HỌC PHỔ THƠNG
66 Hình lập phương
Hình lập phương Hình hộp chữ nhật Hình hộp đứng Hình lăng trụ Hình lăng trụ xiên Hình hộp xiên
cho trước cĩ một và chỉ một mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α)”.
Đặc biệt là sự tương ứng giữa tam giác trong hình học phẳng và tứ diện trong hình học khơng gian. Vì thế cĩ sự tương ứng giữa các yếu tố của tam giác với các yếu tố của tứ diện: trọng tâm của tam giác với trọng tâm của tứ diện, trung điểm của cạnh tam giác – trọng tậm của mặt tứ diện. Định lí trong hình học phẳng: “Trong một tam giác ba đường trung tuyến đồng qui”; trong khơng gian ta cĩ: “Trong một tứ diện bốn đường trọng tuyến đồng qui”. Cĩ sự tương ứng giữa hình bình hành và hình hộp, giữa đường trịn và mặt cầu... Vì thế chúng ta cĩ thể xét tương tự bài tốn khơng gian với bài tốn phẳng hoặc mở rộng từ bài tốn phẳng sang bài tốn khơng gian.
3.2.2.2.e. Dạy cho HS nhìn đối tượng trong mối quan hệ với đối tượng khác.
Ví dụ: Dạy định lí: “Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì cĩ duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b”
GV: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’, xét hình tứ diện ACB’D’. Mỗi cạnh của hình tứ diện là đường chéo của một mặt của hình hộp. Hãy nhận xét vị trí của các đường thẳng B’D’, AC với mp(A’B’C’D’)? đường thẳng B’D’ nằm trong mp(A’B’C’D’), AC song song với mp(A’B’C’D’)?
GV: Hãy nhận xét vị trí của các đường thẳng AB’, CD’ với mp(ABB’A’) ? đường thẳng AB’ nằm trong mp(ABB’A’), CD’ song song với mp (ABB’A”).
GV: Em cĩ nhân xét gì về các kết quả trên? Nếu cho hai đường thẳng chéo nhau thì cĩ điều gì xảy ra? – Cĩ mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
GV: bổ sung chỉ cĩ duy nhất một mặt phẳng như vậy.
Sau khi học sinh đã chứng minh xong định lí, giáo viên giới thiệu: Hình tứ diện cĩ các cạnh là các đường chéo của hình hộp gọi là hình tứ diện nội tiếp hình hộp.
GV: Hãy tìm tính chất: hình tứ diện nội tiếp hình lập phương, hình tứ diện nội tiếp hình chữ nhật, hình tứ diện nội tiếp hình hộp cĩ các mặt đều là hình thoi? – Tứ diện nội tiếp hình lập phương là tứ diện đều, tứ diện nội tiếp hình chữ nhật là tứ diện gần đều, tứ diện nội tiếp hình hộp cĩ các mặt đều là hình thoi là tứ diện trực tâm.
GV: Ngược lại, cho một tứ diện, hãy vẽ hình hộp ngoại tiếp? – Dựng mặt phẳng chứa cạnh này và song song với cạnh đối, ta được ba cặp mặt phẳng mà trong mỗi cặp mặt phẳng ấy hai mặt phẳng song song với nhau. Sáu mặt phẳng cắt nhau tạo thành hình hộp.
3.2.2.2.f. Chú trọng dạy cho học sinh những hướng áp dụng của từng kiến thức.
Việc chú trọng dạy cho học sinh những hướng áp dụng của từng kiến thức cĩ tác dụng: Thứ nhất, gợi động cơ kết thúc cho dạy học kiến thức đĩ, làm cho học sinh hiểu ý nghĩa của kiến thức mình học; Thứ hai, hình thành ở học sinh thĩi quen thiết lập mối liên hệ giữa các kiến thức. Từ đĩ khi giải quyết vấn đề, các em biết rút ra những kiến thức cĩ thể dùng được.
Dạy phép chiếu song song
Dạy phép chiếu song song cần phát hiện các ứng dụng của nĩ trong giải bài tập dựa trên các bất biến.
• Bất biến về thẳng hàng: phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng hoặc trùng nhau.
• Bất biến về tỉ số: phép chiếu song song khơng làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường
thẳng. Bất biến về song song và đồng qui: phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, biến chùm đường thẳng đồng qui thành chùm đường thẳng đồng qui hoặc trùng nhau.
Dựa vào các bất biến của phép chiếu song song, cĩ thể dùng phép chiếu song song để đưa bài tốn khơng gian về bài tốn phẳng trong các trường hợp: chứng minh thẳng hàng, tìm tỉ số, chứng minh song song, chứng minh đồng qui.
Bài tốn1. Cho hình hộp ABCD.A B C D1 1 1 1. Tìm điểm I trên đường chéo B D1 và điểm J trên đường chéo AC sao cho IJ / /BC1. Tính tỉ số
1ID ID IB . Để tính tỉ số 1 ID
IB , dùng phép chiếu song song để đưa bài tốn về bài tốn phẳng, thiết lập các tỉ số trong cùng một phẳng. ( ) ( 1) 1 PCSS ABCD , BC : B B' D D I J a a a Suy ra J AC DB'= ∩ . Và 1 ID JD IB = JB' Xét trong mặt phẳng (ABCD) cĩ JD JA AD 1 AD / /CB' JB' JC CB' 2 ⇒ = = = Vậy 1 ID 1 IB =2.
Bài tốn2. Cho hình lập phương ABCD.A B C D1 1 1 1. Gọi G là trọng tâm tam giác A BD1 . Chứng minh rằng A,G, C1 thẳng hàng.
69 A A D I J B C B ’ C1 D1 A1 B1
Đối với bài tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng cĩ nhiều cách. Sử dụng phép chiếu song song bằng cách chỉ ra một phép chiếu song song mà ba
điểm đĩ cĩ ảnh trùng nhau hoặc hai phép chiếu song song mà ba điểm đĩ cĩ ảnh là ba điểm thẳng hàng.
Cách 1: (Hình a) PCSS A B C D , AC(( 1 1 1 1) 1) và chứng minh rằng ảnh của A,G, C1 là C1.
Cách 2: (Hình b) PCSS A B C D , AA(( 1 1 1 1) 1), chứng minh ảnh của A,G, C1 thẳng hàng. PCSS BCC B , AB(( 1 1) ) và chứng minh ảnh của A,G, C1 thẳng hàng.
3.2.2.3 Biện pháp 3. Sử dụng dạy học phân hĩa theo khả năng sử dụng ngơn ngữ và bổ sung các hoạt động phù hợp cho mỗi nhĩm đối tượng học sinh, tạo cơ hội để học sinh tập luyên việc sử dụng một cách linh hoạt hệ thống ngơn ngữ tốn học diễn đạt tư tưởng, suy nghĩ, ý tưởng và giải pháp của mình.
Để giải một bài tốn hình học trong khơng gian đơi khi rất khĩ hình dung ra cách giả. Các em cảm thấy khĩ khăn khi đứng trước bài tốn khơng gian, khi nhìn vào hình vẽ để nắm hết các tính chất của nĩ để trình bày lời giải, chưa nĩi đến việc phải trình bày hệ thống ngơn ngữ đặc thù của hình học tổng hợp trong khơng gian. Do đĩ việc tập cho học sinh các cách giải
70D1 D1 D I J C1 B1 C A B J1 B’ A1 Hình a Hình b I D G1 I1 C C1 A B G B1 J A1 D 1
khác nhau trong cùng một bài tốn khá là quan trọng. Việc trình bày một bài tốn với nhiều cách giải khác nhau chính là sự sáng tạo khơng ngừng của học sinh trong quá trình giải tốn. Hứng thú tìm lời giải mới kích thích khả năng tư duy sáng tạo của học sinh trên cơ sở của nhu cầu và cũng trong quá trình tìm tịi sáng tạo đĩ, hệ thống ngơn ngữ tốn học được cũng cố và phát huy. Tự bản thân hệ thống ngơn ngữ tốn học đã cĩ nhiều loại hình khác nhau, các loại ngơn ngữ khác nhau trong nĩ làm cho hệ thống ngơn ngữ tốn học khơng ngừng được cũng cố, phát triển và nâng cao. Đơi khi người ta cho rằng hứng thú là nhu cầu. Nhu cầu sinh ra do sự thiếu thốn cái gì đĩ. Cảm giác đĩi kích thích nhu cầu ăn, cảm giác cơ đơn cĩ nghĩa là nhu cầu khơng được thỏa mãn trong sự giao tiếp,... Cảm thấy thiếu hụt sẽ là một yếu tố kích thích học sinh tìm kiếm một sự cân đối mới. Học sinh mong muốn thỏa mãn nhu cầu tri thức của mình. Động cơ là đối tượng mang tính nhu cầu. Bồi dưỡng hứng thú học tập cũng khơng thể tách khỏi gợi động cơ học tập cho các em. Hiện thực hĩa nhu cầu của người học thơng qua gợi động cơ làm cho học sinh thấy kiến thức mình học là cần thiết. Khi dạy học một kiến thức mới, hay giải một bài tốn mới, ta nên để học sinh tạo ra được tình huống thực sự cĩ ý nghĩa đối với họ. Do đĩ thầy giáo cần chú ý gợi động cơ mở đầu, đáp ứng nhu cầu xĩa bỏ một sự hạn chế; hướng tới sự tiện lợi và hợp lí hĩa bài tốn, chính xác hĩa một khái niệm (hay định lý), hướng tới sự hồn chỉnh và hệ thống ngơn ngữ tốn học. Nhu cầu học cĩ thể xuất hiện đối với người học dưới các hình thức như là: một lợi ích cá nhân, một lợi thế quan trọng. Vì vậy, khi dạy học ta cần quan tâm đến khả năng ứng dụng của nĩ; dạy học giải bài tập cần quan tâm đến tri thức phương pháp, xây dựng qui trình giải. Trong quá trình giải bài tốn cứ một dạng bài được làm đi làm lại, chỉ quá chú trong đến một cách giải sẽ tạo tâm thế thụ động cho học sinh. Ta nên khuyến khích học sinh giải nhiều cách, cho dù cách giải đĩ dài dịng,
nhưng đĩ chính là sự sáng tạo của học sinh. Học sinh biết vận dụng các kiến thức mình học được để giải bài tốn và trình bày nĩ theo ngơn ngữ tốn học của mình.
3.2.2.3.a. Đưa một bài tốn khơng gian về một bài tốn phẳng bằng cách tách bộ phận phẳng, hoặc xét bài tốn phẳng tương tự sẽ làm cho các em thấy thú vị vì các em thấy được cĩ thể đưa một vấn đề cĩ vẻ như xa lạ về một vấn đề quen hơn; Cũng đồng thời rèn luyện cho các em năng lực qui lạ về quen, năng lực tách bơ phận phẳng trong khi giải tốn hình học khơng gian. Đơi khi để giải một bài tốn hình học khơng gian, ta lại giải bài tốn phẳng tương ứng. Nhìn một bài tốn trong phẳng thì chắc hẳn dễ hơn trong khơng gian, vì các mối liên hệ giữa các cạnh các gĩc, quan hệ vuơng gĩc,... trong một hình phẳng trực quan hơn, đơn giản hơn.
Ví dụ 1:
Bài tốn 1 . Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và O là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng đường thẳng
OA đi qua trọng tâm G của tam giác BCD.
Sau khi xác định giao điểm của đường thẳng OA với mặt phẳng (BCD) là giao của OA với giao tuyến BN của hai mặt phẳng (AMN) và (BCD).
Việc chứng minh G là trọng tâm của ∆ BCD quy về chứng minh
( )
1GN GB 1 GN GB 1
2
= . Chứng minh hệ thức (1) được tiến hành nhờ tách bộ phận phẳng (ABN) ra ngồi. Từ đĩ dẫn tới giải bài tốn phẳng sau:
Suy ra bài tốn 2 . (Bài tốn phẳng là bộ phận của bài tốn khơng gian) Cho ∆ABN. Gọi M là trung điểm của cạnh AB; O là trung điểm đoạn
MN. Đường thẳng OA cắt BN tại G. Chứng minh rằng GN 1GB 2 = . 73 A C B M K G A B O D M N C G
Giải bài tốn này thuộc về kiến thức lớp 8 THCS. Vẽ MK / /AG. Sử dụng tính chất đường trung bình của ∆ABG và ∆MKN suy ra BK KG GN= = ; và từ đĩ GN 1GB
2
= .
Ví dụ 2:
Bài tốn 3. Cho hình chĩp S.ABC. O là điểm bên trong ∆ABC. Qua O vẽ các đường thẳng song song với SA,SB,SC cắt các mặt phẳng
(SBC , SAC , SAB) ( ) ( ) theo thứ tự tại A ', B',C '. a) Chứng minh rằng OA ' OB' OC '
SA + SB + SC cĩ giá trị khơng đổi khi O di động trong ∆ABC.
b) Xác định O để OA '.OB'.OC' đạt giá trị lớn nhất. Lời giải:
Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AO và BC, BO và AC, CO và AB. Khi đĩ A ' là giao điểm của đường thẳng qua O song song với SA và SM.
B' là giao điểm của đường thẳng qua O song song với SB và SN. C' là giao điểm của đường thẳng qua O song song với SC và SP.
OA ' OM OB' ON OC ' OP , , SA AM SB AN SC AP ⇒ = = = 74 A N K C M B I P O C S A B M P A’ N C’ O