Định lý trên cho thấy nghiệm kỳ dị cĩ thể xảy ra khi các điều kiện của định lý khơng thoả mãn. Rõ ràng với hàmF =F(x, y, p)khả vi liên tục, nghiệm kỳ dị chỉ cĩ thể xảy ra nếu tại đĩ
∂F ∂p = 0
Ta gọi M ⊂R3 là siêu mặt cho bởi phương trìnhF(x, y, p) = 0và giả sửπ :M −→R2,
π(x, y, p) = (x, y)là phép chiếu tự nhiên theo toạ độp. Khi đĩ các điểm kỳ dị của ánh xạ π cho bởi hệ phương trình
F(x, y, p) = 0 ∂F ∂p = 0 (1.40)
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 31
Khử p từ hệ phương trình này ta thu được một phương trình dạng
Φ(x, y) = 0 (1.41)
Phương trình này xác định một đường cong trong R2, được gọi là đường cong biệt lập (discriminant) hay p−biệt tuyến của phương trình (1.39).
Vậy để tìm nghiệm kỳ dị theo p−biệt tuyến trước hết ta tìm p−biệt tuyến cho bởi hệ (1.40), sau đĩ thử xem biệt tuyến cĩ phải là nghiệm của phương trình (1.39) hay khơng. Cuối cùng trong số các nghiệm này chọn ra các nghiệm mà dọc theo nĩ tính duy nhất bị vi phạm; đĩ chính là nghiệm kỳ dị.
Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình y= 2xy0
−y02 Ta cĩ biệt tuyến cho bởi
y= 2xp−p2, 2x−2p= 0
Từ đĩ biệt tuyến là parabol y = x2 trong mặt phẳng (x, y). Tuy nhiên, y = x2 lại khơng phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên phương trình khơng cĩ nghiệm kỳ dị.
Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình y=y02
−xy0+ x
2
2
Ta cĩ p−biệt tuyến cho bởi
y=p2−xp+x
2
2, 2p−x = 0
Từ đĩ ta cĩ biệt tuyến là paraboly= x
2
4 và cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Ngồi ra nghiệm tổng quát của nĩ là (xem ví dụ trang 29)
y=Cx+C2+ x
2
2
Do đĩ với mọi điểm (x0, y0)trên parabol này, i.e.y0 = x
2 0 4 , ta xét phương trình theoC: y0 =Cx0+C2+x 2 0 2
hay tương đương
C2 +x0C+ x
2 0
4 = 0
Phương trình này luơn cĩ nghiệm C = −x0
2 , tức là luơn cĩ nghiệm thứ hai đi qua
(x0, y0). Vậy y = x
2
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 32