2 Phương trình vi phân cấp cao
2.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao
2.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao.
2.2.1 Các khái niệm
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n cĩ dạng tổng quát
p0(x)y(n)+p1(x)y(n−1)+· · ·+pn−1(x)y0+pn(x)y =g(x) (2.7) trong đĩ các pj(x) và g(x) là các hàm (thực) nào đĩ theo biến x.
Nếu g(x) ≡ 0 thì phương trình (2.7) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
Chú ý: Ta cĩ thể xemp0(x)≡1, vì nếu khơng ta chia hai vế của phương trình cho hệ số này, và thu được phương trình mới cùng dạng.
Sự tồn tại nghiệm: Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp cao (2.7), với điều kiện ban đầu (2.5).
Định lý 2.4. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm)Nếu các hàmpj(x)vàg(x)là liên tục trên khoảng (a, b) và, ngồi ra, p0(x)6= 0 với mọix∈(a, b) thì bài tốn Cauchy cho phương trình (2.7) cĩ duy nhất nghiệm với mọi dữ kiện ban đầu dạng (2.5) tại x0 ∈(a, b). Chứng minh: Phương trình (2.7) cĩ thể viết lại dạng
y(n) = −1
p0(x)
p1(x)y(n−1)+· · ·+pn−1(x)y0
+pn(x)y−g(x)
Để ý rằng vế phải là hàm liên tục theo (x, Y) và khả vi liên tục theo biến Y := (y, y0
, . . . , y(n−1))nên thỏa điều kiện Lipschitz theo biến này.
Dạng tốn tử của phương trình vi phân tuyến tính:
Ký hiệu D là tốn tử đạo hàm d
dx và đặt:
L=p0Dn+p1Dn−1+· · ·+pn−1D+pn (2.8)
L được gọi là tốn tử vi phân cấp n và khi đĩ (2.7) viết lại dưới dạng sau, gọi là dạng tốn tử của phương trình (2.7)
L(y) =g (2.9)
Đặc biệt, khi g ≡ 0, phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng viết một cách đơn giản
L(u) = 0 (2.10)
Nhận xét: Llà tốn tử tuyến tính trên khơng gian các hàm (khả vi) vìL(αu+βv) =
αL(u) +βL(v), với u, v là hai hàm khả vi và α, β là hai số tuỳ ý. Do đĩ giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất là tìm khơng gian con ker(L).
2.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao. 44
Mệnh đề 2.2.1. Giả sử u1 và u2 là hai nghiệm tuỳ ý của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (2.10). Khi đĩ, với C1, C2 là hai hằng số bất kỳ, C1u1+C2u2 cũng là nghiệm của (2.10).
Chứng minh: Ta cĩ L(C1u1+C2u2) =C1L(u1) +C2L(u2) = 0.
Hệ quả 2.5. Tập tất cả các nghiệm của phương trình (2.10) cĩ cấu trúc khơng gian vector.
Hạ cấp phương trình tuyến tính thuần nhất:
Nếu biết một hay nhiều nghiệm của phương trình thuần nhất (2.10) thì cĩ thể hạ cấp phương trình đĩ như sau đây.
Giả sử ϕ(x)là một nghiệm của (2.10), đặtu(x) =v(x)ϕ(x)rồi thay vào (2.10). Khi đĩ v(x)thỏa phương trình vi phân tuyến tính dạng
e
L(v) = 0
Nhưng phương trình này cĩ một nghiệm v ≡ 1, nên khơng chứa v. Vậy, nếu xem ẩn mới w:=v0, thìw là nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp
n−1dạng
Ln−1(w) = 0 Ví dụ: Xét phương trình 2x2y00+ 3xy0
−y= 0 (x >0), cĩ nghiệm làϕ(x) =x−1. Đặt
y =v(x)x−1, tính các đạo hàm và thay vào phương trình đã cho ta được
2xv00−v0 = 0. Với ẩn phụ w=v0, ta tìm đượcw=C1x1/2. Do đĩ v = 2 3C1x3/2 +C2. Cuối cùng y(x) = 2 3C1x 1/2 +C2x−1