/ a['^ Ad) a
1.Già su g{x,y )G C^{Qi,A) vĩi moi yG Q2 co dinh.
Xét hàm
f{x,y) = - - ^ f J^~l^^9{u,y)dụ
^ m + 1 J 1^ -^i
Thàc trién g vào tồn R^+i bang càch dat p = 0 trong R^'^^ \ fii nén
t a co the xem ràng tich phàn dugc lày trén R ^ + ^
Dodo
JJm + l
Vi g{u,y) G G°^(R"^+i,^) nén rị ràng / ( x , y ) G C^{R^-^\A) vĩi moi
y G iÌ2 co dinh.
Do g{u,y) giài tich thu-c trong ^2 nén theo Bo de 3.5, hàm /(x,y) giài
tich thuc trong ^2- Theo dinh ly 9.5 ([9]), / ( x , y ) là nghiem cùa he (3.69).
2. Truịng hgp tĩng quàt g{x,y) G G°°(Qi,^), ta xày dung vét can compact {Gì,} cùa fi = rii x 0,2 bang càc mièn don hén Gj, C f). sao cho
G . = G[}^ X Gí\ Gí^ ce Gii, e Gl^) ce G S , ce ... và GÌ'\ GÍ^ là càc mièn don lién cùa f^i, ^2 tu-ong ùng.
Tiép theo, xày dung hàm càc g^, G CQ^{QI^A) sao cho
J g trong G^^^ x Q2 .„ _ .
^i/ = S ni 3.70) [ 0 trong ( Q I \ G 2 I ) X 172.
Vét can compact {Gì/} và càc hàm g,, dugc xày dung tuong tu nhu
trong (2.37), (2.38) (Chuong 2). Xét he
Dxf{x,y) = gÂ^y)- (3.71)
Tù buĩc (1) cùa phép chùng minh suy ra he (3.71) luịn co nghiem / ( x , y) vĩi / ( x , y ) G G°°(fìi,.4) và / ( x , y ) là hàm giài tich thuc trong ^2-
Ta sé chi ra ràng co thè tìm càc nghiem fu{x, y) = fu cùa (3.71) sao cho trong mịi G^ ta co \\Ui-fA\G<l v a i . = 1,2,... (3.72) Chon G. 2^ h = / I ^ l+i9i{u,y)du, Q i 1 f u — "x /2 = / T—^y;;:^92{n,y)dụ ^ m + 1 J F X\
Rị ràng D^{J2 - A) - DJ2 - D^fi = P2 - 5i = 0 trong G^^\
Tú (3.70) suy ra g^ là càc hàm giài tich thuc trong ^2- Do vay (72 - fi) cùng giài tich thuc trong 9.2- Theo Dinh ly 3.6, tĩn tai hàm ỉi(x,y) G
7ê(R-+i X R",>t) hoac ỉi(x,y) G 7^^(R-+l x ^2,^^) tùy theo ^2 sao cho
\\f2- fi-RiW^^ < 2'
E*at f2 = f2 — Ri thì /2 giài tich thuc trong 0,2 và
D^f2 = DJ2 - D^Ri =g2-Q = g2 do D^Ri = 0.
Vay (3.72) dugc thịa man khi 1/ = 1.
Bang phuong phàp tuong tu, ta xày dung dugc t à t cà càc hàm f^,,
i^ — 1, 2 , . . . thịa man dièu kién (3.72).
Day {fi,} hịi tu dèu trén tùng compact Ki C fìi dén hàm (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
/ = /i + E(/.+i-/.).
i / = i
Trong mĩi G}J , / là tong cùa mot so hùu han hàm thuịc C°^{Q,ịA)
vk cùa mot chuịi hàm chinh quy (/i^+i — /i/), hịi tu dèu trén tùng compact Ki e f^i (mĩi compact Ki cùa fli dèu thuịc mgi Gì ké t ù mot chi so
nào dị). Mat khàc Dxfưi = Dxfu ~ 9 trong G}^^ vĩi v > JJL. T Ù dị / G G'^(fìi,.4) và Dxf = hm Dxfu ~ g trong Vii (vĩi mĩi y G ^2 co
l/—* + oc
dinh).
Cùng do (3.72), t a c ĩ
l l „ , Il 1
II/L.+1 - ÌV\\G^J^ ^ 2 ^ '
Dièu này chùng tị ràng, / ( x , y ) là tong cùa mot chuoi hàm (A+i - /,.)
giài tich thu-c trong ^2 (theo y), hgi tu dèu trén tùng compact K2 C ^2 (moi compact K2 C ^2 dèu thuịc mgi G[^^ bàt dàu t ù chi so nào dị). Vi thè,
f{x,y) cùng là hàm giài tich thuc trong VI2.
Dinh ly dugc chùng minh.
3.2.3. Bài t o à n kiéu Cousin
Xét hai bài tồn sau day
Bài tồn I . Cho fìi, VI2 là càc mièn don hén trong R"^+^ R" tuong ùng, già
D a t Fa = t/^ X ^ 2 , khi dị V^nV0 = ( [ / , n U(s) X O2 vk {V^} là phù m ị
cùa fì = fìi X fìs-
TVong mịi V^ n V>, cho hàm h^p G C^{U^ n U^^A) thịa man
1. /la/3 chinh quy trong t/^ n ?7/3, 2. Zia/? giài tich thu-c trong ^ 2 , 3. /ia/? +/i/3a = 0 trong 1 4 0 1 / ^ ,
4. /la/3 +/i/3^ + / i ^ a = 0 trong F a H y ^ n F ^ ; a , / 3 , 7 G / .
Hày tìm càc hàm h^ e TIA{VC,,A) sao cho
h(3~hcc = ha6 trong 14 H F^, a, /3 G /
trong dị 7^>i(Ki, ^ ) là t a p càc hàm chinh quy trong t/^, giài tich t h u c trong
^2.
B à i t o à n I I . Cho f^i, fis nhu trong Bài tồn Ị Già su {Uà}, Q G / là phù m ị cùa fì - fii X ^2 sao cho U^ = Ui^^ x uL^^ vk {ui^^}, {ui^^} t u o n g ùng
là càc phù m ị cùa fìi, ^^2.
TVong moi U^ n Up, cho hàm h^p G ^^{ui^^ n ^ ^ ^ \ .4) thịa man 1. /IQ/3 chinh quy trong ui^^ H Up'\
2. h^p giài tich thu-c trong ui^^ D uf, 3. /IQ/3 +/i/3a = 0 trong UaHUp, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4. /lâ + /i^^ -f /i^a == 0 trong UarìUpD Uy, a, /?, 7 G / . Hày tìm càc hàm h^ G TlA{Ua,A) sao cho
hp - ha = hap trong t/^ H t//3, a,P G I
ị day 7Z>i(C4, .4) là t a p càc hàm chinh quy (theo x) trong Ua\ giài tich t h u c (theo y) trong Uà -
Vi Uà = Ui^^ X Ui^^ nén f/^ H [/^ = (Ì7^^^ n [/^^^) x (t/^^^ n /7^^^).
Liru y ràng, co su khàc nhau co bàn giùa hai bài tồn nàỵ U Bài tồn
I, càc h à m h^p dà cho giài tich thuc trén tồn ^2- Trong khi dị ị Bài tồn II, hap co tinh chat này trong {Uà r\Up)cfl2. Ngồi ra, hàm h^ càn tìm
trong t r u ị n g h g p thù- n h à t càn giài tich t h u c trong ^ 2 ! nhung t r u ị n g hgp
(2)
t h ù hai ha giài tich thu-c trong Uà •
T r u ĩ c hét, dĩi vĩi Bài tồn I, t a co dinh ly sau
D i n h ly 3 . 8 . Ton tai càc hàm ha G TlA{UaiA) sao cho hp — ha — hap trong VâVp.
Chùrng m i n h . Già su {cpj} là p h à n hoach don vi tuong ùng vĩi phù {Uà}.,
nghia là (^j- G G^(C7a,,R).
Vĩi mịi (3 co dinh, xét hàm
j ' I O trong Vp\Vậ
Do hâp vk (pj thuĩc lĩp G ^ nén gp G ^^{Up.A). Vi hâp giài tich t h u c trong fl2 nén p^ cùng là hàm giài tich t h u c trong 02- Ta co
96- 9a=Yl ^*oc,0 - Yl ^ ^ i ^ = X ^ <Pjha,p - Y^ 0jhâa
3 J 3 3
= 2^ (Pj{hajl3 - / l a , a ) = ^ (pjhaP = h^B t r o n g \ 4 fi Vp. 3 3
TÙ dị Dx{gp~ga) = D^hap = 0 do hap G 7^^(Va n l / ^ , ^ ) hay D^^^ = Dx9p-
Dièu dị chù-ng tị, {Dxga} xàc dinh mot hàm g{x,y) G G ^ ( f ì i , ^ ) . Rị ràng, g{x^y) là giài tich thu-c trong Q2 vi ^Q giài tich t h u c trong ^2 và tàc dịng cùa tồn t ù Cauchy - Riemann Dx khịng ành huĩng dén tinh
chat nàỵ
Xét he p h u o n g trình
Dxh - -g. (3.73) Theo Dinh ly 3.7, he (3.73) luịn co nghiem h{x,y) G G ^ ( f ì i , ^ ) và
h{x,y) giài tich t h u c trong ^2-
D a t
ha = ga-^h trong Va- (3.74) Ta co Dxha = Dxgc + Dxh ^ g-g^Q trong Va-
T ù (3.74), suy ra
hp-hâ {gp + /i) - {ga '^h)=gp-'ga = hap trong Va fi Vp.
T h u c té, ga, h dèu là càc h à m giài tich t h u c trong f^2, nén ha cùng là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hàm giài tich t h u c trong f^2- Dinh ly d u g c chùng minh. Tiép theo, t a giài Bài tồn IL
D i n h ly 3.9. Ton tgi càc hàm ha G nA{Ua,A) sao cho
hp- ha = hap trong UaDUp.
Chùrng minh. Xét {<l>^} là phan hoach don vi tuong ùng vĩi phù {uL'^}
cùa fìị Dinh nghla hàm
gp = Th:,. vĩi/.* = / ^^-^-^-^ ^^^^S ^-^^^^ 3 ' '' \0 trong Up\Ua,,
và nhan dugc gp G C^{U^^'\A); gp giài tich thuc trong U^'\ Hon nùa 90- 9cc = hap trong Uà nUp.
Vi Dx{gp-ga) = Dxhap - 0 do hap G nA{Ua D Up.A) nén {D^^a} xàc
dinh mot hàm ^(x,y) G G^(f)i,>l) và giài tich thuc trong ^2-
Xét he phuong trình Dxh = -g.
Theo Dinh ly 3.7, he trén luịn co nghiem h G C^iQịA) vk h giài tich thuc trong ^2-
Dat ha = gâ h trong Uà- Ta co Dxha = 0 trong ui^^ vk
hp - ha = hap trong UaCìUp.
Do y^ giài tich thuc trong UÌ^\ h giài tich thuc trong Q2, i7a ^ C f22 nén ha giài tich thuc trong U^\
Dinh ly dugc chùng minh. 3.2.4. A p d u n g
A p d u n g 3.1. Cho ^ i , ^2, {C/a} và {14} dugc dinh nghla nhu trong Bài tồn L
Ky hiéu TZA{^I X f22,-4) là tap tàt cà càc hàm chinh quy trong Qi, giài tich thuc trong ^2 và TZA{^I X ^2,-4) là tap tàt cà càc hàm xàc dinh trong
Qi X ^2^ giài tich thuc trong ^2 co tinh chat sau
1. / chinh quy trong fìi, trù tap Py vĩi mĩi y G ^2 co dinh {Py dugc
coi là tàp ky di cùa / )
2. / khịng thè thàc trien thành mot hàm chinh quy vào bàt cu diém nào
cùa tap Pỵ
Trong mịi Va = Uà x ^2, cho hàm fa G 'R'A{Va,A) sao cho