1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 1.5.1 Phương trình Clairaut
Phương trình Clairaut 5 là lớp các phương trình vi phân dạng
y=xy0
+f(y0
) (1.34)
trong đĩ, nĩi chung, f là một hàm phi tuyến.
Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của phương trình này bằng cách đặt p=y0. Khi đĩ
y=px+f(p)
Vi phân hai vế đẳng thức này, với chú ý rằng dy=pdx ta được
pdx=pdx+{x+f0
(p)}dp
hay {x+f0
(p)}dp= 0
Từ đĩ ta suy ra dp= 0 hay x+f0(p) = 0.
Nếu dp= 0thì p=C, thay vào (1.34) ta được nghiệm tổng quát
y=Cx+f(C) (1.35) và đây là một họ đường thẳng.
Nếu x+f0(p) = 0, cùng với (1.34), ta thu được một nghiệm cho dưới dạng tham số
x=−f0(p)
y=−pf0(p) +f(p)
Người ta chứng minh được rằng nếu f00(p)liên tục và khác khơng thì nghiệm cho dưới dạng tham số là bao hình của họ đường thẳng (1.35).
Ví dụ: Xét phương trình y= (x−1)y0
−y02
Đây là phương trình Clairaut với f(t) =−t2−t. Thay thế y0 bởiC ta được nghiệm tổng quát là họ đường thẳng
y=C(x−1)−C2
Để tìm nghiệm kỳ dị, tức là bao hình của họ đường thẳng trên ta xét hệ
x= 2C+ 1
y=C(x−1)−C2
Khử C từ hệ phương trình này ta được bao hình là parabol y = (x−1)2
4 (xem Hình 1.5).
1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 27
-3 3
-3 0 3
Hình 1.5: Nghiệm của phương trình Clairaut với f(t) =−t2 −t.
1.5.2 Phương trình Lagrange
Phương trình vi phân cấp I mà là tuyến tính đối với x và y dạng
y=ϕ(y0
)x+ψ(y0
) (1.36)
được gọi là phương trình Lagrange6
. Giả sử ϕ(y0
)6= y0, nếu khơng phương trình đã cho là phương trình Clairaut mà ta đã xét trên đây. Cũng tương tự như trường hợp phương trình Clairaut, ta đặt p=y0. Khi đĩ phương trình (1.36) trở thành
y=ϕ(p)x+ψ(p) (1.37) Vi phân hai vế theo x ta được
p= dy
dx =ϕ(p) +{ϕ0
(p)x+ψ0
(p)}dxdp
Xem plà biến số độc lập ta cĩ phương trình tuyến tính mà ẩn là x=x(p)như sau:
dx dp + ϕ0(p) ϕ(p)−px= ϕ0(p) p−ϕ(p)
Tích phân phương trình tuyến tính này theo phương pháp đã biết ta được nghiệm tổng quát x=h(p, C), với C là tham số tuỳ ý.
Kết hợp với (1.37) ta cĩ nghiệm tổng quát của (1.36) cho dưới dạng tham số tham số hố theo tham số p:
y=ϕ(p)h(p, C) +ψ(p)
x=h(p, C)
1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 28
Nhận xét: Chú ý rằng ứng với các giá trị của tham sốp=pi (trong đĩ pi là nghiệm của phương trìnhϕ(p)−p= 0) ta cũng nhận được các nghiệm của phương trình (1.36). Tuỳ theo từng trường hợp nghiệm này cĩ thể là nghiệm kỳ dị hoặc khơng.
Ví dụ: Giải phương trình y =xy02 −y0. Đặt p=y0, khi đĩ
y=xp2−p
Vi phân hai vế của đẳng thức này theo x với chú ý dy=pdx, sau khi thu gọn ta được
(p2−p)dx+ (2px−1)dp= 0 Giả sử p2−p6= 0 ta cĩ dx dp + 2 p−1x= 1 p(p−1)
Giải phương trình này ta được:
x= C+p−lnp
(p−1)2
Thay vào biểu thức của y ta được nghiệm tổng quát dạng tham số: (
x= C(+pp−−1)ln2p
y= (C+(pp−−ln1)2p)p2 −p
Các nghiệm ứng với p= 0 và p= 1là y= 0và y=x−1tương ứng.
1.5.3 Tham số hố tổng quát
Trong tiểu mục này ta xét một số phương trình vi phân chưa giải ra đối với đạo hàm
F(x, y, y0
) = 0 (1.38)
nhưng cĩ thể tham số hố được dưới dạng
x=ϕ(u, v), y =ψ(u, v) và y0
=χ(u, v)
sao cho
F[ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)] = 0
Vi phân x và y theo u, v rồi thay vào đẳng thức dy=y0dx ta cĩ
∂ψ ∂udu+ ∂ψ ∂vdv=χ(u, v) ∂ϕ ∂udu+ ∂ϕ ∂vdv
Xem u như là hàm củav ta cĩ phương trình
du dv = χ∂ϕ ∂v − ∂ψ∂v ∂ϕ ∂u −χ∂ψ ∂u
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 29
Đây là dạng phương trình đã giải ra đối với đạo hàm, giả sử cĩ nghiệm là
u=φ(v, C)
Ta thay vào biểu thức của x và y ta được nghiệm tổng quát dưới dạng tham số của phương trình (1.38) là x=ϕ[φ(v, C), v] y=ψ[φ(v, C), v] Ví dụ: Giải phương trình y =y02 −y0x+x 2 2 Ta cĩ thể tham số hố phương trình bằng cách đặtx=x,y0 =pvày=p2−px+x 2 2
(xem xvà p là hai tham số). Khi đĩ, vi phân đẳng thức cuối ta được
dy= (x−p)dx+ (2p−x)dp
Để ý rằngdy=pdx, từ đẳng thức trên, nếu 2p−x6= 0ta cĩ dp
dx = 1, suy rap=x+C. Do đĩ nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y= x
2
2 +Cx+C
2
Nếu 2p−x = 0 ta cĩ p = x
2, thay vào biểu thức tham số hố ta cĩ nghiệm y = x
4
2, nghiệm này là nghiệm kỳ dị.
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 1.6.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dị
Trong chương trước ta đã đề cập đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình vi phân cấp I dạng giải ra được đối với đạo hàm
dy
dx =f(x, y)
Trong mục này ta xét trường hợp phương trình vi phân cấp I dạng tổng quát
F(x, y, y0
) = 0. (1.39)
Nĩi chung, khơng phải lúc nào ta cũng viết được phương trình này dưới dạng giải ra đối với đạo hàm. Điều đĩ cho thấy rằng sự tồn tại và tính chất duy nhất nghiệm của phương trình vi phân (1.39), với điều kiện ban đầu (x0, y0), khơng phải lúc nào cũng được bảo đảm. Nĩi cách khác, với (x0, y0) ∈ R2 nào đĩ, cĩ thể cĩ nhiều nghiệm của phương trình (1.39) đi qua điểm này.
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 30
Ví dụ: Phương trình Clairaut (1.34) với f(t) = −t2 −t cĩ nghiệm kỳ dị là parabol (x−1)2
4 (xem hình 1.5). Tại mỗi điểm dọc theo parabol này cĩ tồn tại một nghiệm khác mà đồ thị là đường thẳng tiếp xúc với parabol nĩi trên tại điểm đĩ.
Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong trường hợp tổng quát.
Định lý 1.6. Nếu hàm F(x, y, p) thoả các điều kiện sau:
i) F(x, y, p)liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nĩ trong lân cận của(x0, y0, p0)∈
R3 (tức là F thuộc lớp C1 trong lân cận điểm này) ii) F(x0, y0, p0) = 0
iii) ∂F
∂p(x0, y0, p0)6= 0
thì phương trình (1.39) cĩ duy nhất một nghiệm y=y(x) lớp C1 trong lân cận của x0
thoả điều kiện ban đầu:
y(x0) =y0 sao cho y0
(x0) =p0
Chứng minh: Các giả thiết trong định lý trên chính là các giả thiết của định lý hàm ẩn, do đĩ phương trình (1.39) xác định duy nhất hàm p = f(x, y) lớp C1 sao cho
p0 =f(x0, y0). Khi đĩ ta cĩ phương trình vi phân dạng giải ra được đối với đạo hàm
dy
dx =f(x, y)
trong đĩ f khả vi liên tục. Tính chất này mạnh hơn điều kiện Lipchitz nên theo định lý tồn tại và duy nhất nghiệm (cho phương trình đã giải ra đối với đạo hàm), ta thấy cĩ tồn tại duy nhất một nghiệm y =y(x) thoả điều kiện ban đầu y(x0) =y0.
1.6.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p−biệt tuyến
Định lý trên cho thấy nghiệm kỳ dị cĩ thể xảy ra khi các điều kiện của định lý khơng thoả mãn. Rõ ràng với hàmF =F(x, y, p)khả vi liên tục, nghiệm kỳ dị chỉ cĩ thể xảy ra nếu tại đĩ
∂F ∂p = 0
Ta gọi M ⊂R3 là siêu mặt cho bởi phương trìnhF(x, y, p) = 0và giả sửπ :M −→R2,
π(x, y, p) = (x, y)là phép chiếu tự nhiên theo toạ độp. Khi đĩ các điểm kỳ dị của ánh xạ π cho bởi hệ phương trình
F(x, y, p) = 0 ∂F ∂p = 0 (1.40)
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 31
Khử p từ hệ phương trình này ta thu được một phương trình dạng
Φ(x, y) = 0 (1.41)
Phương trình này xác định một đường cong trong R2, được gọi là đường cong biệt lập (discriminant) hay p−biệt tuyến của phương trình (1.39).
Vậy để tìm nghiệm kỳ dị theo p−biệt tuyến trước hết ta tìm p−biệt tuyến cho bởi hệ (1.40), sau đĩ thử xem biệt tuyến cĩ phải là nghiệm của phương trình (1.39) hay khơng. Cuối cùng trong số các nghiệm này chọn ra các nghiệm mà dọc theo nĩ tính duy nhất bị vi phạm; đĩ chính là nghiệm kỳ dị.
Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình y= 2xy0
−y02 Ta cĩ biệt tuyến cho bởi
y= 2xp−p2, 2x−2p= 0
Từ đĩ biệt tuyến là parabol y = x2 trong mặt phẳng (x, y). Tuy nhiên, y = x2 lại khơng phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên phương trình khơng cĩ nghiệm kỳ dị.
Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình y=y02
−xy0+ x
2
2
Ta cĩ p−biệt tuyến cho bởi
y=p2−xp+x
2
2, 2p−x = 0
Từ đĩ ta cĩ biệt tuyến là paraboly= x
2
4 và cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Ngồi ra nghiệm tổng quát của nĩ là (xem ví dụ trang 29)
y=Cx+C2+ x
2
2
Do đĩ với mọi điểm (x0, y0)trên parabol này, i.e.y0 = x
2 0 4 , ta xét phương trình theoC: y0 =Cx0+C2+x 2 0 2
hay tương đương
C2 +x0C+ x
2 0
4 = 0
Phương trình này luơn cĩ nghiệm C = −x0
2 , tức là luơn cĩ nghiệm thứ hai đi qua
(x0, y0). Vậy y = x
2
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 32
1.6.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C−biệt tuyến
Đối với những phương trình mà tích phân tổng quát của nĩ cho bởi
Φ(x, y, C) = 0 (1.42)
ta cĩ thể tìm nghiệm kỳ dị của nĩ thơng qua việc tìm các C−biệt tuyến, tức là đường cong trong R2 xác định bằng cách khử C từ hệ ( Φ(x, y, C) = 0 ∂Φ ∂C(x, y, C) = 0 (1.43)
Nhận xét: Cĩ thể kiểm tra khơng khĩ (xem [1]) rằng nếu C− biệt tuyến là bao hình của họ đường cong (1.42) thì nĩ là một nghiệm kỳ dị của phương trình (1.39). Do đĩ để tìm nghiệm kỳ dị của (1.39) trước hết ta tìm C−biệt tuyến của nĩ. Biệt tuyến đĩ là đường cong R(x, y) = 0 nhận được bằng cách khử C từ hệ (1.43). Sau đĩ , thử xem cĩ nhánh nào của C−biệt tuyến là bao hình của họ đường cong (1.42) hay khơng; nếu cĩ, đĩ chính là nghiệm kỳ dị của phương trình.
Chú ý: Nếu hàm Φ trong (1.42) cĩ các đạo hàm riêng cấp I theo x và y bị chặn và khơng đồng thời bằng khơng thì C−biệt tuyến là bao hình của họ nghiệm tổng quát (1.42); nĩi cách khác C−biệt tuyến là nghiệm kỳ dị.
Ví dụ: (xem [1]) Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình Lagrange x−y= 4 9y
02
−278 y03 Phương trình Lagrange này cĩ tích phân tổng quát là (y−C)2 = (x−C)3. Do đĩ biệt tuyến cho bởi hệ
(y−C)2 = (x−C)3
2(y−C) = 3(x−C)2 Khử C ta được
y=x, y=x−274 Chỉ cĩ y =x− 4
27 là bao hình nên nĩ là nghiệm kỳ dị. Cịn đường thẳng y=x chứa các điểm kỳ dị của nghiệm tổng quát (xem Hình 1.6).
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 33
Y=x
Y=x - 4/27
Hình 1.6: Nghiệm kỳ dị của phương trìnhx−y = 4 9y
02
− 278 y03
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình vi phân tách biến: (a) (xy2+ 4x)dx+ (y+x2y)dy= 0 (b) 2xp 1−y2+yy0 = 0 (c) y0 =ex+y (d) y0 = x 2y−y y+ 1
2. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân thuần nhất sau (a) y0 = y x−1 (b) y0 = 2xy x2−y2 (c) (y2−3x2)dy+ 2xydx = 0 (d) xy0 =ylny x
3. Tích phân các phương trình vi phân sau đây: (a) (x−2y+ 9)dx= (3x−y+ 2)dy (b) y0 = 2 y+ 2 x+y−1 2
4. Kiểm tra các phương trình sau là phương trình vi phân tồn phần và giải chúng (a) y
xdx+ (y
3+ lnx)dy = 0
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 34
(c) 2xydx+ (x2−y2)dy = 0
(d) [(x+ 1)ex−ey]dx=xeydy
5. Tìm thừa số tích phân rồi giải các phương trình vi phân sau (a) (x+y2)dx−2xydy = 0
(b) (y2−6xy)dx+ (3xy−6x2)dy= 0
(c) y(1 +xy)dx−xdy = 0
(d) xylnydx+ (x2+y2p
y2+ 1)dy= 0
6. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân tuyến tính sau (a) y0 −4y=x−2x2 (b) xy0+y=ex (c) y0 −ytanx= 1 cosx (d) y2dx−(2xy+ 3)dy= 0
7. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình Bernoulli sau (a) 3y0
+y= (1−2x)y4 (b) yy0+y2 =x
(c) y0
+y=ex2√y
8. Giải các phương trình vi phân sau đây (a) y02 −(x+y)y0+xy = 0 (b) y03 −yy02 −x2y0+x2y= 0 (c) xy03 = 1 +y0 (d) y03 +y3 = 3yy0
9. Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm kỳ dị của các phương trình sau đây (a) y=xy0+ 12 (b) xy0 −y= lny0 (c) y=xy0+ q y02+ 1 (d) yy0 = 2y02 x+ 1
Chương 2
Phương trình vi phân cấp cao
Chương này trình bày một số kiến thức tổng quan về phương trình vi phân cấp cao và lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao.
2.1 Phương trình vi phân cấp cao 2.1.1 Các khái niệm
Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình cĩ dạng
F(x, y, y0
, y00
, . . . , y(n)) = 0 (2.1) trong đĩ F là một hàm xác định (liên tục) trên tập mở nào đĩ của Rn+2 và nhất thiết phải cĩ sự tham gia của đạo hàm cấp n của ẩn y(n).
Với một vài giả thiết thích hợp, định lý hàm ẩn cho phép viết phương trình (2.1) dưới dạng sau đây, được gọi là dạng đã giải ra đối với đạo hàm:
y(n) =f(x, y, y0
, . . . , y(n−1)) (2.2) Dưới dạng này ta cĩ thể đưa việc nghiên cứu một phương trình cấp cao về nghiên cứu (hệ) phương trình vi phân cấp I. Thật vậy, bằng cách đưa thêm vào các ẩn mớiy1 :=y,
yk :=y(k−1), k = 1, n, ta thu được y0 1 =y2 y0 2 =y3 ... y0 n−1 =yn y0 n=f(x, y1, . . . , yn) (2.3) Đặt Y := (y1, . . . , yn)t, g(x, Y) := (y2, . . . , yn, f(x, y1, . . . , yn)t) là các vector-hàm ta cĩ thể viết lại (2.3) dưới dạng đơn giản
Y0
2.1 Phương trình vi phân cấp cao 36
2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Tương tự như trường hợp phương trình vi phân cấp I, bài tốn Cauchy đối với phương trình vi phân cấp cao (2.1) đặt ra như sau:
Tìm nghiệmy(x)của phương trình (2.1) thoả điều kiện ban đầu:
y(x0) =y0, y0 (x0) =y0 0, . . . . y(n−1)(x0) =y(0n−1) (2.5) trong đĩ x0 ∈I ⊂Rvà Y0 := (y0, y0 0, . . . , y0(n−1))∈Rn cố định, cho trước.
Để phát biểu định lý khẳng định sự tồn tại lời giải của bài tốn Cauchy ta cần khái niệm sau:
Cho vector-hàm f(x, Y) xác định trên miền G ⊂ R×Rn. Ta nĩi f thoả điều kiện Lipschitz trên G theo Y nếu tồn tại hằng số dương L (gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
||f(x, Y1)−f(x, Y2)|| ≤L||Y1−Y2||, với mọi(x, Y1),(x, Y2)∈G
Ta luu ý rằng điều kiện Lipschitz khơng phải là hệ quả của tính liên tục. Chẳng hạn hàm f(x, y) =√y liên tục nhưng khơng thoả điều kiện Lipschitz trong lân cận của 0.
Hệ quả 2.1. Với các ký hiệu trong mục trước, nếu hàmf(x, Y)thỏa điều kiện Lipschitz theo biến Y thì g(x, Y) cũng thỏa điều kiện Lipschitz theo biến Y.
Định lý 2.2 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân cấp cao).
Giả sử vector-hàm g(x, y) trong (2.4) liên tục và thoả điều kiện Lipschitz theo Y trên miền
G={(x, Y)∈R×Rn/|x−x0| ≤a,||Y −Y0|| ≤b}
Khi đĩ bài tốn Cauchy với điều kiện ban đầu (2.5) cĩ một nghiệm duy nhất trên đoạn
I := [x0−h, x0+h], với h:= min(a,Mb ) và M := max(x,Y)∈G||g(x, Y)||.
Chứng minh: Tương tự như trong trường hợp phương trình vi phân cấp I, chỉ cần thay giá trị tuyệt đối bởi chuẩn trong Rn.
Hệ quả 2.3. Nếu hàm f trong (2.2) liên tục và cĩ các đạo hàm riêng theo biến yk :=
y(k−1) cũng liên tục trong một lân cận nào của (x0, Y0) thì bài tốn Cauchy với điều kiện ban đầu (2.5) cĩ một nghiệm duy nhất trong lân cận của điểm này.
Nhận xét: Tương tự như trong chương I, ta cũng định nghĩa các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp cao. Chẳng hạn, nghiệm kỳ dị của (2.2) là nghiệm mà tại mỗi điểm của nĩ tính chất duy nhất nghiệm bị vi phạm. Ta gọi nghiệm tổng quát của (2.2) là họ các hàm ϕ(x, C1, . . . , Cn)phụ thuộc (một cách liên tục) vào n hằng số tuỳ ý C1, . . . , Cn. Với mỗi bộ giá trị của n tham số này ta nhận được một nghiệm riêng của phương trình.
Ví dụ: Nghiệm tổng quát của phương trình y00 = y là y(x) = C1ex+C2e−x. Nĩ phụ thuộc vào hai hằng số tuỳ ý C1 và C2.
2.1 Phương trình vi phân cấp cao 37
2.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầuphương phương
a) Phương trình F(x, y(n)) = 0
Phương trình này chỉ phụ thuộc vào biến độc lập và đạo hàm cấp cao nhất. Trong trường hợp cĩ thể giải ra đối với đạo hàm: