Phương trình vi phân cấp I mà là tuyến tính đối với x và y dạng
y=ϕ(y0
)x+ψ(y0
) (1.36)
được gọi là phương trình Lagrange6
. Giả sử ϕ(y0
)6= y0, nếu khơng phương trình đã cho là phương trình Clairaut mà ta đã xét trên đây. Cũng tương tự như trường hợp phương trình Clairaut, ta đặt p=y0. Khi đĩ phương trình (1.36) trở thành
y=ϕ(p)x+ψ(p) (1.37) Vi phân hai vế theo x ta được
p= dy
dx =ϕ(p) +{ϕ0
(p)x+ψ0
(p)}dxdp
Xem plà biến số độc lập ta cĩ phương trình tuyến tính mà ẩn là x=x(p)như sau:
dx dp + ϕ0(p) ϕ(p)−px= ϕ0(p) p−ϕ(p)
Tích phân phương trình tuyến tính này theo phương pháp đã biết ta được nghiệm tổng quát x=h(p, C), với C là tham số tuỳ ý.
Kết hợp với (1.37) ta cĩ nghiệm tổng quát của (1.36) cho dưới dạng tham số tham số hố theo tham số p:
y=ϕ(p)h(p, C) +ψ(p)
x=h(p, C)
1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 28
Nhận xét: Chú ý rằng ứng với các giá trị của tham sốp=pi (trong đĩ pi là nghiệm của phương trìnhϕ(p)−p= 0) ta cũng nhận được các nghiệm của phương trình (1.36). Tuỳ theo từng trường hợp nghiệm này cĩ thể là nghiệm kỳ dị hoặc khơng.
Ví dụ: Giải phương trình y =xy02 −y0. Đặt p=y0, khi đĩ
y=xp2−p
Vi phân hai vế của đẳng thức này theo x với chú ý dy=pdx, sau khi thu gọn ta được
(p2−p)dx+ (2px−1)dp= 0 Giả sử p2−p6= 0 ta cĩ dx dp + 2 p−1x= 1 p(p−1)
Giải phương trình này ta được:
x= C+p−lnp
(p−1)2
Thay vào biểu thức của y ta được nghiệm tổng quát dạng tham số: (
x= C(+pp−−1)ln2p
y= (C+(pp−−ln1)2p)p2 −p
Các nghiệm ứng với p= 0 và p= 1là y= 0và y=x−1tương ứng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});