/ a['^ Ad) a
2.3.2.He phuorng trình kh ị ng thuan nhàt
fa-fpe nH{U an Up,n), ạpeị
2.3.2.He phuorng trình kh ị ng thuan nhàt
Cho fii C i7 là mièn don lién vĩi bién tron, fi2 C i ? là mièn don lién. D a t fi = fii X fis. Xét he j ^QJ ^9{quq2) ^ „ , . „^. l fT>q2 = h{qi,q2) T r u ĩ c hét, xét phuong trình 'D,J = g{qịq2) (2.62) trong dị g{qi,q2) G C°°(fii,EI) vĩi mĩi g2 G fi2 co dinh và chinh quy phài
theo g2 G fi2 vĩi mĩi gì G fii co dinh.
B o d e 2 . 4 . Phuang trình (2.62) co it nhdt mot nghiem / ( g ì , g2) G C°°(fii,BI) và chinh quy phàt theo g2 G fi2-
Chùrng m i n h
a) T r u ĩ c hét, già thiét rang g G Cơ(fii, H) vĩi mịi g2 G fi2 co dinh.
Xét hàm _ _
/ ( 9 l , 92) = - ^ / 1 ^ ^ 5 ( ^ , 9 2 ) 0 .
H
R ị ràng, /(gi,g2) G C°^(H,E) vĩi moi g2 G fi2 co dinh.
T h e o Dinh ly Green II ([43]), / ( g ì , g2) là nghiem cùa phuong trình (2.62).
M a t khàc, vi g chinh quy phài theo g2 nén
1_ [ JLZll
27r2 J \u-qi
f^..='7^ - ^ - ^ ( 5 ( n , g 2 ) 2 ^ , J 0 ^ O .
H
V à y bo de dugc chùng minh khi g G C^(fii,]H[).
b) Xét t r u ị n g hgp tĩng quàt g G C ° ° ( f i i , H ) . Ta xày dung mot vét can compact {G^} cùa mièn fi = fii x fi2 vĩi Gj, là càc mièn don lién cùa fi, Gt, (Q Gưi ^ • • • sao cho G^ = GÌ^^ X G^J^ trong dị GÌ^\ GỈ^ là càc mièn
don hén cùa fii, fi2 t u o n g ùng và
GÌ'^ccGÌ%<^...; Gl'^<cGÌ%<^,,.^
Tiép theo, xày dung càc hàm g^, G C^(fii,]H[) sao cho
f 9 trong GÌ^^ X fi2
[ 0 trong (fii\G'[.'^,)xfi2.
Càc hàm ^^ dugc xày dung tuong tu nhu trong (2.38). Xét phuang trình
^ , J = 5.- (2.64) TU buĩc (a) cùa phép chùng minh, dàn dén phuong trình (2.64) co
nghiem trong lĩp C'^(fii,H) và càc nghiem này chinh quy phài trong fi2. Ta sé chung tị ràng, co thè tìm nghiem /^^ cùa (2.64) sao cho trong mĩi G^.
| | / , + i - / , | | ^ ^ < ^ vĩi u = l,2,... (2.65)
Chon
Ro ràng V,,{f2 - fi) = P , J 2 - ^ , , / i = ^2 - ^i = 0 trong G[^\ (/2 -Ji)^g. = f2V,, - fiV,, = 0 - 0 = 0 trong fi2
do fi vk /2 chinh quy phài theo g2 trong fi2.
Nhu vay, {J2 - fi) là hàm song chinh quy trong Gì x fi2. Theo Dinh ly 2.17, tĩn tai hàm R{qi,q2) ^ 7^B(IHI^H) sao cho
\\h-fíRi\\o,<\
Dat /2 ^ I2 -Ri, t a c ĩ
V,j2 = V,,{f2-Ri)=V,j2-V,,Ri=g2-0^g2. f2V,, = (72 - Ri)V,, - J2V,, - RiV,, = 0 - 0 = 0 trong fi2
do J2 và Ri chinh quy phài trong fi2. Nhu vay, (2.65) dùng vịìv^l.
Bang phuong phàp tuong tu, ta xày dung dugc tàt cà càc hàm /^, z/ = 2 , 3 , . . - thịa man dièu kién (2.65).
Day hàm {h} hĩi tu dèu trén tùng compact Ki cùa f2i dén hàm