/ a['^ Ad) a
Tir dinh nghia tàp n^^ \G và càch chon D^^^ suy ra
3.2. BÀI TOAN KIEU COUSIN DOI VĨI HÀM CHINH QUY PHU THUĨC GIÀI TICH THUC VÀO THAM SO
PHU THUĨC GIÀI TICH THUC VÀO THAM SO
Trong muc này, ta xét bài tồn kiéu Cousin dĩi vĩi hàm chinh qu}^ giài
tich thuc theo tham so y G R", nhàn già tri trong dai so Clifford Ạ Dì nhién
càc ket qua này cùng dùng vĩi dai so Quaternion.
Cho iìi, ^2 tuong ùng là càc tap mĩ cùa R ^ + \ R'".
Xét hàm / : fì = fii X ^2 -^ A khi dị f{x,y) = J2fA{^^y)eA vĩi
A
fA{^,y) là càc hàm nhan già tri thuc.
Dinh nghla 3.2. Hàm / G C'^{Q,i,A) dugc ggi là chinh quy trong f^i, giài
tich thu-c trong ^2 néu D^f = 0 vĩi moi y G f^2 co dinh và càc hàm / ^ giài tfch thuc theo y e CI2 vĩi moi x G iìi co dinh.
3.2.1. Dinh ly Runge
khùc sao cho fii C G, ^2 là mièn trong R^, i^ = i^i x i^2 là t à p compact cùa
n = r2i X f)2 trong dị K, là t à p compact cùa Q,, i = 1, 2 sao cho Qi \ Ki
khịng co t h à n h phàn compact t u o n g dĩi trong ftị
Ky hiéu 7^ĂR'^"^^ x^2^A) là t a p tàt cà càc hàm chinh quy trong M"^^S giài tich t h u c t r o n g 9.2- Ta co dinh ly kiéu Runge sau daỵ
D i n h ly 3 . 3 . Néu f là hàm chinh quy trong G, giài tich thuc trong ^2 thì f
duac xdp xi dèu trén K bịi càc hàm trong 7^ĂR"^'^^ X Q.2-,A).
Chùrng m i n h . Cho ^ > 0, t a sé chùng minh tĩn tai hàm
R{x,y) G 7 e ^ ( R ^ + i X Q.2^A) sao cho
\\f{x,y)-R{x,y)\\K < ẹ (3-46)
T h a t vày, do f{x^y) chinh quy trong Qi nén theo cịng t h ù c tich phàn
Cauchy dĩi vĩi h à m chinh quy ([9]) vĩi x G fii, y G fÌ2 3 t a co
1 r
f{^^y) =" / ũ X
Wm+l J |W-X|"^+ •^dauf{u,y). (3.47)
dau = Yl{^^)^^id'^i^ ^^i — ^'^0 A • • • A dui-i AdUi^i A • • • A du, i=0 T ù (3.47), t a c ĩ f{^.y) = Wm+l U — X \u — xr^"*"--(J2{-^y^^f{^^y)dÙ^)• dQi i=0
Vi càc tĩng Riemann hịi tu ve tich phàn ĩ vé phài cùa (3.47) nén càc
tĩng này co t h e x à p xi tich phàn dị trén K vĩi do chinh xàc t ù y y, mien là chgn p h à n hoach T =^ dCli phù hgp.
Nĩi càch khàc, tĩn tai phàn hoach {T^^^ : £ = 1 , . . . ,p} cùa T ^ ^f^i co dị do t u o n g ling AT^^\AT^^..., AT^^^ sao cho
f{^.y)- p — — p — — U£ — X E ^ m + 1 ^ \^e -^\ m - ( ; ^ ( - l ) ^ e J ( n , , y ) ) A r W 1=0 ^<-, (3.48) 1 m D à t / , ( y ) = - ^ - E ( - l ) ' e ^ / ( " ^ y ) A ^ W thì (3.48) t r ị t h à n h ^m+1 i=0 f{x,y)-Yl Ue — X 1=1 ui — X m+1 fi{y) e K < 2 (3.49)
Vĩi mịi U£ G drii co dinh, hàm U£ — X
\U£ - x | ^ + l Qi ([9]) nén tĩn tai hàm P^(x) G n{R'^+'^,A) sao cho
chinh quy (theo x) trong
U£ — X
\U£ — x l ' ^ + l PAx <
K 2 ^ + i | | / , ( y ) | | K , (3.50)
ĩ day n{W^'^,A) là tàp tàt cà càc hàm chinh quy trong R ^ + ^ Dat R£{x,y) = Pe{x)f£{y), ta co
U£ ~ X < < \U£ - X | " ^ + ^ e ^'^'WfMìK, fi{y)-Re{x,y) -\\fe{y)\\ K U£ — X \U£ - x h + 1 - Pf(x Ki K2 2 ^ + 1 (3.51
Ky hiéu R{x,y) = ^ R£{x,y) vk su dung (3.51), ta co
£=1 Ed! U£ — X Ed! U£ — X ( m + 1 i=l P < E £=1 U£ — X U£ —'X fe{y)-R{x,y) K lue - x | " ^ + i fe{y)-Re{x,y) E e e £=1 Tir (3.49), (3.52), suy ra
||/(x, y) - R{x, y)\\K < f{x, y)-^^ iJ'Z+Jdy)
K P ^ P ^ U£ — X £=\ U£ — X l m + 1 f£{y)-R{x,y)\\ < - + - = £ K (3.52)
Cuoi cùng, ta chù'ng minh R{x,y) là hàm chinh quy trong R"^+^ và giài
tich thuc trong ^ 2 .
Vi P£{x) khịng phu thuĩc y, /^(y) giài tich thuc trong Q2 (nghia là
f£{y) = Y^fÂyy^ ^^^ ^^^ ^^'^ ^^A g^^i ^^'*^^ ^^^*^ ^^*^^S ^2) nén R{x,y) A
cùng co tinh chat dị.
Mat khàc, /^(y) khĩng phu thuĩc x nén theo He qua 3.1, ta co
vi P,(x) G n{R^^\A). T ù dị P ( x , y ) G 7ê(M-+i x ^ 2 , ^ ) -
Dinh ly dugc chùng minh.
N h a n x é t 3.5. Truịng hgp dac biét, hàm / ( x , y ) chinh quy trong fii, giài
tich thirc trong ^ 2 , dugc xàp xi trén K vĩi dị chinh xàc tùy y bịi nhùng hàm R{x, y) dep hon. Két qua dị d u a trén nhan xét saụ
Cho G là mièn trong R". Già su / là hàm giài tich thuc trong G.
nghla là vĩi moi diém yo = (yoi, • • • ,yon) G G, tĩn tai làn can, ma trong dị, / d u g c biéu dién duĩi dang tĩng cùa mot chuoi lùy t h ù a theo càc bién
{yi - yoi), • - . , ( y n - yon). Nĩi càch khàc, tĩn tai B{yo,r) = 5 i ( y o i , r i ) x B2{yo2',T2) x . • • X Bn{yon^rn) vĩi -B^(yơ,r^) là càc r^^-làn can cùa yo£. £ ^
1 , . . . , n sao cho
oc
f{y) = X ] ^f^(y - yoV- y ^ B{yọ r), (3.53)
^.=0
M= (Mi,---,Mn), M^ > 0 ( y - y o ) ^ - (yi -yoi)^^ • •• (yn - yon)^".
Dàt zo = {zoi,...,zon), Zoe = (yơO),
B*{zo,r) = {zeC'': \ze - zoel < r ^ } , ^ - l , . . . , n .
Thay the mot càch hình t h ù c càc bién thuc ye trong (3.53) bịi càc bién phùc Z£^ t a nhan d u g c hàm oo f{z) = Yl ^^^^ " ^o)"" ^^' ^ = (^1' • • - ^n) G P*(zo, r). (3.54) Ky hiéu G = L)B*{zQ,r) vĩi moi yo G G. (3.55) Rị ràng G là t a p m ị trong C .
Do (3.54) nén f{z) là hàm chinh hình trong G. Àp dung dinh ly duy
nhàt dĩi vĩi hàm chinh hình suy ra thàc trién chinh hình / trong G cùa / là duy nhàt.
Bay giị, già su K là t à p compact cùa G. Già thiét rang G là mièn Runge trong C^. Trong t a p compact K cùa G, hàm / dugc xàp xi dèu bang càc
da t h ù c cùa càc bién z i , . . . , 2^. LúU y ràng, han che cùa / trén G, bang chinh hàm / , trong khi han che cùa càc d a t h ù c theo Z i , . . . , z^ trong R"", là
da thirc theo càc bién t h u c y i , . . . , y^- Rị ràng, dị là càc hàm giài tich t h u c trong tồn R".
Ky hiéu t a p tàt cà càc hàm nhan già tri t h u c , giài tich thuc trong G bịi
A{G,R) vk A ( R " , R ) là t a p t à t cà càc hàm nhan già tri thuc, giài tich t h u c
trong R^.
Lap luan trén t h u c chat dà chiing minh dinh ly sau
D i n h ly 3.4 (Dinh ly kiéu Runge dĩi vĩi hàm giài tich thuc)
Già su G là mièn trong R^, K là tap compact cùa G. Néu G, xàc dinh bịi (3.55) là mièn Runge thì moi hàm f G A ( G , R ) dugc xdp xi dèu trén K hịi càc hàm trong yl(R",R).
H e q u a 3 . 3 . Khi n ~ 1, ta biét ràng mgi mièn dan lién cua C dèu là mièn
Rungẹ Do dà, vai n = 1, néu G là mièn dan lién thì ta co dinh ly Runge cho hàm giài tich thuc mot bién.
Tiép theo, già su G là t a p m ị trong R^+-^, fìi là mièn don lién co bién t r o n tìrng khùc sao cho f^i C G, ^2 là mièn trong R " sao cho thàc trién phùc
Ù2 cùa SÌ2; dugc cho bịi cịng t h ù c (3.55), là mièn Runge, K == Ki x K2 là t a p compact cùa fi — Qi x Q2 vĩi K^ là t a p compact cùa fì^, i = 1. 2 sao cho fli \ Ki khĩng co thành phàn compact tircmg dĩi trong Ctị Ky hiéu
7 ^ A ( R " ' + ^ X R " , ^ ) là t a p tàt cà càc hàm chinh quy trong R ' ^ ^ ^ giài tich
t h u c trong R", nhan già tri trong dai so Chfford Ạ Khi dị t a co
D i n h l y 3.5 (dinh ly kiéu Runge)
Néu f{x,y) chinh quy trong G, giài tich thuc trong 0,2 thì f{x,y) dugc xdp xi dèu trén K bịi càc hàm trong 7^ĂR"'"^^ x R ^ , ^ ) .
Chùrng m i n h . Cho e > 0, t a chùng minh tĩn tai h à m
R{x,y) e 7^ĂIR'^"^^ X R " , ^ ) sao cho
| | / ( x , y ) - i ? ( x , y ) | | ^ < ^ . (3.56)
Lap luan t u o n g t u n h u trong Dinh ly 3.3, tĩn tai phàn hoach {P^^^ : i =
l , . . . , p } c ù a r = afìi c ị d o d o A r ( ^ ) , . . . , A r ( p ) sao cho
U£ — X £=1 ^ ^ ' £=1 ^ ^ '
trong dị
f,(y) = - ^ J^(_l)^ẹ/(n,,y)ArW. (3.53) Wm+l ^^0 Wm+l ^^0
Vĩi mịi ui e <9fìi co dinh, tĩn tai hàm P^(x) G 7e(R"^+\^) thịa
U£ —"x
man
_ ^ I m + l PAx
Ue — X ^^ 2^+'ll/Ky)lk. < (3.59)
Vai mịi e co dinh, hàm fe{y) giài tich thuc trong fìj, nghia là