/ a['^ Ad) a
f= h+ J2^fui-h
3.1. BÀI TỒN THÀC TRIEN DOI VĨI HÀM DA CHINH QUY Cho fi là mot tap mị cùa khĩng gian Oclit
Cho fi là mot tap mị cùa khĩng gian Oclit
:'^^\x^'^^) X R^+^(a:^2)) X • • • X R"^+^(xt^^) = R ( ^ + ^ ) ^ x
n làn
Xét hàm so / xàc dinh trong fi và nhàn già tri trong dai so Clifford Ạ
Khi dị / co dang
/ = ^ / ^ ( x ( i ) , . . . , x ( " ) ) e ^ , xW = ( x ( ^ \ . . . , x W )
A
vĩi j = 1 , . . . , n và / ^ là càc hàm nhan già tri thuc.
Néu mgi /Ăa:) thuĩc lĩp C''(fi), A; =:= 1 , . . . (tuong ùng: /^(x) là hàm
dièu hịa hoac hàm giài tich thuc trong fi,...) thì t a nĩi / thuĩc lĩp C^ (tuong
ung / dièu hịa hoac giài tich thuc trong fi,...)
Phép cịng, nhàn và nhàn vĩi mot so A G R dugc dinh nghia mot càch t u nhién.
Tồn tu Cauchy-Riemann tong quàt dugc dinh nghla bịi
i=0 ^^i
Quy uĩc càch tàc dịng cùa tồn tu D^u) nhu sau
Ta co dinh nghia
D i n h n g h l a 3 . 1 . Hàm / : fi —> A dugc ggi là da chinh quy trong fi néu
/ G C'^{Cl,A) và thịa man he
D^u)f = 0 trong fi, j = l , . . . , n . (3.1)
Chù y ràng, khi n = 1, hàm da chinh quy t r ị t h à n h h à m chinh quy (theo quan diém cùa R. Delanghe [9]). Nhu vay, hàm da chinh quy là su tĩng quàt cùa hàm chinh quy Truịng hgp n = 2, hàm da chinh quy hồn tồn khàc vĩi hàm song chinh quy, dugc nghién cuu bịi F. Brackx và W . Pincket ([6]).
N h a n x é t 3 . 1 . Già su / là hàm da chinh quy trong fi và
B{a,r) = Bi{â^\ri) x ••• x 5 , ( a f " \ r „ ) , B{a,r) C fi trong dị Bj{â^\rj) là càc hình càu trong W^'^^ vĩi tàm
â3) = {á'Q\ . ..,am), bàn kinh r^ > 0, j = 1 , . . . , n .
Bang càch su dung cịng t h ù c tich phàn Cauchy doi vĩi hàm chinh quy ([9]), t a n h a n d u g c 1 r u ( i ) - x ( ^ ) / ( ^ ) = 7 7 — v T / ^ T ^ ^ V ^ ^ ^ ^ ( ^ m + i ) " 7 | u ( i ) - a : ( i ) dB CI) dâ,.,f{u), x = ( x ( ^ ) , . . . , x ( " ) ) G Ì ? ° ( a , r ) , / \ /' ^ I T l + l m rn i = 0 i=0 u = {u^'..., w^")) e dB, dâu) = E ( - l ) ' e , d Ù m i i=0
trong dị dù\^^ = du^^^ A • • • A dé^}i A du^^^i A • • - A du[^, Wm+i là dién tich
càu don vi 5"^ trong R ^ + ^
N h a n x é t 3 . 2 . Ta dinh nghla tồn t u 'D^U) lién hgp vĩi tồn t u D^i,) nhu d ^ d
^^^'^ ~ ^TTTT Z_^
trong dị Â(j) là tồn tu Laplacẹ
n
Nhu vay, néu / G C^ là hàm da chinh quy thì A / = Ỵ ^x(^)/ = 0.
j=i
Chung tị ràng, / là hàm dièu hịa trong fị Vi vay, / là hàm giài tich
thuc và dinh ly duy nhàt dùng doi vĩi hàm da chinh quy f E C^.