/ a['^ Ad) a
2.2.2He phirorng trình kh ị ng thuàn nhàt
df 5/0 dfi 8f: dh
2.2.2He phirorng trình kh ị ng thuàn nhàt
Cho fii C H là mièn don lién vĩi bién tron, fi2 C R^ là mièn don lién. Xét he 9/(g,t) = 9{q^t) dq A t / ( g , t ) = 0 (2.34) (2.35)
trong dị giq.t) G C"^(fii,]H[) vĩi moi t G fi2 co dinh, g{q,t) dièu hịa trong
fi2 vĩi mĩi g G fii co dinh, T a co dinh ly
D i n h l y 2 . 1 2 . He (2.34), (2.35) co it nhdt mot nghiem f{q,t) và f{q,t) G
Chùrng minh
a) Xét truịng hgp g{q.t) G Co°°(fiịH) vĩi moi ^ G fi2 co dinh,
Dinh nghia hàm
^('•"-s^/S»'»'""
^ 1
vĩi u = uo-\-iui^ ju2 + ku3, 6 = duQ A dui A du2 A du3.
Thàc trién g{u, t) vào H, bang càch dat p = 0 trong H \ fii nén co thè
xem tich phàn dugc lày trén tồn H. Khi dị
Do g{u,t) G C°^(H,H) nén rị ràng, f{qA) G C^(H,H) vĩi moi t G fi2
co dinh.
T u Dinh ly Green H ([43]) suy ra f{q.t) là nghiem cùa (2.34). Mat khàc, do Atg{ụt) = 0 nén
Aj{q,t)^-^J^^iAMu,t))e = o
H
vĩi mịi g G fii co dinh.
Dièu dị chùng tị, f{q^t) là nghiem cùa he (2.34), (2.35).
b) Truịng hgp tĨng quàt g{q,t) G C ^ ( f i i , H ) , ta xày dung vét can compact {Giy} cùa fi bang càc mièn don lién G^^ sao cho
GÌ\ GI t u a n g ùng là càc mièn don lién cùa fii, fi2.
Co thè xày dung {G^y} nhu saụ Dat
G1^) - j g G f i i : |g| <i^ và % , 9 f i i ) > ^ } ,
^ (2.37)
GÌ^^ ={ten2:\t\<iy và d ( ^ , 9 f i 2 ) > ^ } ,
i / = l , 2 , . . . .
Rị ràng {GÌ}^}, {GI^^} là vét can compact cùa fii, fi2 tuong ùng. Do
Ky hièu G^ = G^^'^ x GL^\ khi dị {G^} là vét can compact càn tìm cùa
fị
Tiép theo, ta xày dirng càc hàm G^ e C^{ViiM) sao cho
9. = [ ' ^ - ° ^ ^ ^ ' x ^ ^ (2.38) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[ O trong {n,\GÌ%^)xn2.
Chon (^ e Co°(ni,]H[) là hàm nhàn già tri thuc sao cho (^ = 1 trong G\}''
và </? = 0 ngồi mot làn càn TUO VL\ vĩi G'^J''^ C fìi C G^^^^^. Muon vay, chi
càn chon ip sao cho G]}' C suppt/? C G^^l-^. Khi dị, hàm 5^ — gip thịa man
(2.38). Xét he
dfjq.t) . ^,
-W^''^'-'^ (2.39)
At/(g.O = 0.
Tu buĩc (a) cùa phép chung minh suy ra he (2.39) luịn co nghiem
/(g,t) G C^(fii,lHI) vĩi moi t co dinh thuĩc fi2.
Ta sé chgn càc nghiem /^^ sao cho trong mịi G^,
| | / , + i - M | ^ ^ < ^ , ị = l,2,... (2.40) 1 f u — q . , . — / I Tl92\u^)Q~ •^ J \u — q\ ^ ^ ; ^ 5'2 - 5i = 0 trong G^^^, 9g dq dq A t ( / 2 - / i ) = A t / 2 - A J i - 0 trong fi2.
Theo Dinh ly 2.10, tĩn tai hàm Ri{q,t) G TZHÌB. X R ^ , H ) sao cho Truĩc hét, dat h = Ta co 27r^J d{h - . U ' \u - h) ~1 ( dh ,t)e, dh \\h - h -RI\\G, < ^ 2 dh dh dRi Ky hiéu h = h-Ri- Ta co — = ^ - ^ = 52 - 0 = 52,
Bang càch t u o n g t u , t a xày dung d u g c càc hàm / j , , z/ = 2, 3 , . . . thịa man (2.40).
Day hàm {/^} hgi t u dèu trén t ù n g compact Ki C fti dén hàm
co