/ a['^ Ad) a
df 5/0 dfi 8f: dh
2.2.1. Dinh ly Runge
Dinh nghia 2.3. Hàm / : fi —> H dugc ggi là chinh quy trong fii, dièu hịa
trong fi2 néu / thịa man he
dfiq,t) _^
dq trong fi
AJ(g,0 = 0
vĩi At là tồn tú Laplacẹ
Ky hiéu tap tàt cà càc hàm chinh quy trong H, dièu hịa trong R", là 7^H(HxR^,IHI).
Ta co dinh ly kiéu Runge sau day
Dinh ly 2.10. Néu hàm f chinh quy trong fli, dièu hịa trong 0,2 thì f duac
Chùrng m i n h . Vi / chinh quy trong fii vĩi moi t co dinh thuịc fi2 nén theo
cĩng t h ù c tich phàn Cauchy-Fueter doi vĩi hàm chinh quy ([43]), khi g € fii và i G fi2. t a co
f{q,t) = u
27r^ j \u — q\ Duf{u,t). (2.25)
Thay D^ = dxo — eidxi -f 62^x2 — eadxs vĩi
dxQ = dxi A dx2 A dx3. dxi = dxQ A dx2 A dx3, dx2 = dxQ A dxi A dx3. dx3 = dxo A dxi A dx2^ CQ làn l u g t là 1, i, j , k, a = 0 , 1 , 2 , 3 , t a dugc
fiq.t) 1 u
27r2 j \u Y,{-^T^c.f{u^)dXa
Q = 0
(2.26)
Vi càc tĩng Riemann hĩi t u ve tich phàn ben phài cùa (2,26) nén càc
tĩng dị co the xàp xi / ( g , t) trén K vĩi do chinh xàc tùy y mién là chgn phàn
hoach cùa F = 9fii phù hgp.
Nĩi càch khàc, vĩi mĩi ^ > 0 nhị tùy y cho truĩc, tĩn tai phàn hoach {r^^^ : £ = 1 , . . . ,p} cùa F, co dị do tuong ùng AF^^^ . . . , AF^^^ sao cho
i=l 1 ^ ^' Q = 0 Bàt f^{t) - A f E (-l)"ea/(^.^,OÌAFf^), ta co e K^2 (2.27) 27r2 a=0 P — - ue-q e x < 2 (2.28)
Vĩi mĩi Ui G 9fii co dinh, h à m U£ ue-q\
chinh quy trong fii ([43]) nén
theo dinh ly Runge doi vĩi h à m chinh quy ([43]), ton tai hàm P^(g) G TZ[ÌI, H)
sao cho
Ui-q
Ue - Pe{q) <
K. 2^+2 /^(t) (2.29)
K2
ĩ day 7^(H, H) là t a p t à t cà càc h à m chinh quy trong H.
Tuong t u , vĩi moi Ì co dinh, hàm feit) dièu hịa trong fi2, nghia là f,{t) = f^'\t) + if['\t)^jf^'\t) + fc/f (t), trong dị càc hàm fL'\t) nhan
Àp dung dinh ly Runge doi vĩi hàm dièu hịa ([32]), ton tai hàm Qa €
^(]R",M) sao cho
' W m _ n W
/rW-Qk^^WIU- < 7 4 2^+2||p^(,)||^^ (2.30)
vĩi Q = 0,1,2, 3 và i7(]R", M) là t a p t à t cà càc hàm nhàn già tri thuc, dièu hịa trong M".
Ky hiéu Qe{t) = Q^^'^t) + iQ['\t) + jQÌ'\t) + kQÌ'\t).
SU dung (2.30), t a nhan d u g c Két hgp (2.29) và (2.31) suy ra < U£-q \uz - g|^ Uĩq fe{t) - Pi{q)Qi{t) K P^q) ^ \\Mt)\\^^ + \\Pe{q)\\j,Jh{t)-Qdt)\\K. \Ui-qr < \ :r-T7 = . -, VOI m o i l = 1 , . . . , p . 2^+2 ' 2^+2 2^+-
Dat ỉ(g,0 = E ^K^)QKO- Vi P^g) G 7^(H,H), Q,(t) G i/(R^ nen nen
5ỉ(g, i) ^ 8Pt{q)Q,{t) _ ^ g P ^ g )
= E dq = E
P
dq Qi{t) = 0,
AtR{q, t) = J2^^ {Pe{q)Qe{t)) = E Pdq) (At QK^)) = 0-
£=1 £=1 Do vay, R{q,t) E TZHÌB. X M ^ , H ) . H o n n ù a < E Ue-q K ^ " F ^ - ^ l fe{t) - Pe{q)Qi{t) K < E ^ = 1 < - 2^+1 2 (2.32)
T u (2.28) và(2.32), t a c ĩ
\\fiq,t)-RiqA K <
P — —
Ue-q
e=i ^ ^ ^' K
C h u n g tị, vĩi e > 0 cho t r u ĩ c , tĩn tai hàm ỉ(g, t) G 7^i/(H x M'', H) sao
cho
< ẹ (2.33)
||/(g,t)-ỉ(g,t)„^ D i n h ly dugc chùng minh. D i n h ly dugc chùng minh.
N h a n x é t 2.7. Dinh ly 2.10 vàn dùng cho hàm chinh quy nhan già tri trong
dai so Clifford ma t a sé nghién cùu ĩ chuong saụ Cu the là
Cho A là dai so Clifford t h u c 2 ^ chièụ Ky hiéu TZHÌ^"^^'^ X R^'.A) là t a p t à t cà càc hàm chinh quy trong M"^+^ và dièu hịa trong R^.
Già su fii C R^"*"-^ là t a p mĩ, co bién tron và fi2 C R" là tap mĩ,
K = Ki X K2 là t a p compact cùa fi = fii x fi2 trong dị K^ là tap compact cùa fii sao cho fij \ Ki khịng co thành phàn compact tuong doi trong fi^,
z = 1, 2. Khi dị t a co
D i n h l y 2 . 1 1 . Néu f : Q —^ A là hàm chinh quy trong fii, dièu hịa trong
Q2 thì f dugc xdp xi dèu trén K bịi càc hàm trong TIH{W^^'^ X R " , ^ ) .