/ a['^ Ad) a
fe{y )= Ỵfll\y)eA (3.60)
(£)
vĩi / ^ là càc hàm giài tich thuc trong ^2- Theo Dinh ly 3.4, ton tai càc hàm Qf'{y) G ^(]R",R) sao cho
\\f^'{y)-Q^\y) (i) K <
. 2-+i2^+2||p^(^)j|^^
vĩi mịi £ = 1 , . . . , p .
Dàt Q£{y) ^J^QÂy^A- Tù (3.61), ta nhan duoc
A \\My)-QMU-\\EfA\y)^A-j:Q^i\y)ê < \\My)-QMU-\\EfA\y)^A-j:Q^i\y)ê < K2 < T.\\fT-Q A WK^ < 2^+2||p^(^)||^^ Tú (3.59), (3.62) suy ra U£ — X U£ — X 1771 + -f£{y)-P£{x)Q£{y) < K U£ — X U£~ X \m-\-'. j-P£{x) ^^ \\f£{y)\L+\\P£{x)\\K,\\f£{y)^Q£{y) (3.61) (3.62) K, K2 e e < rTT7r + 2^+2 ' 2^+2 2^+ - vĩi ^ = l , . . . , p (3.63) Dàt R{x,y) = £ P£{x)Q£{x). Rị ràng R{x,y) G 7^^(R^+^ x R ^ , ^ ) . £=1
That vay, do P^(x) khĩng phu thuịc y, Q£{y) giài tich thyc theo y G R^ nén P£{x)Q£{y) giài tich thuc theo y trong R^.
Do dị, R{x, y) cùng giài tich thuc theo y trong R^. Mat khàc, Q£{y) là hàng so dĩi vĩi x nén theo He qua 3.1, ta co
D:,{P£{x)Q£{y)) = {D^Pe{x))Qe{y) = 0 vi P^(x) G 7^(R"^+^^) Tù dị P(x,y) = J2P£{x)Q£{y) e 7^^(R-+^ x R " , ^ ) . £=1 Hon nùa, do (3.63), ta co 'Eụ!'lZZ^iMy)-R(^^y) -if£{y)-R{x.y) £=1 P sE Ue — x | u^ — X /e _ ^ rn-r. lU^ — X < K E t t 9^+1 ^ 9 £ = ! • - ' £ = 1
Cuịi cùng, su dung (3.57) và (3.64), ta nhan dugc
||/(x,y) - R{x^y)U < f{x.y) " É i ^ ' " i m + i ^ ( ^ )
^—^ \Up — X "^"'"•'• ^ = 1 ' ^ ' (3.64) A" ^ = 1 U£ — X K (3.65)
Dinh ly dugc chùng minh.
Két hgp Dinh ly 3.3, 3.4, Nhan xét 3.5 ta nhan dugc
Dinh ly 3.6. Già su càc tap G, Vii, ^2 '^à K dugc cho nhu trong Dinh ly
3.3. Ggi VI2 là mièn dugc xàc dinh bịi cĩng thuc (3.55). Già su f là hàm chinh quy trong G, giài tich thuc trong 0,2
1. Néu fl2 là mièn Runge trong C" thì f dugc xdp xi dèu trén K bịi càc hàm trong 7^^(R"'+^ x R^,>t).
2. Néu Ù2 khĩng phài là mièn Runge trong C^ thì f dugc xdp xi dèu
trén K hịi càc hàm trong 7^^(R"'+^ x Q.2,A).
3.2.2. He phtrcrng trình khĩng thuan nhat
Xét he phuong trình
D:,f{x,y) = g{x,y) (3.66)
trong do g{x, y) G C°^{fli,A) vĩi moi y G f22 co dinh, giài tich thuc trong ^2 vĩi mĩi X G fli co dinh, Qi, Q2 là càc mièn trong R"""^^ và R"" tuong ùng,
Ta sé chù-ng minh he (3.66) giài dugc trong lĩp G ^ ( f i i , ^ ) .
Bo de 3.5. Hàm
/(x,y) = - - ^ f /"'J g{u,y)du (3.67)
Hi m
giài tich thuc trong ^2 vai u = ^ CiUj, du = duo A • • - A dum-
Chùrng mình. Vi hàm g{u, y) giài tich thuc trong ^2 vĩi moi u £ fli co dinh
nén vĩi mịi yo == (yoi,... ,yon) ^ ^2 ton tai làn can B{yQ^r), r = r{yQ,u) sao
cho
g{u,y) = J ^ G ^ ( u ) ( y - y o ) ^ y G S(yo,r). (3.68)
Trong (3.68), thay thè mot càch hình thùc càc bién thuc ye bang càc bién phùc z^, ^ = 1 , . . . ,n, ta nhan dugc hàm 'g{u^z) chinh hình trong ^2
(cĩng thùc (3.65)). Vi the tich phàn
— X f "u — "x
f{x,z) = / -—^g{u,z)du
^ m + l J | l i - X p + - L
Hi
cùng phu thuĩc chinh hình theo z e Cl2-
Do dị / ( x , z) khai trien dia phuong thành chuoi lùy thùa theo càc bién 2 i , . . . , 2„. Mat khàc, / ( x , z) han che trén Q2 (vĩi moi x G f^i co dinh), chinh
là / ( x , y). Tù dị, / ( x , y) là tĩng cùa mot chuịi lùy thùa theo càc bién thuc
Vay / ( x , y) cho bịi (3.67) là hàm giài tich thuc trong ^2- B 6 de dugc chùng minh.
Dinh ly 3.7. He (3.66) co it nhdt mot nghiem f{x,y) G C^{Q.i,A) và giài
tich thuc trong fl2-
Chùrng minh