PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z TRỊNH ĐỨC TÀI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Bài Giảng Tóm Tắt) Lưu hành nội bộ Y Đà Lạt 2008 Z Mục lục 1 Phương trình vi phân thường cấp I 2 1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Vài mô hình đơn giản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Các khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân: . . . . . . . . . . . 5 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Phương pháp xấp xỉ Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . 11 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Phương trình với biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Phương trình vi phân thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.5 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.6 Phương trình Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 1.3.7 Phương trình Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1.4 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm . . . . . . . . 23 1.4.1 Tích phân một số phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 23 1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1 Phương trình Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2 Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.3 Tham số hoá tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 MỤC LỤC ii 1.6.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p−biệt tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C−biệt tuyến . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Phương trình vi phân cấp cao 35 2.1 Phương trình vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương 37 2.1.4 Một số phương trình vi phân cấp cao có thể hạ cấp . . . . . . . 39 2.1.5 Tích phân trung gian và tích phân đầu . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao. . . . 43 2.2.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất . . . . . . . . . 44 2.2.3 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 50 2.2.4 Phương pháp biến thiên hằng số tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng . . . . . . . . . . . 53 2.3.1 Nghiệm của phương trình thuần nhất hệ số hằng . . . . . . . . 53 2.3.2 Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: . . . . . 56 3 Hệ phương trình vi phân 60 3.1 Hệ phương trình vi phân cấp I tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.2 Liên hệ giữa hệ phương trình và phương trình vi phân cấp cao. 61 3.1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.4 Các phương pháp giải hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . 63 3.2 Một số định lý cơ bản của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . 66 3.2.1 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2 Thác triển nghiệm và sự tồn tại toàn cục . . . . . . . . . . . . 68 3.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.1 Hệ tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.2 Hệ tuyến tính không thuần nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.1 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.2 Hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5 Sự ổn định nghiệm của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 MỤC LỤC 1 3.5.1 Sơ lược về bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.2 Ổn định hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5.3 Ổn định theo xấp xỉ thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.5.4 Ổn định theo phương pháp Liapunov thứ hai . . . . . . . . . . . 83 4 Phương trình vi phân trong mặt phẳng phức. 86 4.1 Các khái niệm cơ bản. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. . . . . . . . . . 86 4.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.3 Phương trình vi phân phức biến thực . . . . . . . . . . . . . . . 8 7 4.1.4 Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa. . . 88 4.1.5 Điểm kỳ dị của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2 Hàm đặc biệt - Một số phương trình vi phân tuyến tính cấp II. . . . . . 96 4.2.1 Phương trình siêu hình học (hypergeometric) . . . . . . . . . . . 96 4.2.2 Phương trình Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.3 Phương trình Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3 Sơ lược về khai triển tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân. . . . . 98 4.3.1 Sơ lượ c về khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm gần điểm kỳ dị không chính qui. 100 4.3.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3.4 Sơ lượ c về phương pháp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) . . 103 A Biến đổi Laplace và phương trình vi phân. 106 A.1 Biến đổi Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 A.2 Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace. . . . . . . . . . 108 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Chương 1 Phương trình vi phân thường cấp I 1.1 Mở đầu Trong rất nhiều lĩnh vực ứng dụng, chuyển động của một hệ được mô hình hoá bởi các phương trình vi phân, tức là phương tr ình có chứa các đạo hàm của ẩn hàm cần tìm. Chẳng hạn, trong cơ học cổ điển (định luật Newton), trong thiên văn học (sự chuyển động của các hành tinh), trong hoá học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sự phát triển của dân số), trong điện tử Trong hầu hết các lĩnh vực như thế, bài toán chung nhất là mô tả nghiệm của các phương trình này (cả về định tính lẫn về định lượng). 1.1.1 Vài mô hình đơn giản. Sự rơi tự do. Xét một vật có khối lượng m được thả rơi tự do trong khí quyển gần mặt đất. Theo định luật II Newton, chuyển động của vật đó có thể mô tả bởi phương trình F = ma (1.1) trong đó F là hợp lực tác động lên vật và a là gia tốc chuyển động. Hợp lực F có thể giả thiết chỉ bao gồm lực hấp dẫn (tỷ lệ với khối lượng của vật và hướng xuống) và lực cản (tỷ lệ với vận tốc chuyển động và hướng lên trên). Ngoài ra, do gia tốc chuyển động a = dv dt nên (1.1) có thể viết dưới dạng m dv dt = mg − γv (1.2) trong đó g ≈ 9, 8m/s 2 là gia tốc trọng trường, còn γ là hệ số cản. Vậy vận tốc v của vật rơi tự do thỏa mãn phương trình (1.2) với sự xuất hiện của đạo hàm của v. Những phương trình như vậy ta sẽ gọi là phương trình vi phân. Dung dịch hóa học. Giả sử tại thời điểm ban đầu t = t 0 một thùng chứa x 0 kg muối hòa tan trong 1000 lít nước. Ta cho chảy vào thùng một loại nước muối nồng độ 1.1 Mở đầu 3 a (kg/lít) với lưu lượng r (lít/phút) và khấy đều. Đồng thời, cho hỗn hợp đó chảy ra khỏi thùng cũng với tốc độ như trên. Gọi x = x(t) là lượng muối trong thùng tại thời điểm bất kỳ. Rõ ràng tỉ lệ thay đổi lượng muối trong thùng dx dt bằng hiệu của tỉ lệ muối chảy vào ar (kg/phút) trừ đi tỉ lệ muối chảy ra tại thời điểm đang xét rx 1000 (kg/phút). Vậy ta có phương trình vi phân dx dt = ar − rx 1000 (1.3) với dữ kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 1.1.2 Các khái niệm. Phương trình vi phân là phương trình có dạng F (x, y, y  , y  , . . . , y (n) ) = 0 (1.4) trong đó y = y(x) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn. Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến (xuất hiện các đạo hàm riêng) thì phương trình vi phân còn gọi là phương trình đạo hàm riêng. Để phân biệt, người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm là hàm một biến là phương trình vi ph ân thường và là đối tượng chính của giáo trình này. Thông thường ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàm số một biến thực y = y(x) xác định trên khoảng mở I ⊂ R; khi đó hàm F trong đẳng thức trên xác định t rong một tập mở G của R × R n+1 . Trong truờng hợp ẩn hàm cần tìm là vector- hàm (hàm với giá trị vector) y(x) = (y 1 (x), . . . , y m (x)) T ∈ R m , F là một ánh xạ nhận giá trị trong R m và (1.4) được hiểu là hệ phương trình vi phân. Ta nói một phương trình vi phân có cấp n nếu n là cấp lớn nhất của đạo hàm của ẩn xuất hiện trong phương trình. Phương trình vi phân thường cấp I có dạng tổng quát F (x, y, y  ) = 0 (1.5) trong đó F (x, y, z) được giả thiết liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trên miền G ⊂ R 3 . Với một số giả thiết thích hợp (xem định lý hàm ẩn), phương trình vi phân cấp I có thể viết được dưới dạng sau (gọi là dạng giải ra được đối với đạo hàm) y  = f(x, y) (1.6) với f liên tục trong một miền D ⊂ R 2 . Ví dụ : Các phương trình e y + y  2 cos x = 1 (y  ) 2 − 2xy = ln x ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 = 0 1.1 Mở đầu 4 lần lượt là phương trình vi phân thường cấp I, cấp III và phương trình đạo hàm riêng cấp II. Xét phương t rình (1.4), hàm giá trị vector φ : I → R n (với I = (a, b) là khoảng nào đó của R) là nghiệm của phương tr ình (1.4) nếu nó có các đạo hàm liên tục đến cấp n trên I và thoả mãn F (x, φ(x), φ  (x), φ  (x), . . . , φ (n) )(x) = 0, với mọi x ∈ I (1.7) Trong trường hợp phương trình vi phân cấp I, nghiệm là một hàm thực một biến y = φ(x) mà khi thay vào (1.5) hoặc (1.6), ta được một đẳng thức đúng. Ví dụ : Dễ kiểm tra rằng họ hàm (phụ thuộc vào hai tham số tuỳ ý) y = C 1 cos x + C 2 sin x là nghiệm của phương trình vi phân y  + y = 0 1 2 3 4 1 2 3 yy zz X Hình 1.1: Nghiệm của phương trình Volterra-Lotka. Ví dụ : (Săn mồi và mồi) Sự phát triển của hai quần thể sinh vật (chẳng hạn, x = x(t) là số con mèo và y = y(t) là số con chuột) theo thời gian được mô tả bở i (hệ) phương trình Volterra−Lotka sau đây y  = y(α − βx), x  = x(γy − δ) (1.8) với α, β, γ và δ là những hằng số đặc trưng cho sự tăng trưởng của các quần thể. Để tìm nghiệm của phương trình này ta có thể xem y như là hàm theo x, phương trình có thể viết dưới dạng dy dx = y(α − βx) x(γy −δ) hay (γy − δ) y dy = (α −βx) x dx Nghiệm của phương trình này cho bởi γy − δ ln y = α ln x −βx + C trong đó C là hằng số tuỳ ý. Hình 1 .1 mô tả nghiệm của phương trình khi α = β = γ = 1, δ = 2. 1.1 Mở đầu 5 1.1.3 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân: Xét phương trình vi phân (1.6), với f(x, y) liên tục trên miền mở trong R 2 . Tại mỗi điểm M(x, y) thuộc miền này, ta gán cho nó một hướng với hệ số góc là k = dy dx = f(x, y) (1.9) Khi đó ta thu được một trường các hướng xác định bởi (1.9), và dĩ nhiên hướng của tiếp tuyến của đường cong tại mỗi điểm trùng với hướng của trường tại điểm đó. Giải phương trình vi phân dạng (1.6) về mặt hình học là tìm tất cả các đường cong sao cho tại mỗi điểm của nó hướng của tiếp tuyến trùng với hướng của trường. Hình 1.2 cho ta trường hướng của phương trình y  = − y x . –2 –1 0 1 2 y(x) –2 –1 1 2 x Hình 1.2: Trường hướng của phương trình y  = − y x Ngược lại, cho trước họ đường cong ϕ(x, y, C) = 0 (1.10) phụ thuộc vào tham số C sao cho qua mỗi điểm chỉ có duy nhất một đường cong của họ đi qua. Ta sẽ lập phương trình vi phân nhận họ đường cong này làm nghiệm tổng quát như sau. Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo x, ta được ∂ϕ ∂x (x, y, C) + y  ∂ϕ ∂y (x, y, C) = 0 Từ phương trình (1.10), với mỗi (x, y) ta luôn tìm được duy nhất giá trị C = C(x, y). Thay C vào đẳng thức trên ta nhận được ∂ϕ ∂x (x, y, C(x, y)) + y  ∂ϕ ∂y (x, y, C(x, y)) = 0 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 6 và đây là phương trình vi phân cần tìm. Ví dụ : Tìm phương trình vi phân của họ đường cong sau: y = Cx 2 Đạo hàm hai vế theo x ta được y  = 2Cx. Khử C ta thu được phương trình vi phân: y  = 2 y x 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 1.2.1 Bài toán Cauchy Ta nhận xét rằng nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để xác định một nghiệm cụ t hể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện nào đó về nghiệm (tuỳ theo cấp của phương trình vi phân). Chẳng hạn, y = x 3 3 + C là nghiệm (tổng quát) của phương trình y  = x 2 . Dễ thấy y = x 3 3 + 1 là nghiệm (duy nhất) thoả điều kiện y( 0) = 1. Ta xét bài toán sau đây đặt ra đối với phương trình (1.5), gọi là bài toán Cauchy (hay bài toán giá trị ban đầu): Bài toán: Tìm nghiệm y(x) thỏa:  y  = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 (1.11) trong đó (x 0 , y 0 ) ∈ D được gọi là điều kiện ban đầu. Câu hỏi tự nhiên đặt ra là bài toán (1.11) có hay không và có bao nhiêu lời giải. Ta lưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm, và khi có nghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm. Chẳng hạn, phương trình y  = x 2 , y(0) = 0 có duy nhất một nghiệm là y = x 3 /3. Phương trình xy  = y, y(0) = 1 không có nghiệm nào; còn phương trình y  = y 1/3 , y(0) = 0 có ít nhất 2 nghiệm là là y ≡ 0 và y 2 = 8 27 x 3 . Trong mục sau ta sẽ phát biểu và chứng minh một định lý giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp I. 1.2.2 Phương pháp xấp xỉ Picard Ta xét bài toán Cauchy đối với phương trình cấp I dạng giải ra được đối với đạo hàm (1.11), trong đó f xác định và liên tục trên miền mở D ⊂ R 2 . Giả sử y(x) là nghiệm của bài toán (1.11), tích phân hai vế của phương trình trong (1.11) ta được phương trình tích ph ân đối với y(x) là y(x) = y 0 +  x x 0 f(t, y(t))dt (1.12) 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 7 Rõ ràng mỗi nghiệm của (1.11) cũng là nghiệm của (1.12) và ngược lại, mỗi nghiệm của (1.12) đều khả vi liên tục (tức là thuộc lớp C 1 ) trên một khoảng I nào đó và thoả phương trình (1.11). Phép lặp Picard-Lindel¨of. Về mặt toán tử, nghiệm của phương trình tích phân (1.12) chính là lời giải của bài toán điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ (ở đây ta xét không gian các hàm khả vi liên tục trên I) mà lời giải có thể cho bở i phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard-Lindel¨of sau đây. Xét dãy các hàm xác định một cách đệ qui b ởi y 0 (x) = y 0 (hay một hàm nào đó) y k+1 (x) = y 0 +  x x 0 f(t, y k (t))dt, với k ∈ N (1.13) Bổ đề 1.1. Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật D =  (x, y) ∈ R 2 /|x −x 0 | ≤ a, |y − y 0 | ≤ b  Đặt M := max (x,y)∈D |f(x, y)| và h := min  a, b M  . Khi đó với mọi x ∈ I := [x 0 −h, x 0 +h] ta có |y k (x) −y 0 | ≤ b, với mọi k Nói cách khác, trong phé p lặp (1.13) các hàm y k không đi ra khỏi phần hình chữ nhật D, ứng với x ∈ I. Chứng minh: Ta có, với x 0 − h ≤ x ≤ x 0 + h: |y k − y 0 | =      x x 0 f(t, y k−1 (t))dt     ≤  x x 0 |f(t, y k−1 (t))|dt ≤ M |x −x 0 | ≤ Mh ≤ b  Ví dụ : Xét phương trình y  = −y 2 , với y(0) = 1. Nghiệm chính xác của nó là y = 1 x+1 . Vài xấp xỉ đầu tiên trong phép lặp Picard-Lindel¨of là y 0 = 1, y 1 = 1 − x, y 2 = 1 −x + x 2 − x 3 3 , (xem Hình 1.3). Ta nhận thấy các xấp xỉ y k hội tụ nhanh khi x bé, với các giá trị x lớn phép lặp là phân kỳ. 1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Trong phần này ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân, khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. [...]... cho phương trình ex [(2xy + x2 y + y 3 /3)dx + (x2 + y 2)dy] = 0 là phương trình vi phân toàn phần Tích phân phương trình này theo công thức (1.17) ta được nghiệm tổng quát yex (x2 + y 2 /3) = C 1.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I Trong mục này ta xđt lớp các phương trình vi phân mà biểu thức là tuyến tính đối với ẩn và đạo hàm của nó Các phương trình như thế được gọi là phương trình vi phân. .. hữu hạn các phép toán trên các hàm sơ cấp và tích phân của chúng Lưu ý rằng ta không có phương pháp giải tổng quát cho phương trình vi phân, thậm chí với những phương trình vi phân cấp I 1.3.1 Phương trình với biến số phân ly Phương trình vi phân cấp I dạng M(x)dx + N(y)dy = 0 (1.14) được gọi là phương trình với biến số phân ly (hay còn gọi phương trình tách biến) Cách giải: Các hàm M(x), N(y) được... là y = − − + e3x 9 3 9 9 12 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I Trong bài này ta sẽ giới thiệu một số dạng phương trình vi phân cấp I mà có thể tích phân được theo nghĩa có thể vi t biểu thức của nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh hoặc phụ thuộc tham số Ta nói một phương trình vi phân là cầu phương được nếu có thể biễu diễn... 2x tương ứng với u = 1 và u = 2 1.3.3 Phương trình vi phân toàn phần Phương trình vi phân dạng P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1.16) 16 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái của nó là vi phân toàn phần của hàm nào đó, tức là tồn tại hàm U(x, y) sao cho dU(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy Khi đó tích phân tổng quát của (1.16) cho bởi U(x,... Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 3 0 -3 3 -3 Hình 1.5: Nghiệm của phương trình Clairaut với f (t) = −t2 − t 1.5.2 Phương trình Lagrange Phương trình vi phân cấp I mà là tuyến tính đối với x và y dạng y = ϕ(y )x + ψ(y ) (1.36) được gọi là phương trình Lagrange6 Giả sử ϕ(y ) = y , nếu không phương trình đã cho là phương trình Clairaut mà ta đã xét trên đây Cũng tương tự như trường hợp phương. .. lý tồn tại và duy nhất nghiệm 1.2.4 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân Về mặt hình học, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp I có thể hiểu là tìm nghiệm y(x) của (1.6) mà đồ thị của hàm số y = y(x) (còn gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân) đi qua điểm (x0 , y0 ) Nói cách khác, bài toán Cauchy là tìm đường cong tích phân của phương trình (1.6) đi qua điểm (x0 , y0 ) ∈... 1.4 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm 1.4 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm Trong mục này ta sẽ khảo sát các phương trình vi phân cấp một dạng tổng quát: (1.29) F (x, y, y ) = 0 trong đó F là hàm ba biến liên tục trong một tập mở G ⊂ R3 cùng với các đạo hàm ∂F riêng của nó, ngoài ra không đồng nhất bằng không ∂y 1.4.1 Tích phân một số phương trình vi phân. .. rằng phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần với hàm U(x, y) có thể chọn là x U(x, y) = hay y 3 (0.y + y 3 )dy (x + xy )dx + 0 4 U(x, y) = 2 0 2 2 4 x xy y + + 4 2 4 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là (x2 + y 2 )2 = 4C1 := C 2 hay x2 + y 2 = C với C ≥ 0 17 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I Thừa số tích phân: Có những trường hợp phương trình (1.16) chua phải là phương. .. phương trình Bernoulli Ví dụ: Giải phương trình y + 2y(y − x) = 1 Đây là phương trình Riccati Dễ thấy y = x là một nghiệm của phương trình đã cho Bây giờ, đặt y =x+z ta đưa phương trình đã cho về dạng z + 2z(z + x) = 0 Đây là phương trình Bernoulli với α = 2 Đặt u = z −1 ta được u − 2xu = 2 Nghiệm tổng quát của phương trình này theo (1.24) là u = ex 2 2 2e−x dx + C Vậy nghiệm tổng quát của phương trình. .. phương trình vi phân toàn phần, nhưng có thể tìm được hàm số µ(x, y) sao cho phương trình sau trở thành phương trình vi phân toàn phần: µ(x, y){P (x, y)dx + Q(x, y)dy} = 0 Hàm µ(x, y) như thế được gọi là thừa số tích phân của phương trình (1.16) Điều kiện để µ là thừa số tích phân là µ phải thoả mãn phương trình: ∂ ∂ (µP ) = (µQ) ∂y ∂x Hay tương đương Q ∂µ ∂µ −P =µ ∂x ∂y ∂Q ∂P − ∂y ∂x (1.18) Không có phương . trình vi phân thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.4 Phương trình vi. phương trình vi phân. Ta nói một phương trình vi phân có cấp n nếu n là cấp lớn nhất của đạo hàm của ẩn xuất hiện trong phương trình. Phương trình vi phân thường