/ a['^ Ad) a
f-faenA{Ua,A) yaeị
3.3. BÀI TỒN KIÉU COUSIN DOI VĨI HÀM CHINH QUY PHU THUỊC CHINH HÌNH VÀO THAM SO
PHU THUỊC CHINH HÌNH VÀO THAM SO
Già su C ^ là dai so Clifford phùc (xem [53]). Moi phàn tù cùa Cm dèu co dang a = J2 ^ÂA, CÌA ^ C. Phàn tù lién hop cùa a trong C ^ duoc dinh
A
nghla bịi a = ^ CLÂA- Khịng gian R^ duoc nhùng vào Cm bang càch dĩng
A
m
nhàt phàn t ù x = ( x i , . . . , x^) vĩi x = ^ ^jXj. Chuan cùa a = Yl ^ÂA
3 = 1 A
dugc dinh nghla bịi |a|^ = J^A I*^AP- Tồn tù Dirac D trong R"^ duoc dinh
m
nghla nhu sau -D — ^ ^3~^ ' ^^ dkng nhàn thày D^ = -Am — - H o 2
j=i oxj ' j=i axj
Cho G là tap mị cùa R"". Xét hàm / : G —^ C^- Khi dị / co
dang f = Y1 IÂA vĩi />i = u^ + ÌVA trong dị UA = UA{XI,. . .,Xm): VA =
A
VA{XI, . . . , Xm) là càc hàm nhan già tri thuc.
Dinh nghla 3.3 ([53]). Hàm / dugc goi là chinh quy trong G néu / G
C^{G, Cm) và thịa man Df ^0 trong G.
Nhan xét 3.6. Ta co
«/ = EEt'>- = EE(lt+.|^)».-
j = l A ^ J = l A -^ -^
= EE|^^.--<EE|^)=.-^
Vày Df = 0 tuong duong vĩi S ^ / ^ trong dị / = / i + i/2, l Dj2 = U
/ i = Ê^^A, /2 ^ É^^^A-
Nhàn xét 3.7 ([53]). Néu / chinh quy trong G và fì là mièn co bién tron
tùng khùc, sao cho H C G, ta co cịng thùc tich phàn Cauchy sau day
f{x) = — f ^Zl^dâf{u), (3.76)
Wm J \U- Xl'^
an
u = ilejUj, X = '£ejXj € fi, dâ = ^J (-l)^ejduj,
dùj = duiA---A duj-i A duj+i A • • • A du^, ọ'^ là dién tich mat cau dan vi
N h à n x é t 3.8. Neu / chinh ^ u y trong G (theo quan diem cùa F. Sommen ([53])), thì / chinh quy trong G (theo quan diém cùa R. Delanghe ([9])) trong
dị
G={{xo,Xi,...,Xm):xoeR, {x^,... ,Xm) e G}. (3.77)
m Q o
T h a t vay, dat D* = ^ ê-—-, thì D* = ^—^D.Do f xàc dinh trén j=o oxj dxo
G nhung khịng phu thuịc XQ, nén co thè coi / : G -^ C ^ . V Ì D / = 0 nén D*f=-^^Df = 0.
àxo
Già su fii, ^2 t u o n g ung là càc tap mị cùa R"", C . Xét hàm
/ : n - f]i X ^2 — C ^ . Khi dị / co dang / = E / ^ e ^ , / A = fA{x,z)
A
là càc hàm nhan già tri phùc, x = ( x i , . . . , x ^ ) G f^i, z = ( z i , . . . ,2:^) G ^^2.
Ta co dinh nghla
D i n h n g h i a 3 . 4 . Hàm / G C^{Q.i,Cm) àuge goi là chinh quy trong fii,
chinh hình trong ^2 neu / thịa man Df — 0 trong f^i vĩi moi 2 G rÌ2 co
dinh và càc hàm / ^ chinh hình trong Q2 vĩi moi x G fii co dinh.
3 . 3 . 1 . D i n h ly R u n g e
Trong phàn này t a sé chùng minh dinh ly kieu Runge cho hàm chinh quy chinh hình theo t h a m sọ
D i n h n g h i a 3.5 ([49]). Mièn fì C C^ dugc goi là mièn Runge néu càc hàm
chinh hình trong fì d u g c xàp xi dèu bang càc da t h ù c trén mịi t a p con
compact K cQ'.
Già sú G là t a p m ị trong R"^, Q^i là mièn don lién co bién tron t ù n g khùc sao cho Jli C G, ^2 C C"" là mièn Runge, K = KiX K2\k t a p compact cùa fì = Qi X f22 trong dị KÌ là t a p compact cùa fi^, z — 1,2 sao cho ^ i \ Ki khịng co t h à n h phàn compact t u o n g dĩi trong Viị
Ky hieu 7 ^ ' K ( R ' " X C ' ' , C ^ ) là t a p tàt cà càc hàm chinh quy trong R ^ , chinh hình trong C"-. Ta co ket qua sau
D i n h ly 3 . 1 2 . Néu f chinh quy trong G, chinh hình trong ^2 ihi f dugc
xdp xi dèu trén K bài càc hàm trong 7?.-^(M'" x C^.Cm)-
Chùrng m i n h . Cho ^ > 0, t a sé chùng minh ràng, tĩn tai hàm R{x,y) G
7^H(R'^ xC'Xm) sao cho
Vi f{x, z) chinh quy trong G nén theo cĩng thùc tich phàn Cauchy dĩi
vĩi hàm chinh quy ([53]) khi x e fìi, z G ^ 2 , ta co 1 f{x,z) = — ^•m J \U — X\ Ũ X doufiụz] T ù d ĩ f{x,z) = — ^m J lU-xl"^ , ^ dn, 3=1 771 U — X ^ ( - l ) ^ e j / ( u ^ , z ) d t i j
T u o n g t u n h u trong Dinh ly 3.3, tĩn tai phàn hoach {pf^) :i=l,...,p} cùa r = dQi co dị do AF^^^ . . . , AT^P^ sao cho
/(-• -) - - E ^ ^ (D-D'^./Cx-ÌAr'") i^ < 1^ (3.79) Dàt Dàt J = l Khi dị f{x.z)-J2 p — — U^ — X :=i \U£ — X /K^: e . < 2 (3.80) (3.81)
Luu y ràng, hàm •— chinh quy trong Qi (theo nghia cùa F. Som-
Iti^ — x|"^
men ([53])) nén cùng chinh quy (theo nghia cùa R. Delanghe ([9])) trong Qi
vĩi r^i d u g c xày dung nhir G (cịng t h ù c (3.77)). Do dị, vĩi mịi ue G dCli co dinh, ([9]) tĩn tai hàm Pe{x) G 7 l ( R " " + \ ^ ) sao cho
U£ — X
'tl£ — xl^ - Pe{x) <
K. 2^^nfe{z)\\K: (3.82) trong dị A là dai so Clifford t h u c dugc xày dung trén R ^ . trong dị A là dai so Clifford t h u c dugc xày dung trén R ^ .
Vi -—' ^— khĩng p h u thuịc XQ nén Pi{x) cùng vàỵ \U£ — xy^
Do dị, T ù D*Pi{x) = 0 suy ra DPe{x) = 0. Vi vay Pi{x) G 7^(R"^,^) C n{W^Xm)- Vĩi mịi £ co dinh, h à m fe{z) chinh hình trong ^2
Dàt ^ ( z ) = ^ / X ' ( z ) e A vĩi/X^(2) chinh hình trong Q2 (3.83)
.{()
Theo dinh ly Runge doi vĩi hàm chinh hình ([49]), ton tai hàm Q]^ €
l f ( C " X ) sao cho
•{() W
r;'{z)-Q^;'{z <
K, 2^"+! 2(+^\\Pe{x)\\K, (3.84)
,(^)
Ky hiéu Qe{z) = E Q À ê- Tù (3.83), (3.84) suy ra
\\fe{^)-Qe{z)\\K, = \\j2ifÂ^^^-QAH^)yA K2 m <EII/X^^)-^!:V)IU<^,T^^ (^)ik. (3.85) Su dung (3.82), (3.85), ta nhàn dugc ^ ' " ^ fe{z)-Pi{x)Qe{z] :fe{z)-Pi{x)fe{z] < Ue — x\^' U£ —^ K U£ — xy Ui —T K Pi{x)fe{z)-Pi{x)Qe{z) K \Ui — X m PAx Ki fe{z)\\j,^ + \\PÀx)\\J\fe{z)-Qe{z)\\j,^ e e 2<;+2 ' 2^+2 2^+ E p 1, V ^ = l , . . . , p . (3.86) Dàt R{x,z) = E Pe{x)Q£{z) thì DR{x,z) = Ỵ {^Pi{x))Qe{z) = 0, dQT ^ = È ^ ^ ( - ) ^ = Ê^(^)(Ê^^)-o ; = 1 :=i vi PAx) € 7^(M-,C„) và Qf{z) £ H ( C " , C ) . Do dị R{x,z) e 7eH(K'" X C " , C ^ ) . T ù (2.86) suy ra ^-^ \UP — x n £=l ^ ' K ^=1 ' ^ ' ^ - 1 (3.87)
Cuoi cùng, nhị (3.81) và (3.87), ta co f{x.z)-R{x,z) < f{x,z)-Y P _ _ Ui — X ^=1 \Ui - X fi{z) K _L II \ ^ n^ - X ^ ^ Il e E ^=1 I^Â-:r|^- - 11;^ " 2 ' 2 (3.88)
Dinh ly dugc chùng minh.