1.4 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm
Trong mục này ta sẽ khảo sát các phương trình vi phân cấp một dạng tổng quát:
F(x, y, y0
) = 0 (1.29)
trong đĩ F là hàm ba biến liên tục trong một tập mở G⊂ R3 cùng với các đạo hàm riêng của nĩ, ngồi ra ∂F
∂y0 khơng đồng nhất bằng khơng.
1.4.1 Tích phân một số phương trình vi phân cấp I
Ta sẽ khảo sát một số dạng phương trình vi phân cấp I dạng chưa giải ra đạo hàm đặc biệt mà cĩ thể giải bằng cầu phương.
F chỉ phụ thuộc vào y0
Xét phương trình dạng
F(y0
) = 0 (1.30)
Giả sử F (xem như hàm của biến y0) liên tục và cĩ một số hữu hạn các khơng điểm (chẳng hạn khiF là đa thức). Khi đĩ mỗi nghiệm củay=y(x)của phương trình (1.30) phải thoả y0
(x) =k, với k là một khơng điểm của F. Do đĩ y(x) =kx+C với C là hằng số tuỳ ý; và ta cĩ
F(y−C
x ) = 0 (1.31)
Ngược lại, nếu cĩ đẳng thức (1.31) với một giá trị C nào đĩ thì k := y−C
x phải là nghiệm của F = 0. Khi đĩ
y=kx+C, y0
=k
do đĩ F(y0) = 0.
Nĩi cách khác, cơng thức (1.31) cho ta nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải phương trình y02
−y0+ 2 = 0. Phương trình này cĩ nghiệm là y−C
x 2
− y−C
x + 2 = 0.
Dạng cĩ thể giải ra đối với y hay x:
Giả sử (với những điều kiện nào đĩ) phương trình (1.29) cĩ thể giải ra được y hay x
theo các biến cịn lại. Chẳng hạn,
y=f(x, y0
1.4 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm 24
Khi đĩ, đặt p=y0 = dy
dx và xem p như tham số, ta được
y=f(x, p)
Vi phân hai vế của đẳng thức này ta được
dy= ∂f(x, p)
∂x dx+
∂f(x, p)
∂p dp
Thay dy=pdx ta được phương trình vi phân dạng
M(x, p)dx+N(x, p)dp = 0
Xemxnhư là hàm củapvà giả sử phương trình này cĩ nghiệm tổng quát làx=g(p, C). Khi đĩ nghiệm tổng quát của phương trình (1.32) được cho dưới dạng tham số
x=g(p, C)
y=f(x, p)
Tương tự như thế, các phương trình dạng giải ra được đối với x x=h(y, y0
)
cũng giải được bằng cách đưa vào tham số pnhư trên.
Ví dụ: Giải phương trình y =x(y0)2
Đặt p=y0, ta cĩ y=xp2. Vi phân hai vế đẳng thức này, ta được
dy=p2dx+ 2pxdp
thay dy =pdx, ta được
p[(1−p)dx−2xdp] = 0.
Với p= 0, ta được nghiệm y= 0. Ngồi ra ta cĩ phương trình
(1−p)dx−2xdp= 0.
Đây là phương trình tách biến cĩ nghiệm tổng quát là
x= C
(1−p)2.
Vậy ta thu được nghiệm tổng quát dưới dạng tham số
y =xp2
1.4 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm 25
Phương trình khuyết x hoặc y
Xét phương trình khuyết y
F(x, y0
) = 0 (1.33)
Nếu cĩ thể giải ra được y0 dạng
y0
=f(x)
Khi đĩ nghiệm tổng quát của (1.33) là y=
Z
f(x)dx+C.
Trường hợp ta khơng giải ra đượcy0 nhưng cĩ thể tìm một phép tham số hố phương trình (1.33) gồm x=ϕ(t) y0 =ψ(t) sao cho F(ϕ(t), ψ(t)) = 0 Khi đĩ ψ(t) =y0 = dy dx =⇒dy=ψ(t).ϕ0 (t)dt
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (∗)cho bởi dạng tham số
x=ϕ(t)
y =R
ψ(t)ϕ0(t)dt+C
Ví dụ: Giải phương trình lny0+ cosy0
−x= 0 Tham số hố y0 =t, x= lnt+ cost ta cĩ dy =tdx và dx= (1 t −sint)dt Suy ra y= Z
(1−tsint)dt=t−sint+tcost+C
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
x= lnt+ cost
y=t−sint+tcost+C
1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 26
1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 1.5.1 Phương trình Clairaut
Phương trình Clairaut 5 là lớp các phương trình vi phân dạng
y=xy0
+f(y0
) (1.34)
trong đĩ, nĩi chung, f là một hàm phi tuyến.
Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của phương trình này bằng cách đặt p=y0. Khi đĩ
y=px+f(p)
Vi phân hai vế đẳng thức này, với chú ý rằng dy=pdx ta được
pdx=pdx+{x+f0
(p)}dp
hay {x+f0
(p)}dp= 0
Từ đĩ ta suy ra dp= 0 hay x+f0(p) = 0.
Nếu dp= 0thì p=C, thay vào (1.34) ta được nghiệm tổng quát
y=Cx+f(C) (1.35) và đây là một họ đường thẳng.
Nếu x+f0(p) = 0, cùng với (1.34), ta thu được một nghiệm cho dưới dạng tham số
x=−f0(p)
y=−pf0(p) +f(p)
Người ta chứng minh được rằng nếu f00(p)liên tục và khác khơng thì nghiệm cho dưới dạng tham số là bao hình của họ đường thẳng (1.35).
Ví dụ: Xét phương trình y= (x−1)y0
−y02
Đây là phương trình Clairaut với f(t) =−t2−t. Thay thế y0 bởiC ta được nghiệm tổng quát là họ đường thẳng
y=C(x−1)−C2
Để tìm nghiệm kỳ dị, tức là bao hình của họ đường thẳng trên ta xét hệ
x= 2C+ 1
y=C(x−1)−C2
Khử C từ hệ phương trình này ta được bao hình là parabol y = (x−1)2
4 (xem Hình 1.5).
1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 27
-3 3
-3 0 3
Hình 1.5: Nghiệm của phương trình Clairaut với f(t) =−t2 −t.
1.5.2 Phương trình Lagrange
Phương trình vi phân cấp I mà là tuyến tính đối với x và y dạng
y=ϕ(y0
)x+ψ(y0
) (1.36)
được gọi là phương trình Lagrange6
. Giả sử ϕ(y0
)6= y0, nếu khơng phương trình đã cho là phương trình Clairaut mà ta đã xét trên đây. Cũng tương tự như trường hợp phương trình Clairaut, ta đặt p=y0. Khi đĩ phương trình (1.36) trở thành
y=ϕ(p)x+ψ(p) (1.37) Vi phân hai vế theo x ta được
p= dy
dx =ϕ(p) +{ϕ0
(p)x+ψ0
(p)}dxdp
Xem plà biến số độc lập ta cĩ phương trình tuyến tính mà ẩn là x=x(p)như sau:
dx dp + ϕ0(p) ϕ(p)−px= ϕ0(p) p−ϕ(p)
Tích phân phương trình tuyến tính này theo phương pháp đã biết ta được nghiệm tổng quát x=h(p, C), với C là tham số tuỳ ý.
Kết hợp với (1.37) ta cĩ nghiệm tổng quát của (1.36) cho dưới dạng tham số tham số hố theo tham số p:
y=ϕ(p)h(p, C) +ψ(p)
x=h(p, C)
1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 28
Nhận xét: Chú ý rằng ứng với các giá trị của tham sốp=pi (trong đĩ pi là nghiệm của phương trìnhϕ(p)−p= 0) ta cũng nhận được các nghiệm của phương trình (1.36). Tuỳ theo từng trường hợp nghiệm này cĩ thể là nghiệm kỳ dị hoặc khơng.
Ví dụ: Giải phương trình y =xy02 −y0. Đặt p=y0, khi đĩ
y=xp2−p
Vi phân hai vế của đẳng thức này theo x với chú ý dy=pdx, sau khi thu gọn ta được
(p2−p)dx+ (2px−1)dp= 0 Giả sử p2−p6= 0 ta cĩ dx dp + 2 p−1x= 1 p(p−1)
Giải phương trình này ta được:
x= C+p−lnp
(p−1)2
Thay vào biểu thức của y ta được nghiệm tổng quát dạng tham số: (
x= C(+pp−−1)ln2p
y= (C+(pp−−ln1)2p)p2 −p
Các nghiệm ứng với p= 0 và p= 1là y= 0và y=x−1tương ứng.
1.5.3 Tham số hố tổng quát
Trong tiểu mục này ta xét một số phương trình vi phân chưa giải ra đối với đạo hàm
F(x, y, y0
) = 0 (1.38)
nhưng cĩ thể tham số hố được dưới dạng
x=ϕ(u, v), y =ψ(u, v) và y0
=χ(u, v)
sao cho
F[ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)] = 0
Vi phân x và y theo u, v rồi thay vào đẳng thức dy=y0dx ta cĩ
∂ψ ∂udu+ ∂ψ ∂vdv=χ(u, v) ∂ϕ ∂udu+ ∂ϕ ∂vdv
Xem u như là hàm củav ta cĩ phương trình
du dv = χ∂ϕ ∂v − ∂ψ∂v ∂ϕ ∂u −χ∂ψ ∂u
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 29
Đây là dạng phương trình đã giải ra đối với đạo hàm, giả sử cĩ nghiệm là
u=φ(v, C)
Ta thay vào biểu thức của x và y ta được nghiệm tổng quát dưới dạng tham số của phương trình (1.38) là x=ϕ[φ(v, C), v] y=ψ[φ(v, C), v] Ví dụ: Giải phương trình y =y02 −y0x+x 2 2 Ta cĩ thể tham số hố phương trình bằng cách đặtx=x,y0 =pvày=p2−px+x 2 2
(xem xvà p là hai tham số). Khi đĩ, vi phân đẳng thức cuối ta được
dy= (x−p)dx+ (2p−x)dp
Để ý rằngdy=pdx, từ đẳng thức trên, nếu 2p−x6= 0ta cĩ dp
dx = 1, suy rap=x+C. Do đĩ nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y= x
2
2 +Cx+C
2
Nếu 2p−x = 0 ta cĩ p = x
2, thay vào biểu thức tham số hố ta cĩ nghiệm y = x
4
2, nghiệm này là nghiệm kỳ dị.
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 1.6.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dị
Trong chương trước ta đã đề cập đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình vi phân cấp I dạng giải ra được đối với đạo hàm
dy
dx =f(x, y)
Trong mục này ta xét trường hợp phương trình vi phân cấp I dạng tổng quát
F(x, y, y0
) = 0. (1.39)
Nĩi chung, khơng phải lúc nào ta cũng viết được phương trình này dưới dạng giải ra đối với đạo hàm. Điều đĩ cho thấy rằng sự tồn tại và tính chất duy nhất nghiệm của phương trình vi phân (1.39), với điều kiện ban đầu (x0, y0), khơng phải lúc nào cũng được bảo đảm. Nĩi cách khác, với (x0, y0) ∈ R2 nào đĩ, cĩ thể cĩ nhiều nghiệm của phương trình (1.39) đi qua điểm này.
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 30
Ví dụ: Phương trình Clairaut (1.34) với f(t) = −t2 −t cĩ nghiệm kỳ dị là parabol (x−1)2
4 (xem hình 1.5). Tại mỗi điểm dọc theo parabol này cĩ tồn tại một nghiệm khác mà đồ thị là đường thẳng tiếp xúc với parabol nĩi trên tại điểm đĩ.
Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong trường hợp tổng quát.
Định lý 1.6. Nếu hàm F(x, y, p) thoả các điều kiện sau:
i) F(x, y, p)liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nĩ trong lân cận của(x0, y0, p0)∈
R3 (tức là F thuộc lớp C1 trong lân cận điểm này) ii) F(x0, y0, p0) = 0
iii) ∂F
∂p(x0, y0, p0)6= 0
thì phương trình (1.39) cĩ duy nhất một nghiệm y=y(x) lớp C1 trong lân cận của x0
thoả điều kiện ban đầu:
y(x0) =y0 sao cho y0
(x0) =p0
Chứng minh: Các giả thiết trong định lý trên chính là các giả thiết của định lý hàm ẩn, do đĩ phương trình (1.39) xác định duy nhất hàm p = f(x, y) lớp C1 sao cho
p0 =f(x0, y0). Khi đĩ ta cĩ phương trình vi phân dạng giải ra được đối với đạo hàm
dy
dx =f(x, y)
trong đĩ f khả vi liên tục. Tính chất này mạnh hơn điều kiện Lipchitz nên theo định lý tồn tại và duy nhất nghiệm (cho phương trình đã giải ra đối với đạo hàm), ta thấy cĩ tồn tại duy nhất một nghiệm y =y(x) thoả điều kiện ban đầu y(x0) =y0.
1.6.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p−biệt tuyến
Định lý trên cho thấy nghiệm kỳ dị cĩ thể xảy ra khi các điều kiện của định lý khơng thoả mãn. Rõ ràng với hàmF =F(x, y, p)khả vi liên tục, nghiệm kỳ dị chỉ cĩ thể xảy ra nếu tại đĩ
∂F ∂p = 0
Ta gọi M ⊂R3 là siêu mặt cho bởi phương trìnhF(x, y, p) = 0và giả sửπ :M −→R2,
π(x, y, p) = (x, y)là phép chiếu tự nhiên theo toạ độp. Khi đĩ các điểm kỳ dị của ánh xạ π cho bởi hệ phương trình
F(x, y, p) = 0 ∂F ∂p = 0 (1.40)
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 31
Khử p từ hệ phương trình này ta thu được một phương trình dạng
Φ(x, y) = 0 (1.41)
Phương trình này xác định một đường cong trong R2, được gọi là đường cong biệt lập (discriminant) hay p−biệt tuyến của phương trình (1.39).
Vậy để tìm nghiệm kỳ dị theo p−biệt tuyến trước hết ta tìm p−biệt tuyến cho bởi hệ (1.40), sau đĩ thử xem biệt tuyến cĩ phải là nghiệm của phương trình (1.39) hay khơng. Cuối cùng trong số các nghiệm này chọn ra các nghiệm mà dọc theo nĩ tính duy nhất bị vi phạm; đĩ chính là nghiệm kỳ dị.
Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình y= 2xy0
−y02 Ta cĩ biệt tuyến cho bởi
y= 2xp−p2, 2x−2p= 0
Từ đĩ biệt tuyến là parabol y = x2 trong mặt phẳng (x, y). Tuy nhiên, y = x2 lại khơng phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên phương trình khơng cĩ nghiệm kỳ dị.
Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình y=y02
−xy0+ x
2
2
Ta cĩ p−biệt tuyến cho bởi
y=p2−xp+x
2
2, 2p−x = 0
Từ đĩ ta cĩ biệt tuyến là paraboly= x
2
4 và cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Ngồi ra nghiệm tổng quát của nĩ là (xem ví dụ trang 29)
y=Cx+C2+ x
2
2
Do đĩ với mọi điểm (x0, y0)trên parabol này, i.e.y0 = x
2 0 4 , ta xét phương trình theoC: y0 =Cx0+C2+x 2 0 2
hay tương đương
C2 +x0C+ x
2 0
4 = 0
Phương trình này luơn cĩ nghiệm C = −x0
2 , tức là luơn cĩ nghiệm thứ hai đi qua
(x0, y0). Vậy y = x
2
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 32
1.6.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C−biệt tuyến
Đối với những phương trình mà tích phân tổng quát của nĩ cho bởi
Φ(x, y, C) = 0 (1.42)
ta cĩ thể tìm nghiệm kỳ dị của nĩ thơng qua việc tìm các C−biệt tuyến, tức là đường cong trong R2 xác định bằng cách khử C từ hệ ( Φ(x, y, C) = 0 ∂Φ ∂C(x, y, C) = 0 (1.43)
Nhận xét: Cĩ thể kiểm tra khơng khĩ (xem [1]) rằng nếu C− biệt tuyến là bao hình của họ đường cong (1.42) thì nĩ là một nghiệm kỳ dị của phương trình (1.39). Do đĩ để tìm nghiệm kỳ dị của (1.39) trước hết ta tìm C−biệt tuyến của nĩ. Biệt tuyến đĩ là đường cong R(x, y) = 0 nhận được bằng cách khử C từ hệ (1.43). Sau đĩ , thử xem cĩ nhánh nào của C−biệt tuyến là bao hình của họ đường cong (1.42) hay khơng; nếu cĩ, đĩ chính là nghiệm kỳ dị của phương trình.
Chú ý: Nếu hàm Φ trong (1.42) cĩ các đạo hàm riêng cấp I theo x và y bị chặn và khơng đồng thời bằng khơng thì C−biệt tuyến là bao hình của họ nghiệm tổng quát (1.42); nĩi cách khác C−biệt tuyến là nghiệm kỳ dị.
Ví dụ: (xem [1]) Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình Lagrange x−y= 4 9y
02
−278 y03 Phương trình Lagrange này cĩ tích phân tổng quát là (y−C)2 = (x−C)3. Do đĩ biệt tuyến cho bởi hệ
(y−C)2 = (x−C)3
2(y−C) = 3(x−C)2 Khử C ta được
y=x, y=x−274 Chỉ cĩ y =x− 4
27 là bao hình nên nĩ là nghiệm kỳ dị. Cịn đường thẳng y=x chứa các điểm kỳ dị của nghiệm tổng quát (xem Hình 1.6).
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 33
Y=x
Y=x - 4/27
Hình 1.6: Nghiệm kỳ dị của phương trìnhx−y = 4 9y
02
− 278 y03
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình vi phân tách biến: (a) (xy2+ 4x)dx+ (y+x2y)dy= 0 (b) 2xp 1−y2+yy0 = 0 (c) y0 =ex+y (d) y0 = x 2y−y y+ 1
2. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân thuần nhất sau (a) y0 = y x−1 (b) y0 = 2xy x2−y2 (c) (y2−3x2)dy+ 2xydx = 0 (d) xy0 =ylny x
3. Tích phân các phương trình vi phân sau đây: (a) (x−2y+ 9)dx= (3x−y+ 2)dy (b) y0 = 2 y+ 2 x+y−1 2
4. Kiểm tra các phương trình sau là phương trình vi phân tồn phần và giải chúng (a) y
xdx+ (y
3+ lnx)dy = 0
1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I 34
(c) 2xydx+ (x2−y2)dy = 0
(d) [(x+ 1)ex−ey]dx=xeydy
5. Tìm thừa số tích phân rồi giải các phương trình vi phân sau (a) (x+y2)dx−2xydy = 0
(b) (y2−6xy)dx+ (3xy−6x2)dy= 0
(c) y(1 +xy)dx−xdy = 0
(d) xylnydx+ (x2+y2p
y2+ 1)dy= 0
6. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân tuyến tính sau (a) y0 −4y=x−2x2 (b) xy0+y=ex (c) y0 −ytanx= 1 cosx (d) y2dx−(2xy+ 3)dy= 0
7. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình Bernoulli sau (a) 3y0
+y= (1−2x)y4 (b) yy0+y2 =x
(c) y0
+y=ex2√y
8. Giải các phương trình vi phân sau đây (a) y02 −(x+y)y0+xy = 0 (b) y03 −yy02 −x2y0+x2y= 0 (c) xy03 = 1 +y0 (d) y03 +y3 = 3yy0
9. Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm kỳ dị của các phương trình sau đây (a) y=xy0+ 12 (b) xy0 −y= lny0 (c) y=xy0+ q y02+ 1 (d) yy0 = 2y02 x+ 1
Chương 2
Phương trình vi phân cấp cao
Chương này trình bày một số kiến thức tổng quan về phương trình vi phân cấp cao và