/ a['^ Ad) a
fa-fpe nH{U an Up,n), ạpeị
2.3. BÀI TỒN KIEU COUSIN DOI VĨI HÀM SONG CHINH QUY
HÀM SONG CHINH QUY
Già su fi là tap mĩ cùa H^ = H x H. Xét / : fi ^ H là hàm nhan già
tri trong M. Khi dị / - /o + ifi + j / 2 + /c/3 vĩi fa là càc hàm nhan già tri
thuc, a = 0 , 1 . 2, 3.
Xét hai tồn tu Cauchy-Fueter
dxl,'^ dx['^ ' dxf dx^^
vĩi g^ = x[,^^+zz[^^-fjx^^^+A;4^\ £ = 1 , 2 . Khi dị ta co
Dinh nghia 2.4. Hàm / dugc goi là song chinh quy trong fi néu / G
C^(fi,EI) và thịa man he
tron? fị /2^,. = 0
2.3.1. Dinh ly Runge
Ky hiéu 7^B(]HI^,H) là tap tàt cà càc hàm song chinh quy trén H^. Già su fii C H là tap mĩ vĩi bién tron, fi2 C H là tap mĩ, 7^ = i^i x ^^2 là tap
compact cùa fi = fii x fi2 trong dị KÌ là tap compact cùa fi^ sao cho fi^ \ Ki
khịng co thành phàn compact tuong doi trong fi^, z = 1, 2. Ta co dinh ly sau
Dinh ly 2.17. Néu f là hàm song chinh quy trong fi thi f duac xdp xi dèu
trén K bài càc hàm trong 7^^(11^,H).
Chung minh. Cho 5 > 0, ta sé chùng minh tĩn tai hàm ỉ(gi,g2) G
7^B(H^H) sao cho
Vĩi mĩi g2 G fi2 co dinh, hàm /(gi,g2) chinh quy trai theo gì G fiị Theo cĩng t h ù c tinh tich phàn Cauchy - Fueter ([43]) doi vĩi hàm chinh quy ta co
f{qi,q2) = ^ J ^^^^D^f{u,q2) vĩi u = xo-\-ixi^ jx2 + kx3, D^ = dxo - Cidxi + 62^X2 - £3^x3. vĩi u = xo-\-ixi^ jx2 + kx3, D^ = dxo - Cidxi + 62^X2 - £3^x3.
Vi vay 2.53 f{qi->q2) 1 27r2 ^ - 9 i u - g i | 4 aa- Y,{-lTeaf{u,q2)dXa). (2.54) 1 = 0
Vi càc tĩng Riemann hịi t u ve tich phàn ben phài cùa (2.54) nén càc
tĩng dị co thè xàp xi / ( g , t) trén K vĩi dị chinh xàc tùy y mien là chgn phàn
hoach r = 9fii hgp lỵ
Nĩi càch khàc, tĩn tai phàn hoach {F^^^ : £ = 1 , . . . ,p} cùa F co do do t u o n g u n g là AF^^^ . . . , AF^^^ sao cho
p — — /(^í^2)-^Eu!^^(E(-ir^"/(-^^52))Ar(^) /(^í^2)-^Eu!^^(E(-ir^"/(-^^52))Ar(^) ^=1 ' ^ ^-^' a = 0 . < 2 • (2-^^) 1 3 D a t fe{q2) = TTT E (-l)''ea/(tx^,g2)AFf^) thì (2.55) t r ĩ thành f{quq2)-Yl V — - Ui - g ì £=1 \Ui - gì fe{q: e K^-2 (2.56)
Vĩi m o i Ui G 9fii co dinh, hàm 7- chinh quy trai theo
^ F ^ - ^ i r
gì G fii ([68]) nén theo dinh ly Runge doi vĩi hàm chinh quy Quaternion
([43]), tĩn tai h à m Pi{qi) chinh quy trén H sao cho
Ui - g ì
\ui - g ì P£{qi) <
K, 2^^^\\fi{q2 (2.57)
K2
Mat khàc, vĩi moi ^ co dinh, hàm /^(g2) chinh quy phài theo g2 G fi2
nén cùng theo dinh ly Runge, tĩn tai hàm Qi{q2) chinh quy trén H sao cho
e
fe{q2)-Qe{q2)\\j.^ <
T u (2.57), (2.58) suy ra
Ui - g ì
fi{q2)-Pe{qi)Qe{q2
< Tr^~\zM<Ì2) - Piiqi)Mq2) + \\Pe{qi)fdq2) - Pe{qi)Qe{q2)\\j,
m ~ qi\ K "-^ Ui - g ì \Ui - g i l ^ e e Pi{qi) ^ 11^(^2)11^+||-PK^i)LJ|/K92)-g.(^2)|l^, 2^+2 ' 2^+2 2^+1 vĩi mĩi i = 1 n. (2.59)
Dat R{qi,q2)=^ J2 Pe{qi)Qe{q2)' T a c ĩ
£ = 1
V,,R{qi,q2) = ỴV,,{Pi{qi)Qi{q2)) = Ỵ{V,,Pi{qi))Qe{q2
£=1 £=l
do Nhan xét 0.1 và do Pi{qi) chinh quy trai trén H. Tuong t u
R{qịq2)V,, = ^ ( P £ ( g i ) Q K ^ 2 ) ) 2 ^ , . = ^ ^ £ ( 9 i ) ( Q £ ( ^ 2 ) ^ , ,
0
= 0.
; = i ! = i
Vi vày R{qi,q2) ^ 7^B(IH[2,H). Àp dung (2.59) t a nhàn dugc
E ^=1 ^=1 P Ui-qi\ f£{q2) ~R{qịq2) < K ^ ^ l i | u ^ - g i | ^ ^ £=1^ ^ (2.60) 1=1 Tu (2.56), (2.60) suy ra quq2)-R{quq2)\\K^ f{qi^92)-J2 p — - uẽqi Ui - g ì fi{q: K = 1 e e ^L^ \nt.n — Hi r* ll-K -^ ^ £=1 Ui - g ì