/ a['^ Ad) a
E,^ , r (I>jhajf3 trong Uaj r\Up
^ ^^^^' ' " ^ ^ " l o trong Up\Ua, R 5 ràng gp G C^iUp.M) và
gp~ga = Yl ^^;/5 - Yl ^^i^ " Yl ^J^^,^ - Yl ^j^^ị^
3 j 3 3
= Y^àjihactj + hâp) = ^ < ^ j / l a ^ = /la/3- ( 2 . 4 2 )
r^ ^^ d{9Q-9oc) dgp dga dh^p ^ Do do -= = -^:r - -^=r = — ^ i ^ = 0,
dq oq cfq oq ^tÌ90 - 9a) = ^t90 - At5a = At/la/3 = 0
do hap G 7 ^ H ( 1 4 n y/3,H). Vi vay, | — ^ [ xàc dinh mot hàm 9{qA) trong fi
9g
và g{q,t) G C°°(fii,EI) vĩi moi t G fi2 co dinh.
T u (2.41), dièu kién (1) và Nhan xét 0.1, ta co
dga d /^^ ^ ^ \ sr^d(pjh
="^(É^^'^-i-) = E j'^aja
dq - 8q\^^''''''J ^ dq
3 3
Do (2.43), dièu kién (2) và vi (l)j khịng phu thuịc t nén
3 3
Xét he
dh
^ (2.44) Ath = 0.
Theo Dinh ly 2.12, he (2.44) co nghiem /i(g, t) sao cho /i(g, t) G C°^(fii, H)
vĩi mịi i G fi2 co dinh. D a t
ha= gcc-^h trong moi V^. (2.45)
Ta co
dha dga dh
-^ -^= g~ g = 0 trong Uà dq dq dq
Afha — Atga + Ath = 0 trong fi2.
Mat khàc, do h^p dièu hịa trong fi2 nén t u (2.41) suy ra g^ dièu hịa trong fi2. Vi vay, h^ G TlniVaM).
Su dung (2.42), (2.45). ta nhàn dugc
hp-ha = {gp + /i) - {ga -^ h) = gp - g^ = h^p-
Do dị, càc h à m ha xàc dinh bịi (2.45) thịa man Dinh ly 2.13.
Dinh ly d u g c chung minh.
B à i t o à n I I . Già sii càc mièn fii, fi2 dugc cho nhu trong Bài tồn I, [Uà], a e I là phù m ĩ cùa fi = fii x fi2 thịa man dièu kién Uà = U^â X Ui^^ và {rĩ^^}, {Ui^^} làn lugt là phù mĩ cùa fii, fi2.
Trong moi UaHUp, cho hàm hap G C°^{UÌ^^ D C / ^ ^ \ H ) thịa m a n 1. ^ ^ 0 trong Uí^ n U\
2. Ai/ia/3 = 0 trong ui^^ nU^ 3. hap + hpa = 0 trong Uà H Up
4. hap + hpy -\- hya = 0 trong Uaf^UpC] U^, a, /3,7 G / . Tìm càc h à m ha G 7 ^ / / ( ^ Q 5 H ) , a E I sao cho
hp — ha = hap trong UâiUp.
Chù y ràng, co s u khàc nhau co bàn giùa hai bài tồn nàỵ U Bài tồn
I, càc h à m hap dà cho dièu hịa trong tồn fi2 trong khi ĩ Bài t o à n II, hap chi co tinh chat này trong {Uà nUi ) C ^2- Ngồi ra, càc hàm ha càn tìm
trong truịng hgp thù nhàt dièu hịa trong fi2 nhung ĩ truịng hgp sau, ha chi dièu hịa trong Uà -
Ta co dinh ly
Dinh ly 2.14. Ton tai càc hàm ha G 7^i/(^ạE[) sao cho
hp - ha = hap trong UâUp. (2.46)
Chùrng minh. Già su {0^} là phàn hoach don vi tuong ùng vĩi phù {t/i^^}
cùa fii- Xét hàm
\-^ , * ,. , ( (Pjha,0 trong Uâ H Up
90 = 2^K,0^ voi hâp = 1 ^ j LO trong Up \ La,-
Rịràng go G C ° ° ( [ / ^ ^ \ H ) .
Tuong tu nhu trong chùng minh Dinh ly 2.13, ta nhan dugc càc hàm gp dièu hịa trong [/i ^ vk gp — ga — hap trong UâUp.
Hon nùa, l - ^ \ xàc dinh mot hàm^(g, t) trong fi, vĩi g{q^t) G C"^(fii,K
và dièu hịa trong fi2. Xét he phuong trình
9 ^ _ _
9g " ^ (2.47)
Ath = 0.
Theo Dinh ly 2.12, he (2.47) co nghiem /i(g,t) G C°^(fii,e) và h{q,t)
dièu hịa trong fi2. Ky hiéu
ha=9c. + h. (2.48)
Ly luàn tuong tu nhu trong Dinh ly 2.13, ta nhan dugc ha thịa man
(2.46).
Dinh ly dugc chùng minh.
2.2.4. Ap dung.
A p dung 2.1. Già su fii, fi2 và {Va} dugc dinh nghia nhu trong Bài
tồn L Ky hiéu TZH{^I X f^2,BI) là tap tàt cà càc hàm chinh quy trong fii, dièu hịa trong fi2 và TÌH{^I X fÌ2,IHI) là tap tàt cà càc hàm f{qA) co tinh
1. / chinh quy trong fii, t r ù t a p Pt vĩi moi ^ G fi2 co dinh {Pt dugc coi
là t a p ky di cùa / )
2. / khịng the thàc trién thành mot hàm cliinh quy vào bàt ky diém nào
cùa Pf.
TVong moi V^, cho hàm fa G RH{VaM) sao cho
fa-f^e nH{Va n y^,M), a,/? G / . (2.49)
Ta co dinh ly sau
D i n h ly 2.15. Ton tai hàm f G TZH{^I X fi2,EI) sao cho f ~ fa ^ T^H{Vaì'B) VĨI mgi a G / .
C h i i n g m i n h . Dat
ha0 = fa-fp (2.50) thì hg càc hàm {hap} thịa man dièu kién cùa Bài tồn Ị
Ap dung Dinh ly 2.13, tĩn tai càc hàm ha G 7^i/(Ki,IH[) thịa man
hp — ha = hap trong Va D Vp. (2.51) T u (2.50), (2.51) suy ra hp-ha=fa-fp hay ha-^ fa ^hp-^ fp trong
VaCìVp. Chùng tị, hg {fa + / i a } >^àc dinh mot h à m f{q,t) G 7^//(fii x fi2,IHI)
sao cho
f - fa = ha e nH{Va,M) vĩi mgi ae Ị
Dinh ly dugc chùng minh.
A p d u n g 2 . 2 . Già su fii, fi2 và {Uà} d u g c cho n h u ĩ Bài tồn II, TZH{^I X
fi2,M) và 7^if(fii X fi2,]HI) dugc dinh nghia n h u ĩ Ap dung 2.1.
Trong moi Uà = Uà x Uà , cho hàm fa G 7lH{Ua,'^) thịa man