8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
2.3.2.Triển khai cỏc phương phỏp dạy học nhằm tổ chức hoạt động nhận thức
thức của học sinh khi dạy học định lý
Cú thể tiến hành cỏc phương phỏp dạy học theo quan điểm phỏt hiện nhằm tổ chức cỏc hoạt động nhận thức của học sinh khi dạy học cỏc định lý toỏn học như dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề; dạy học kiến tạo; dạy học hợp tỏc theo nhúm; dạy học tỡnh huống.
Vớ dụ: Hỡnh thành định lý: Nếu 3 mặt phẳng phõn biệt đụi một cắt nhau theo ba giao tuyến phõn biệt thỡ ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đụi một song song với nhau.
Hoạt động 1:
Cho hỡnh hộp ABCDA’B’C’D’ ;
a) Xỏc định vị trớ tương đối cỏc giao tuyến đụi một (nếu cú) của 3 mặt phẳng (ABCD), (A’B’C’D’), (ADC’B’)?
b) ba mặt phẳng (ABCD), (A’B’BA); (A’B’CD) đụi một cắt nhau theo 3 giao tuyến. Xỏc định vị trớ tương đối 3 giao tuyến đú?
c) Ba mặt phẳng (ABCD), (A’B’BA); (ADD’A’) đụi một cắt nhau theo 3 giao tuyến . Xỏc định vị trớ tương đối 3 giao tuyến đú?
Hoạt động 2:
Cho 3 mặt phẳng phõn biệt (P); (Q); (R).Nếu (P) (Q)=a; (P) (R)=b∩ ∩ . Xỏc định giao tuyến của (Q); (R) (nếu cú). Xột vị trớ tương đối của cỏc giao tuyến đú trong
trường hợp 1: a//b trường hợp 2: a b I∩ =
Sau khi làm 2 bài tập trờn cho học sinh rỳt ra nhận xột;
GV nờu tờn định lý khẳng định nội dung định lý Hoạt động củng cố định lý B C D A S E F H G
1.Cho hỡnh chúp S.ABCD. Hai điểm E, F lần lượt thuộc hai cạnh AB, AD sao cho EF//BD; điểm G thuộc cạnh SD
(khụng trựng S, D).
Xỏc định giao tuyến (SAD) và (SBC)? Xỏc định giao tuyến (EFG) với (SBD)? Xỏc định giao tuyến (SAB) với (SCD)?
2. Trong mặt phẳng (P), cho ∆ABC, A∉( )P . Gọi E,F,G lần lượt là 3 điểm
trờn 3 cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IC, HF đồng quy?
Thụng qua việc dạy học định lý trờn học sinh đó được hoạt động tỡm tũi phỏt hiện ra tri thức mới trờn cơ sở kiến thức cũ một cỏch tự nhiờn.
Vớdụ 2: Để xõy dựng định lý Thalốs trong khụng gian trờn cơ sở định lý Thalốs trong hỡnh học phẳng đó học ở cấp 2 ta tiến hành như sau:
Nờu định lý Thalốs trong hỡnh học phẳng?
Nờu định lý về giao tuyến của mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước và mặt phẳng cho trước đú?
Áp dụng làm bài tập sau:
Cho tứ diện ABCD. Qua điểm L trờn cạnh AB dựng mặt phẳng (P) song song với BC và AD cắt AC và DC lần lượt tại M và N.
a. Chứng minh: AL LB AB
DN = NC =CD ? b. Gọi (Q), (R) lần lượt là cỏc mặt phẳng đi qua BC và AD song song với (P).
Chứng minh rằng: ba mặt phẳng (P), (Q), (R) định ra trờn 2 đường thẳng AB và CD cỏc đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ?
Ở cõu b. Yờu cầu HS phải nhận biết được giao điểm của đường thẳng AB với
(R) (Q) (P) C D B A L M N
(P), (Q), (R) chớnh là L, B, A; giao điểm của đường thẳng CD với (P), (Q), (R) chớnh là N, C, D. Xỏc định đẳng thức cần chứng minh. Từ đú vận dụng cõu a. Suy ra kết quả cần chứng minh.
Từ kết quả cõu b. Yờu cầu học sinh nhận xột trong trường hợp tổng quỏt? GV nờu tờn định lý và chớnh xỏc húa định lý.
Vớ dụ : vận dụng quan điểm hoạt động vào việc dạy học định lý theo con đường quy nạp
Dạy học định lý ‘‘Nếu hai mặt phẳng phõn biệt ( ),( )α β cú một điểm chung thỡ chỳng cú một đường thẳng chung duy nhất đi qua tất cả cỏc điểm chung ấy’’
Giỏo viờn đặt vấn đề: Giả sử hai mặt phẳng phõn biệt ( ),( )α β cú một điểm chung A, hóy xem xột tập hợp cỏc điểm chung của hai mặt phẳng đú. Như vậy, việc đặt vấn đề này thực ra ta đó gợi động cơ mở đầu xuất phỏt từ nội bộ toỏn học, bằng cỏch yờu cầu học sinh khỏi quỏt húa tớnh chất thừa nhận: ‘‘Nếu hai mặt phẳng phõn biệt cú một điểm chung thỡ chỳng cũn cú một điểm chung khỏc nữa’’.
Cho HS quan sỏt hai bức tường cạnh nhau của phũng học?
Như vậy GV đó kết hợp gợi động cơ mở đầu xuất phỏt từ nội bộ toỏn học và từ thực tế nhằm giỳp học sinh tri giỏc vấn đề dễ dàng hơn.
(Cõu trả lời cần cú là: Chỳng giao nhau theo đường thẳng).
2. Hóy nờu dự đoỏn kết quả vấn đề đặt ra ban đầu, bằng cỏc tớnh chất vừa học hóy chứng minh nú?
Gợi ý này thực chất là dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri
thức phương phỏp như phương tiện của hoạt động. Tri thức phương phỏp ở đõy
là : Dự đoỏn kết quả bài toỏn rồi chứng minh dự đoỏn đú.
* Đến đõy học sinh cú thể dự đoỏn được mệnh đề: hai mặt phẳng phõn biệt ( ),( )α β cú một điểm chung A thỡ chỳng giao nhau theo một đường thẳng ∆ đi qua điểm chung ấy, song học sinh cú thể chưa chứng minh được nhận xột ấy; Để
dễ dàng cho việc chứng minh hơn giỏo viờn yờu cầu học sinh phỏt biểu mệnh đề đú bằng ký hiệu toỏn học.
(Cõu trả lời mong đợi là: ( ) ( ),α ≠ β A∈( ) ( )α ∩ β ⇒( ) ( )α ∩ β = ∆). (Phỏt hiện
hoạt động ngụn ngữ tương thớch với hoạt động chứng minh mệnh đề).
Sau đú giỏo viờn gợi động cơ trung gian hướng đớch, bằng cỏch đặt ra cỏc cõu hỏi sau:
1. Từ tớnh chất nào cho ta dự đoỏn được ∆?
(Cõu trả lời mong đợi là: Từ tớnh chất 5 cho biết ( ),( )α β cú hai điểm chung
phõn biệt A, B. Dự đoỏn ∆ đi qua A và B, tức ∆ =AB).
2. Từ cỏc tớnh chất thừa nhận vừa học, hóy chứng minh AB⊂( ) ( )α ∩ β ?
(Cõu trả lời mong đợi là: Theo tớnh chất 3 thỡ đường thẳng
( ), ( ) ( ) ( )
AB⊂ α AB⊂ β ⇒ AB⊂ α ∩ β ).
A B
3. Tồn tại hay khụng một điểm là điểm chung của ( )α và ( )β mà điểm đú nằm ngoài đường thẳng AB?
(Cõu trả lời mong đợi là: Giả sử ∃ ∈C ( ) ( )α ∩ β mà C AB∉ suy ra ba điểm A, B, C khụng thẳng hàng. Từ đú cú A B C, , ∈( ) ( )α ∩ β . Hay tồn tai hai mặt phẳng phõn biệt ( )α và ( )β đi qua ba điểm khụng thẳng hàng A, B, C . Mõu thuẫn với tớnh chất 2: cú một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm khụng thẳng hàng. Vậy, khụng tồn tại điểm chung nào của ( )α và ( )β mà điểm đú nằm ngoài đường thẳng AB).
Học sinh tiến hành cỏc hoạt động trờn đõy cũng đó giỳp họ thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thớch với nội dung và mục tiờu dạy học như chứng minh hai tập hợp bằng nhau, chứng minh bằng
phương phỏp phản chứng.
Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương phỏp như phương tiện và kết quả của hoạt động, giỏo viờn cú thể đặt cõu hỏi nờu một vài
ứng dụng của định lý này? (Cõu trả lời mong đợi:
- Xỏc định giao tuyến của hai mặt phẳng phõn biệt ta sẽ đi tỡm hai điểm chung phõn biệt A, B của hai mặt phẳng đú. Khi đú đường thẳng AB là giao tuyến cần tỡm.
- Cỏc điểm chung của hai mặt phẳng phõn biệt thẳng hàng. Từ đú để chứng minh một tập hợp điểm thẳng hàng ta chứng tỏ chỳng thuộc hai mặt phẳng phõn biệt).
Từ đầu cú thể học sinh khụng hiểu tại sao lại học nội dung này, giỏo viờn cú thể gợi động cơ kết thỳc nhấn mạnh hiệu quả của nội dung đú, bằng cỏch kết luận: Như vậy, mệnh đề trờn cú thể được xem là một định lý cú nhiều ứng dụng quan trọng trong giải bài tập toỏn.
Sau đú giỏo viờn cho học sinh thực hiện hoạt động 4, 5; cỏc vớ dụ 1, 2, 3 (SGK) để học sinh thực hiện và tập luyện một hoạt động thành phần của hoạt
động Toỏn học phức hợp là hoạt động chứng minh tập hợp điểm thẳng hàng
bằng hỡnh học khụng gian, và hoạt động thể hiện phương phỏp xỏc định giao tuyến của hai mặt phẳng.
Sử dụng phần mềm Cabri cú thể hỗ trợ ta tỡm ra những mối liờn hệ, suy đoỏn khi chứng minh định lớ nhờ tớnh động của nú. chỳng ta cú thể sử dụng cỏc cụng cụ, cỏc mụ hỡnh được thiết kế sẵn của phần mềm để cho học sinh hoạt động nhận dạng và thể hiện định lớ qua đú thấy được ứng dụng của định lớ vừa được chứng minh. Hoặc khi làm việc với một định lớ chỳng ta quan tõm xem xột
định lớ trong mối liờn hệ giữa cỏi chung và cỏi riờng để từ định lớ đú mở rộng cho trường hợp tổng quỏt hơn hay ta đặc biệt húa một số giả thiết của bài toỏn để thấy được tớnh chất riờng của một số đối tượng đặc biệt.
Vớ dụ: “cho một đường thẳng a khụng vuụng gúc vúi mp(P) và đường thẳng b nằm trong mp (P). khi đú điều kiện cần và đủ để b vuụng gúc với a là b vuụng gúc với hỡnh chiếu a’ của a trờn (P)’’.
Xem xột bài toỏn: cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’ a. Tỡm hỡnh chiếu của A’C lờn mp (ABCD)
b. Cú nhận xột gỡ về mối quan hệ giữa BD với hỡnh chiếu của A’C lờn mp(ABCD)?
c. Phỏt biểu dự đoỏn gúc giữa A’C và BD?
Bước 1: GV sử dụng phần mềm cabri 3D tạo mụ hỡnh ảo hỡnh lập phương. Sau khi HS tỡm được hỡnh chiếu của A’C lờn mặt phẳng (ABCD) thỡ dễ dàng làm được cõu b. Gúc giữa A’C và BD là 900. Vấn đề cũn lại là dự đoỏn gúc giữa A’C và BD, học sinh sẽ gặp khú khăn. Để gợi mở dự đoỏn GV dựng đường thẳng song song BD tại C xoay hỡnh theo hướng HS dễ nhận dạng gúc.
HS cần phải dự đoỏn gúc giữa A’C và BD bằng 900.
Tất yếu bằng việc cảm nhận thỡ học sinh chưa chắc chắn lắm. Giỏo viờn sử dụng Cabri để vẽ hỡnh và thực hiện cỏc phộp đo gúc bằng cụng cụ đo gúc của phần mềm. Cho HS quan sỏt bằng hỡnh ảnh trực quan chứng thực. Học sinh nhận thấy gúc giữa cỏc cặp cạnh AC và BD, BD và A’C bằng 900. Khi đú học sinh tin tưởng vào dự đoỏn của mỡnh là BD vuụng gúc A’C.
Yờu cầu HS giải bài toỏn tương tự.
Cho hỡnh chúp SABCD,đỏy là hỡnh thoi, SA vuụng gúc với đỏy ABCD. a. Tỡm hỡnh chiếu của SC lờn mp (ABCD)
b. Cú nhận xột gỡ về mối quan hệ giữa BD với hỡnh chiếu của SC lờn mp(ABCD)?
Cho HS giải xong yờu cầu rỳt ra nhận xột chung cho trường hợp tổng quỏt.
Bước 2: Chứng minh dự đoỏn bài toỏn tổng quỏt." đường thẳng a khụng vuụng gúc với mặt phẳng (P) cú một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). khi đú b vuụng gúc với a khi và chỉ khi b vuụng gúc với hỡnh chiếu của a trờn (P).
Giỏo viờn hướng dẫn học sinh vẽ hỡnh xỏc định hỡnh chiếu của a lờn mp (P) . Hướng dẫn HS xột mối quan hệ a, a', b trong trường hợp a thuộc mặt phẳng(P), a khụng thuộc mặt phẳng (P).
Với a thuộc mặt phẳng (P)
Hiển nhiờn a trựng a’ nờn b vuụng gúc a'(a) suy ra b vuụng gúc a(a’). Trường hợp a khụng thuộc mp(P).
Hướng dẫn học sinh tỡm ảnh của a lờn mp(P) (với mấu chốt là tạo phương chiếu AM), AM vuụng gúc với mp(P), tức là mp(P) và mp(a,a’) vuụng gúc với
nhau. Từ đú xột mối quan hệ a, a’, b. HS nhận thấy được nếu b vuụng gúc với a thỡ b vuụng gúc với mặt phẳng (a,a') do đú b vuụng gúc với a. Ngược lại, nếu b vuụng gúc với a' thỡ b vuụng gúc với mặt phẳng (a,a') do dú b vuụng gúc với a.
Bước 3: Phỏt biểu định lớ.
Với sự hỗ trợ của phần mềm Cabri. Giỏo viờn cho điểm A, B chuyển động tự do trong khụng gian. Điểm M, N lần lượt là hỡnh chiếu của A, B lờn mặt phẳng (P). Trong (P) dựng đường thẳng b luụn vuụng gúc với MN. Quan sỏt sự thay đổi của cỏc đường thẳng a, b, a'. Kết quả cho thấy đường thẳng b luụn vuụng gúc với AB.
GV dẫn dắt HS phỏt biểu định lý.
Vớ dụ: Dạy học định lý “Gọi S là diện tớch của đa giỏc H trong mp (P) và S’ là diện tớch hỡnh chiếu H’ của H trờn mp (P’) thỡ S’=S. cosϕ. Trong đú ϕ là
gúc giữa hai mp (P) và (P’).”
Định lý này thoạt nhỡn thỡ nú mang ý nghĩa cụng cụ tớnh toỏn nhiều hơn, tuy nhiờn cú rất nhiều bài toỏn cú thể ứng dụng định lý này rất hiệu quả (nhất là cỏc bài toỏn tớnh gúc giữa hai mặt phẳng để học sinh nhận thấy được cỏc ứng dụng như vậy. Khi dạy định lý trờn ta khụng đưa ra mụ hỡnh của định lý một cỏch đơn độc mà sử dụng một mụ hỡnh của một bài toỏn cú sử dụng định lý để giải. chẳng hạn
Bước 1: Tạo tỡnh huống gợi vấn đề thụng qua bài toỏn .
Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc (ABC) gọi ϕ là gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). Chứng minh rằng SABC = SSBC . cosϕ.
Bước 2: HS khảo sỏt, phỏt hiện định lý thụng qua giải bài toỏn.
Để giải được bài toỏn trước hết HS phải nắm được cỏc bước xỏc định được gúc giữa hai mặt phẳng.
Giả thiết của bài toỏn đó cho SA vuụng với (ABC) nờn SA vuụng với BC. Từ đú dựng SH vuụng gúc với BC tại H thỡ (SAH) vuụng gúc với BC. Suy ra thờm AH vuụng gúc với BC.
+ Gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là ϕ=SHAã . Học sinh tớnh tỷ số 1 . 2 1 . 2 ABC SBC SH BC S SH
S = AH BC = AH = Cos ϕ, và thấy được
SBC ABC
S S
= Cos ϕ.
Giỏo viờn sử dụng Cabri 3D để dựng hỡnh sử dụng cụng cụ đo diện tớch để đo diện tớch ΔABC . Đo diện tớch ΔSBC, dựng cụng cụ đo gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và mp (SBC) kết quả cho thấy: Cos ϕ =
SBC ABC
S S
ta cú thể thay đổi vị trớ của điểm A, B, C : Cho học sinh quan sỏt thỡ thấy Cos ϕ thay đổi, diện tớch tam giỏc ∆ABC, ∆SBC thay đổi luụn thoả món Cos ϕ =
SBC ABC
S S
. Khi đú học sinh
tin tưởng vào kết quả của mỡnh là
SBC ABC
S S
= Cos ϕ. GV đặt cõu hỏi hướng đến định lý:
- Nếu đỏy hỡnh chúp là một đa giỏc bất kỳ thỡ kết luận trờn cú thay đổi khụng?
- Nếu chiếu một đa giỏc trong khụng gian xuống một mặt phẳng thỡ mối quan hệ về diện tớch của hai đa giỏc đú thế nào?
Bước 3: Phỏt biểu định lý.
Nhận xột: ở bước2 cú sự hỗ trợ của phần mềm Cabri 3D đó giỳp học sinh phỏt hiện ra định lý và tỡm cỏch chứng minh định lý. Tuy nhiờn việc ỏp dụng phần mềm cú những ưu điểm và nhược điểm. Nếu ta sử dụng phần mềm một cỏch hợp lý, đỳng lỳc thỡ sẽ làm tăng hiệu quả của bài giảng giỳp học sinh phỏt triển tư duy biết nhỡn nhận bài toỏn dưới nhiều gúc độ nhất là dưới gúc độ của sự vận động. Cũn nếu ta lạm dụng những tớnh năng của phần mềm làm mất đi trớ sỏng tạo, tạo ra mụi trường lười nhỏc cho học sinh. Để trỏnh tỡnh trạng đú ta khụng được phộp thừa nhận ngay kết quả từ trực quan mà phải cú bước chứng minh định lý trờn cơ sở kiến thức đó học.
Vớ dụ: dạy học định lý " Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuụng gúc với một mặt phẳng khỏc thỡ hai mặt phẳng đú vuụng gúc với nhau"
Bước 1: Xem xột bài toỏn.
Cho hỡnh tứ diện ABCD cú AB, AC, AD đụi một vuụng gúc. Hóy chỉ ra cỏc đường thẳng lần lượt vuụng gúc với cỏc mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) Bước 2: Học sinh vẽ hỡnh và dự đoỏn gúc giữa cỏc đường thẳng AD, AB, AC với cỏc mặt phẳng (ABC) , (ACD), (ABD). Giỏo viờn sử dụng Cabri giỳp học sinh xỏc định gúc giữa cỏc đường thẳng AD, AB, AC với cỏc mp (ABC), (ACD) (ABD) bởi thuộc tớnh đo gúc. Kết quả cho thấy AD vuụng gúc với (ABC); AB vuụng gúc (ADC), AC vuụng gúc mp(ADB).
Giỏo viờn cú thể đo thờm một số gúc giữa cỏc cạnh và mặt phẳng khỏc. - Yờu cầu học sinh kiểm tra dự đoỏn đú bằng lập luận logic, thụng qua sự hướng dẫn của GV. Cụ thể.
Đường thẳng AB thuộc mp (ABC). AB vuụng gúc AD và AB vuụng gúc AC. Suy ra AB vuụng gúc (ADC).
Đường thẳng AD thuộc mp (ADC). AD vuụng gúc AB và AD vuụng gúc AC . Suy ra AD vuụng gúc với mp (ABC).