta có 2172 + 36254 = 38426 (không thỏa mãn) Nếu x = 2173, ta có 2173 + 36254 = 38427 (thoả mãn) Nếu x = 2174, ta có 2174 + 36254 = 38428 (thoả mãn) Nếu x = 2175, ta có 2175 + 36254 = 38429 (thoả mãn) Nếu x = 2176, ta có 2176 + 36254 = 38430 (thoả mãn) Nếu x = 2177. ta có 2177 + 34254 = 38431 (thoả mãn) Nếu x = 2178, ta có 2178 + 34254 = 38432 (thoả mãn)
Nếu x nhỏ hơn hoặc bằng 2179, ta có 2179 + 34254 = 38433(không thoả mãn)
Vậy x = 2173, 2174, 2175, 2176, 2177, 2178