/ a['^ Ad) a
d J d d
2.1. BÀI TOAN THÀC TRIEN DOI ĨI HÀM CHINH QUY
Cho fi là tap mĩ cùa EI"', / : fi —^ H là mot hàm nhan già tri trong M.
D i n h nghia 2 . 1 . Hàm / dugc ggi là giài tich thuc trong fi néu càc hàm
fa: xàc dinh bịi (0.1), giài tich t h u c theo t à t cà càc bién (x^-^\ . . . , x^^^) vĩi
a - : 0 , 1 . 2 , 3 .
Già su fi — fii X • • • X fi^ (n > 2), fii là càc mièn trong H, 9fii t r o n và E là làn càn m ĩ bàt ky cùa 9fị
B o de 2 . 1 . Néu f giài tich thuc trong E thì 1 f Q-Qi F{qu--.:qn)=-7r;2 / , ' , 4 ^ g / ( g , g2, • • • , gn) (2.1 dQ. vai q = xo + zxi + ; x 2 +/CX3, Dg — dxi A dx2 A dx3 — idxQ A dx2 A dx3 + jdxo A dxi A dx3 — kdxo A dxi A dx2, là hàm giài tich thuc trong fị
Chirng m i n h . Khĩng làm giàm tinh tĩng q u à t , t a chùng minh bĩ de cho
t r u ị n g hgp n — 2. Khi do
i^(gi,g2) = ^ | ^ £ : ^ I ^ J ( g , , 2 ) . (2.2)
De dàng t h à y ràng, F{qi^q2) xàc dinh trong tồn fị
Lày mot diém bàt ky (a, b) € fi, t a sé chung tị ràng, F co the khai trién t h à n h chuịi lùy t h ù a hịi tu trong mot làn càn cùa diém (a, b).
Già s u ^0 ^ 9fii là diém bàt kỵ Vi / giài tich t h u c trong S nén tĩn tai
Pgo > 0 vk pb > 0 sao cho
oo
fiQ, Q2)^ Yl ^^^-(9 - 10^(^2 - b)" (2.3) vĩi q e Bi{qQ^ pg^), q2 G B2{b^ p^) trong dị S i , B2 t u o n g ù n g là càc hình càu
trong fii, fi2 v à
50 = ^0 "^ ^^1 + J^2 + ^^3 j b = bo + ibi-\- jb2 + A;Ị3,
^= ( M 0 , M I , M 2 , M 3 ) , ^ = (i^0,i^l,^2,^3), ^ạl'a > 0, a = 0 , 1 , 2 , 3 ,
C^i^ là càc hàng so Quaternion,
{g-qo)-^{xo-xl,'T{x,-x['Ý{x2-xíÝ{^s-4'T^
{q2 - b)'^ = (x(^) - bor (4'^ - b^r i4'^ - b2r (4'^ - ^3)".
Chuoi (2.3) hịi t u trong Bi{qo,pg^) x B2{b,pt) C S . Dat cjqo = Bi {qo, Pqo ) ^ 9fiị Khi do he à = {ag^ : qo E 9fii} là phù m ĩ cùa 9fiị
Vi 9fii là t a p compact nén co thè chgn d u g c phù con h ù u han { a i , . . . , ap} t u ạ Dat Ti = a i , T2 - a 2 \ r i , . . . , T^ = a p \ { r i U - • - U T p . ! } thì 9fii - Ù T^, i = l r^ n T/, = 0, 1 < ^ 7^ ^ < p. T u dị p i^(gi,g2) = J ] i ^ h ( g i , g 2 ) (2.4) ^ = 1 vai F^{q,,q2) = ^ f-r^^^DJ{q,q2). (2.5)
Do dinh nghia cùa Tk, t a thày, néu g G F/^ thì q e Bi[qll'\p (/.)) trong <3ĩ go ^ 9 f i i , p (h) > 0.
Vĩi nhùng q nhu vay, ta co
f{q,q2)= Ỵ ClH\q-CTiQ2-b)^ (2.6) ih) ih)
LUI UU L I U U ^ ^l\q
Q-Qi
và chuịi (2.6) hịi tu trong Bi^q^ \p ih)) x 52(ị,Pb)-
Vi — là hàm chinh quy theo ^i ([43]) nén khi ^i dù gàn a, ta co
\Q-Qir
Q-qi
=^f2dp{q){qi-a)^ (2.7)
k-^il'^
'^ ^^^ 0=0
vĩi /? = (/3o,/3i,/32 5/Ss), d0{q) là càc hang so Quaternion,
/ ^|3 { ( 1 ) \ / 3 0 / (1) \ ^ W (1) \(^2( (1) \ / 3 3
(^1 - a)^ = (x^ ' - aoj [x\ - ai) [x\ - 02) [x\ ^ - 03) . Chuịi (2.7) hịi tu trong mot làn càn dù nhị cùa ạ
Tu (2.5), (2.6), (2.7), ta nhan dugc
00
FH{quq2)- X ; Cf;^{qi-af{q2-br (2.8)
(3,u=0
và chuịi (2.8) hĩi tu trong mot làn càn dù nhị cùa (a, ị). Vi -^(^1,^2) là tĨng
cùa mot so hùu han hàm Fh{qi, ^2) nén F(gi, ^2) cùng co càc tinh chat nhu
Fh{qi,q2)-
Nhu vay, vĩi mĩi (a, b) G fi, tĩn tai làn càn mĩ cùa (a, b) sao cho F{qi, ^2)
dugc khai trién thành chuịi lùy thùa hịi tu trong làn càn dị. Dièu này chùng
tị, F{qi^q2) giài tich thuc trong S.
BĨ de dugc chùng minh. Àp dung BĨ de 2.1, ta co
Dinh ly 2.1. Cho hàm f giài tich thuc trong E, thịa man
^^ =0 (2.9)
9^0
9/
95/- 90 (2.10)
trong E vai g^ là càc hàm giài tich thuc trong E U fi; a = 1 , . . . , /e; P =
Khi dị, ton tai duy nhdt hàm F, giài tich thuc trong E, thĩa man
8F
8F
trong Q sao cho F = f trong E fi r2.
Chumg minh. Xét hàm = 0. = 90 (2.11) (2.12) F ( g i , . . . , 9 „ ) = —2 / -. jTDgf{q,q2,...,qn). 27r^ J \q- Qip (2.13) ani
Theo Bị de 2.1, F xàc dinh và giài tich thu-c trong JÌ. Khi q( dù gan
dQe, i = 2,... ,nvk qi e ili thì (^i,... ,g„) e Ẹ Lue dị, ve phài cùa (2.13)
tra thành cĩng thùc tich phàn Cauchy-Fueter doi vai hàm chinh quy / ( [43] )
nén F = f vĩi nhùng qe nhu- vaỵ
Do dị, ton tai tap mịf a j^ $, a C T,DQ. sao cho F = f trong ạ
Tu dinh ly duy nhàt doi vai hàm giài tich thirc suy ra
F = f trong E n f i . Su dung (2.9), (2.10), ta nhàn du-ac dF 8f (2.14) 8F 8f dqp dq^ = 0. = 5/3 (2.15) (2.16) trong E n fì, a — l,...,k; P = k + 1,... ,n; 1 < k < n. Vi F là hàm giài tich thirc trong fi nén rị ràng
8F ^ dF _ . , . , , ,
va -— cung gì ài tich thurc trong fị (2.17)
suy ra
Do gi3 cùng co tinh chat này trong fi nén két hgp (2.15), (2.16), (2.17)
^ ^ = 0
trong fị
9Qa
dF
Nhu vay, F chinh là thàc trién cùa / trong fị
Ciing do dinh ly duy nhàt doi vĩi hàm giài tich thuc nén thàc trién F
cùa / vào fi là duy nhàt.
N h a n xét 2.1.
- ( F trong fi
1. Néu dat F= l ^
1 / trong E \ fi
thì F là hàm giài tich thuc duy nhàt, xàc dinh và co càc tinh chat nhu / trong tồn E U fi sao cho F = f trong Ẹ
2. Néu e//? = 0 vĩi /? = A: + 1 , . . . , n thì -f- = 0 trong Ẹ Khi dị / là
dqe
hàm chinh quy trong Ẹ
Tir Dinh ly 2.1, ta nhan dugc
Dinh ly 2.2. Néu hàm f giài tich thuc và chinh quy trong E thì ton tai
duy nhdt hàm F cùng co tinh chat nhu vay trong tồn fi, sao cho F — f trong E fi fi,
N h a n x é t 2.2. Cho K là tap compact cùa fí, E là mot làn can mĩ bàt ky
cùa tap (fii X K)U (9fii x fí) vĩi fí :^ fi2 x fis x • • • x fi„.
Bang phuong phàp tuong tu nhu trén, ta nhan dugc dinh ly thàc trien Hartogs doi vĩi hàm chinh quy
Dinh ly 2.3. Néu hàm f giài tich thuc và chinh quy trong E thì ton tai duy
nhdt hàm F, giài tich thuc và chinh quy trong fi, sao cho F = f trong E n f i .
Luu y ràng, néu dat
~ j F trong fi
^ " i / trong E \ fi
thì F là hàm duy nhàt, xàc dinh và co tinh chat nhu / trong tồn E U fi và
F = f trong Ẹ
Sau day, ta dinh nghia hàm giài tich thuc theo tùng bién và néu dinh ly ve mĩi quan he giùa hàm chinh quy và tinh giài tich thuc.
Dinh nghia 2.2. Hàm / dugc ggi là giài tich thuc theo tùng bién q^
trong fi néu càc hàm / a , xàc dinh bịi (0.1), giài tich thuc theo x^^^ =
{x^^\x^i\x^2\^f) v^i ^ ^ i qn co dinh, 1 < /i 7^ ^ < n sao cho g = ( ^ i , . . . , ^n) ^
fị
Ta ggi / thịa man Dinh nghia 2.2 mot càch don giàn là hàm giài tich thuc theo tùng bién trong fị .
Dinh ly 2.4 ([68]). Mgi hàm chinh quy trong tap mị fi C H /à hàm giài tich
thuc trong fị
BĨ de sau day nĩi ve tinh duy nhàt cùa hàm giài tich thuc theo tùng bién.
B o de 2.2. Cho fi^^ ^ = 1 , . . . , n là càc mièn cùa M., f là hàm xàc dinh và
giài tich thuc theo tirng hién trong fi = fii x • - • x fi^. Néu / = 0 trong tap mị khàc rong a C fi thì f = 0 trong fị
Chùrng minh. Khĩng mat tinh tĩng quàt, co the già su rang a = Ai x • • • x
An vĩi  là càc dia trong fi^, £ = 1 , . . . , n.
Vĩi mĩi (g2i • • • 5 9n) ^ A2 X • • - X An CO dinh, vi / là hàm giài tich thuc trong fii và / = 0 trong Ai nén theo dinh ly duy nhàt doi vĩi hàm giài tich
thuc suy ra / — 0 vĩi moi qi 6 fiị
Mat khàc, do (^2- • • •, ^n) ^ A2 x • • • x  là bàt ky nén / = 0 trong fii vĩi moi (g2,--. ,gn) ^ A2 X ••• X An-
Tuong tu, vĩi moi ( g ì , . . . , g£_i,g^+i,... ,gn) ^ Ai x - - - x A £ _ i x Â+i x
• • • X An co dinh, t a co / ~ 0 trong fi^, i ~ 2,... ^n.
Tu dị / = 0 trong fị
Su dung phuang phàp tuong tu nhu trong chùng minh Bĩ de 2.1, ta de dàng chùng minh dugc
Bo de 2.3. Cho hàm f xàc dinh trong Ẹ Néu f giài tich thuc theo tùng
bién trong E thi hàm
F{qụ--.qn) = ^ J J r J ^ | 4 - P g / f a g 2 , - - - > g n )
xàc dinh và giài tich thuc theo tùng bién trong fị
N h a n x é t 2.3. T u Dinh nghia 0.1, Dinh ly 2.4 suy ra, néu / chinh quy trong
fi thì / giài tich thuc theo tùng bién trong fị
Nhị BĨ de 2.2, 2.3 và Nhan xét 2.3, ta chung minh dugc dinh ly sau
Dinh ly 2.5. Cho hàm f xàc dinh trong Ẹ Già su f giài tich thuc theo
tùng bién trong E và thịa man
^ = 0, (2.17)
trong E vai a = 1 , , . . , /e; /3 = k-\-1,... ,n, ì < k < n; gp xàc dinh và giài tich thuc theo tùng bién trong E U fị
Khi dị, ton tai duy nhdt hàm F xàc dinh và giài tich thuc theo tùng bién trong fi sao cho
dF trong fi và F = f trong E fi fị Chùrng m i n h . Xét hàm F ( 5 „ . . . , g „ ) = 2 ^ 2 / Q-Qi \Q-qi\^ ^ J ( g , 9 2 , . . . , ^ n ) . (2.21) iy - y i r
Theo Bị de 2.3, F xàc dinh và giài tich t h u c theo t ù n g bién trong fị Khi qc dù gàn 9fi^, £ = 2,... ,n, gì G fii thì ( g ì , . . . , g n ) ^ Ẹ Lue này ve
phài cùa (2.21) chinh là cĩng t h ù c tich phàn Cauchy - Fueter doi vĩi hàm chinh quy / .
T u o n g t u nhu càch chùng minh Dinh ly 2.1 t a co F = / trong E fi fị Hon nùa, t a cùng co (2.19) và (2.20) do tinh giài tich t h u c theo t ù n g bién
dF dF
cùa càc hàm 7^^-, TT:^, gs trong fi và do (2.17), (2.18). Dièu này chùng t ị ^a 9g^
F là thàc trién cùa / trong fị
T u BĨ de 2.2 suy ra thàc trién F cùa / trong fi là duy nhàt.
Néu gp — 0 vĩi /? ~ /e + 1 , . . . , n nghia là -^zr = 0 , ^ = 1 , . . . , n thì / t r ĩ
thành hàm chinh quy trong Ẹ Theo Dinh ly 2.4, / giài tich t h u c theo t ù n g bién trong Ẹ
Ap dung Dinh ly 2.5, t a co
D i n h ly 2.6. Néu hàm f chinh quy trong E thì ton tai duy nhdt hàm F,
chinh quy trong fi sao cho F = f trong E n f i .
N h a n x é t 2.4. Già su /C v à E d u g c dinh nghia nhu trong Nhan xét 2.2. Ta
co dinh ly thàc trién kiéu Hartogs sau day
D i n h ly 2.7. Cho hàm f xàc dinh trong E và thịa man càc già thiet nhu
trong Dinh ly 2.5. Khi dị ton tai duy nhdt hàm F, xàc dinh và giài tich thuc theo tùng bién trong fi, thịa man (2.19), (2.20) sao cho F — f trong E n f i .
F =
Trong càc Dinh ly 2.5 - 2.7, muĩn xày dung hàm F co tinh chat nhu / trén tồn E U fi và hon nùa, han che cùa F trén E chinh là / , chi càn chgn
F trong fi
/ trong E \ fị
DI nhién, F là thàc trién duy nhàt cùa / trong E U fị
Vi du 2 . 1 . Cho fii, fi2 là càc mièn cùa H, 9fii tron, E là làn can mĩ bàt ky cùa 9fi, fi = fii x fi2.
Già su / = /o + ifi + j / 2 + kf3 chinh quy trong Ẹ Khi dị dièu kién
= 0 tuong duong vĩi