2 Phương trình vi phân cấp cao
2.1.5 Tích phân trung gian và tích phân đầu
Xét phương trình vi phân cấp n (2.1). Giả sử cĩ tồn tại hệ thức dạng
Φ(x, y, y0
, . . . , y(k), Ck+1, . . . , Cn) = 0 (2.6) sao cho Φphụ thuộc vàon−k hằng số tuỳ ýCk+1, . . . , Cn và khơng phụ thuộc vào các đạo hàm cấp > k (nhưng nhất thiết phải cĩ mặt y(k)).
Nếu từ hệ n−k phương trình nhận được bằng cách lấy vi phân hệ thức (2.6) theo
x n−k lần và chính hệ thức đĩ ta cĩ thể nhận được phương trình đã cho (bằng cách khử các tham số) thì hệ thức (2.6) được gọi làtích phân trung gian của phương trình (2.1).
Nếu k=n−1, tức là hệ thức chỉ chứa một tham số C
Φ(x, y, y0
, . . . , y(n−1), C) = 0
thì ta gọi là tích phân đầu.
Nhận xét: Tích phân trung gian thực chất là một phương trình vi phân cấp k đã chứa sẵn n−k hằng số tuỳ ýCk+1, . . . , Cn. Nghiệm tổng quát của nĩ cịn chứa k hằng số mới làC1, . . . , Ck(tức là chứa tất cảnhằng số), và đĩ cũng là nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu (2.1). Vậy tích phân trung gian cho phép đưa việc giải phương trình vi phân cấp cao về giải phương trình cấp thấp hon.
Phương trình dạng F(x, y(k), . . . , y(n)) = 0
Bằng cách đổi ẩn z =y(k) ta cĩ thể viết phương trình dưới dạng
F(x, z, z0
, . . . , z(n−k)) = 0
Giả sử đã tìm được tích phân tổng quát của phương trình nàyΦ(x, z, Ck+1, . . . , Cn) = 0. Khi đĩ, ta cĩ tích phân trung gian của phương trình đã cho là
Φ(x, y(k), Ck+1, . . . , Cn) = 0
Đây là phương trình vi phân cấp k, nghiệm của nĩ cho ta tích phân tổng quát của phương trình ban đầu.
Ví dụ: Giải phương trình y00
−xy000+y000 = 0. Đặt z =y00 ta thu được phương trình
z−xz0
+z0
= 0
mà nghiệm tổng quát là z =C1(x−1). Từ đĩ ta cĩ tích phân đầu
y00
=C1(x−1)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y= C1 3 x
3