Về không gian đóng địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— LÊ NGỌC MINH VỀ KHÔNG GIAN s-ĐĨNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VINH - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— LÊ NGỌC MINH VỀ KHƠNG GIAN s-ĐĨNG ĐỊA PHƯƠNG Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS TRẦN VĂN ÂN VINH - 2009 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Khơng gian s-đóng 1.1 Các kiến thức chuẩn bị 1.2 Khơng gian s-đóng 11 1.3 Các tập hợp s-đóng tương đối 15 Chương Không gian s-đóng địa phương 23 2.1 Không gian s-đóng địa phương 23 2.2 Một số ánh xạ suy rộng khơng gian s-đóng địa phương 26 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 LỜI NÓI ĐẦU Sự phát triển tôpô đại cương theo đường thường diễn toán học Người ta bắt đầu việc nhận xét tương tự lập luận lặp lại nhiều tình mà bề ngồi xem giống Sau ta cố gắng rút khái niệm phương pháp chung cho nhiều ví dụ khác phân tích đủ sâu sắc ta tìm lý thuyết chứa nhiều tất ví dụ ta, đáng nghiên cứu độc lập Theo đường đó, sau nhiều thực nghiệm mà khái niệm khơng gian tơpơ phát triển Đó sản phẩm tự nhiên trình củng cố, trừu tượng khái quát liên tục Năm 1963, N Levine giới thiệu lớp tập mở không gian tôpô tập nửa mở, nửa đóng Năm 1987, sử dụng tập nửa mở vào định nghĩa, G Di Maio T Noiri giới thiệu khái niệm khơng gian s-đóng nhằm mở rộng nhiều tính chất quan trọng khơng gian compact tôpô Vào năm 1996, C K Basu đề xuất khái niệm khơng gian s-đóng địa phương Các khơng gian s-đóng địa phương nghiên cứu cách rộng rãi năm gần phần lớn C K Basu, M Khan, T Noiri B Ahmad Trên sở số kết nhà tốn học đó, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu số tính chất khơng gian s-đóng địa phương định lý bất biến khơng gian s-đóng địa phương Với nội dung nghiên cứu này, luận văn trình bày hai chương Chương Khơng gian s-đóng Trong chương này, phần đầu chúng tơi trình bày kiến thức cần thiết cho phần sau như: tập nửa mở, tập nửa đóng, Tiếp đó, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian s-đóng, tập hợp s-đóng tương đối, mệnh đề tương đương khơng gian s-đóng Chương Khơng gian s-đóng địa phương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian s-đóng địa phương, mối liên hệ khơng gian s-đóng địa phương với tập hợp s-đóng tương đối Tiếp đó, chúng tơi trình bày khái niệm ánh xạ nửa θ-đóng, ánh xạ tựa khơng giải được, ánh xạ nửa liên tục, ánh xạ hoàn toàn liên tục, tính chất quan hệ chúng Cuối cùng, chúng tơi trình bày định lý bất biến khơng gian s-đóng địa phương Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán Tác giả xin cảm ơn PGS.TS Đinh Huy Hoàng, PGS.TS Tạ Quang Hải, PGS.TS Tạ Khắc Cư, PGS.TS Phạm Ngọc Bội thầy, giáo Tổ Giải tích, khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 15 - Giải tích cộng tác, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN s-ĐÓNG 1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.1 Định nghĩa Không gian tôpô cặp (X, τ ), X tập hợp τ họ tập X thỏa mãn điều kiện sau (i) ∅ ∈ τ X ∈ τ ; (ii) Nếu U1 ∈ τ U2 ∈ τ U1 ∩ U2 ∈ τ ; (iii) Nếu {Ui : i ∈ I} họ tập X Ui ∈ τ , với i ∈ I Ui ∈ τ i∈I Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô, phần tử τ gọi tập mở không gian X Phần bù tập mở gọi tập đóng Họ τ gọi tôpô tập X 1.1.2 Định nghĩa ([6]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa mở (semi-open) tồn tập mở U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) Ký hiệu SO(X, τ ) họ tất tập nửa mở (X, τ ) Với x ∈ X, ký hiệu SO(x) họ tất tập nửa mở (X, τ ) chứa x 1.1.3 Định nghĩa ([6]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa đóng (semi-closed) X\A tập nửa mở Ký hiệu SC(X, τ ) họ tất tập nửa đóng (X, τ ) 1.1.4 Nhận xét Nếu A tập mở A tập nửa mở A tập đóng A tập nửa đóng 1.1.5 Mệnh đề Hợp họ tùy ý tập nửa mở tập nửa mở Chứng minh Giả sử {Ai : i ∈ I} họ tập nửa mở khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, với i ∈ I, tồn tập mở Ui cho Ui ⊂ Ai ⊂ cl(Ui ) Suy Ui ⊂ i∈I Ai ⊂ i∈I i∈I Ui tập mở Vậy, i∈I cl(Ui ) ⊂ cl Ui , i∈I Ai tập nửa mở i∈I 1.1.6 Định nghĩa ([6]) Giả sử A tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, hợp tất tập nửa mở nằm A gọi nửa phần (semi-interior) A ký hiệu sint(A) 1.1.7 Mệnh đề Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, sint(A) tập nửa mở lớn nằm A Chứng minh Suy từ Mệnh đề 1.1.5 Định nghĩa 1.1.6 1.1.8 Định nghĩa ([6]) Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, giao tất tập nửa đóng chứa A gọi bao nửa đóng (semi-closure) A ký hiệu scl(A) 1.1.9 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, scl(A) tập nửa đóng nhỏ chứa A Chứng minh Giả sử {Fi : i ∈ I} họ tất tập nửa đóng chứa A Khi ta có X\scl(A) = X\ (X\Fi ) Vì Fi nửa đóng, với i ∈ I Fi = i∈I i∈I nên X\Fi nửa mở, với i ∈ I Nhờ Mệnh đề 1.1.5, X\scl(A) = (X\Fi ) i∈I tập nửa mở Do đó, scl(A) tập nửa đóng Từ định nghĩa scl(A) ta suy điều phải chứng minh 1.1.10 Định nghĩa ([6]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa quy (semi-regular) A vừa tập nửa đóng, vừa tập nửa mở Ký hiệu SR(X, τ ) họ tất tập nửa quy (X, τ ) Với x ∈ X, ký hiệu SR(x) họ tất tập nửa quy (X, τ ) chứa x 1.1.11 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập nửa mở (X, τ ); (ii) sint(A) = A; (iii) A ⊂ cl(int(A)) Chứng minh (i) ⇔ (ii) Suy từ định nghĩa tập hợp nửa mở, tập hợp nửa phần Mệnh đề 1.1.7 (i) ⇒ (iii) Giả sử A tập nửa mở (X, τ ) Khi đó, tồn tập mở U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) Vì U mở nên ta có A ⊂ cl(U ) = cl(int(U )) ⊂ cl(int(A)) (iii) ⇒ (i) Giả sử A ⊂ cl(int(A)) Đặt int(A) = U Ta có U tập mở U ⊂ A ⊂ cl(U ) Vậy, A tập nửa mở 1.1.12 Hệ Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập nửa đóng (X, τ ); (ii) Tồn tập đóng F (X, τ ) cho int(F ) ⊂ A ⊂ F ; (iii) scl(A) = A; (iv) int(cl(A)) ⊂ A Chứng minh Suy từ định nghĩa tập nửa đóng Mệnh đề 1.1.11 1.1.13 Mệnh đề ([6]) Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Khi (i) int(cl(A)) ⊂ scl(A), với A ⊂ X; (ii) scl(A) = A ∪ int(cl(A)), với A ⊂ X; (iii) scl(A) ∈ SR(X, τ ), với A ∈ SO(X, τ ); (iv) int(cl(A))=scl(A), với A ∈ τ Chứng minh (i) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, scl(A) tập nửa đóng Nhờ Hệ 1.1.12, int(cl(scl(A))) ⊂ scl(A) Mặt khác, cl(A) ⊂ cl(scl(A)) nên int(cl(A)) ⊂ int(cl(scl(A))) Từ suy int(cl(A)) ⊂ scl(A) (ii) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Nhờ khẳng định (i) int(cl(A)) ⊂ scl(A) Suy A∪int(cl(A)) ⊂ A∪scl(A) = scl(A) Mặt khác ta có int(cl(A)) ⊂ A ∪ int(cl(A)) ⊂ cl(A), với cl(A) tập đóng Điều chứng tỏ A∪int(cl(A)) tập nửa đóng chứa A Từ suy scl(A) ⊂ A∪int(cl(A)) Vậy scl(A) = A ∪ int(cl(A)) (iii) Giả sử A ∈ SO(X, τ ) Khi đó, tồn tập mở U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) Suy U ⊂ scl(U ) ⊂ scl(A) ⊂ scl(cl(U )) = cl(U ) Do scl(A) ∈ SO(X, τ ) Mặt khác ta có scl(A) ∈ SC(X, τ ) Vậy scl(A) ∈ SR(X, τ ) (iv) Giả sử A ∈ τ Nhờ khẳng định (i) ta có int(cl(A)) ⊂ scl(A) Ta chứng minh scl(A) ⊂ int(cl(A)) Thật vậy, giả sử x ∈ / int(cl(A)) Khi ta có x ∈ X\int(cl(A)) = cl(int(X\A)) cl(int(X\A)) tập nửa mở Vì A tập mở nên A ⊂ int(cl(A)) Lại x ∈ / int(cl(A)) nên từ bao hàm thức A ⊂ int(cl(A)) ta suy x ∈ / A Theo (ii), scl(A) = A ∪ int(cl(A)) x∈ / scl(A) Điều kéo theo scl(A) ⊂ int(cl(A)) Vậy, int(cl(A)) = scl(A) 1.1.14 Định nghĩa ([6]) Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ A ⊂ X Khi (i) Điểm x ∈ X gọi điểm nửa θ-dính (semi θ-adherent point) A scl(U ) ∩ A = ∅, với U ∈ SO(x) (ii) Tập hợp tất điểm nửa θ-dính A gọi bao nửa θ-đóng (semi θ-closure) A ký hiệu sclθ (A) (iii) Tập A gọi nửa θ-đóng (semi θ-closed) sclθ (A) = A (iv) Phần bù tập nửa θ-đóng gọi tập nửa θ-mở (semi θ-open) 1.1.15 Mệnh đề ([6]) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) (i) Nếu A ∈ SO(X, τ ) scl(A) = sclθ (A) (ii) Nếu A ∈ SR(X, τ ) A nửa θ-đóng Chứng minh (i) Giả sử A ∈ SO(X, τ ) Trước hết ta chứng minh scl(A) ⊂ sclθ (A) Thật vậy, lấy x ∈ scl(A) Giả sử x ∈ / sclθ (A) Khi đó, tồn tập nửa mở U chứa x cho scl(U ) ∩ A = ∅ Vì x ∈ U ⊂ scl(U ) nên kết hợp với x ∈ scl(A) ta suy ra, scl(U ) ∩ scl(A) = ∅ Mặt khác, từ scl(U ) ∩ A = ∅ ta có A ⊂ X\scl(U ) Do U ∈ SO(X, τ ) nên theo Mệnh đề 1.1.13 scl(U ) ∈ SO(X, τ ) Suy ra, X\scl(U ) tập nửa đóng chứa A Do scl(A) ⊂ X\scl(U ) Từ ta có scl(A) ∩ scl(U ) = ∅ Điều mâu thuẫn chứng tỏ scl(A) ⊂ sclθ (A) Bây ta chứng minh sclθ (A) ⊂ scl(A) Thật vậy, giả sử x ∈ / scl(A) Gọi {Ei : i ∈ I} họ tất tập nửa đóng chứa A Khi đó, scl(A) = Ei i∈I Vì x ∈ / scl(A) nên tồn i0 ∈ I cho x ∈ / Ei0 Suy ra, x ∈ X\Ei0 Đặt U = X\Ei0 Khi đó, U nửa mở U ⊂ X\A Do A tập nửa mở nên X\A tập nửa đóng chứa U Suy scl(U ) ⊂ X\A Điều kéo theo, A ∩ scl(U ) = ∅ x ∈ / sclθ (A) Vậy, sclθ (A) ⊂ scl(A) (ii) Giả sử A ∈ SR(X, τ ) Khi A vừa tập nửa đóng, vừa tập nửa mở Nhờ (i) ta có scl(A) = sclθ (A) Theo Hệ 1.1.12, scl(A) = A Từ suy ra, A = sclθ (A) Vậy A tập nửa θ-đóng 1.1.16 Định nghĩa ([5]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi mở quy (regular open) A = int(cl(A)) Ký hiệu RO(X, τ ) họ tất tập mở quy (X, τ ) 1.1.17 Định nghĩa ([5]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi đóng quy (regular closed) X\A tập mở quy Ký hiệu RC(X, τ ) họ tất tập đóng quy (X, τ ) 1.1.18 Nhận xét Nếu A tập mở quy A tập mở A tập đóng quy A tập đóng (i) X s-đóng địa phương; (ii) Với x ∈ X, tồn tập mở quy U chứa x cho U s-tập X; (iii) Với x ∈ X, tồn lân cận mở U x cho int(cl(U )) s-tập X; (iv) Với x ∈ X, tồn lân cận mở U x cho scl(U ) s-tập X; (v) Với x ∈ X, tồn tập α-mở V chứa x cho scl(V ) s-tập X; (vi) Với x ∈ X, tồn tập α-mở V chứa x cho int(cl(V )) s-tập X; (vii) Với x ∈ X, tồn tập trù mật địa phương V chứa x cho scl(V ) s-tập X; (viii) Với x ∈ X, tồn tập trù mật địa phương V chứa x cho int(cl(V )) s-tập X; (ix) Với x ∈ X, tồn tập mở V chứa x cho int(cl(V )) khơng gian s-đóng X Chứng minh (i) ⇒ (ii) Suy từ Mệnh đề 1.3.6 nhận xét tập mở quy tập trù mật địa phương (ii) ⇒ (iii) Hiển nhiên (iii) ⇒ (iv) Suy từ Mệnh đề 1.1.13 (iv) ⇒ (v) Suy từ nhận xét tập mở tập α-mở (v) ⇒ (vi), (vi) ⇒ (vii), (vii) ⇒ (viii), (viii) ⇒ (ix) Suy từ Mệnh đề 1.1.26 nhận xét tập α-mở tập trù mật địa phương (ix) ⇒ (i) Suy từ Mệnh đề 1.3.6, Định lý 2.1.3 nhận xét int(cl(V )) tập mở quy chứa x 24 2.1.5 Định nghĩa ([8]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi (i) (X, τ ) gọi S-đóng địa phương (locally S-closed) với x ∈ X, tồn lân cận mở quy U x cho U khơng gian S-đóng (ii) (X, τ ) gọi tựa H-đóng địa phương (locally quasi H-closed) x ∈ X, tồn lân cận mở quy U x cho U không gian tựa H-đóng 2.1.6 Định nghĩa ([6]) Khơng gian tơpơ (X, τ ) gọi không liên thông cực trị (extremally disconnected) bao đóng tập mở tập mở 2.1.7 Mệnh đề ([6]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) không gian không liên thông cực trị; (ii) cl(U ) = scl(U ), với U ∈ SO(X, τ ); (iii) RO(X, τ ) = RC(X, τ ) 2.1.8 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) không gian không liên thơng cực trị Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) không gian s-đóng; (ii) (X, τ ) khơng gian S-đóng; (iii) (X, τ ) khơng gian tựa H-đóng Chứng minh (i) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (iii) Suy từ Mệnh đề 1.2.3 Mệnh đề 1.2.5 (iii) ⇒ (i) Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị tựa H-đóng, {Uα : α ∈ ∧} phủ X tập nửa mở Khi đó, {cl(Uα ) : α ∈ ∧} phủ X tập đóng quy Vì (X, τ ) không gian không liên thông cực trị nên nhờ Mệnh đề 2.1.7, {cl(Uα ) : α ∈ ∧} phủ X tập mở Do (X, τ ) tựa H-đóng nên tồn tập 25 hữu hạn ∧0 ∧ cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Theo Mệnh đề 2.1.7, cl(Uα ) = scl(Uα ) với α ∈ ∧0 Suy X = ∪{scl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Vậy, (X, τ ) khơng gian s-đóng 2.1.9 Bổ đề Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị U ∈ τ Khi đó, U khơng gian không liên thông cực trị (X, τ ) Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị U ∈ τ Ta chứng minh U không gian không liên thông cực trị Thật vậy, giả sử V tập mở U Khi V ∈ τ Vì (X, τ ) khơng gian không liên thông cực trị nên clX (V ) ∈ τ Từ suy clU (V ) = U ∩ clX (V ) tập mở U Vậy U không gian không liên thông cực trị (X, τ ) 2.1.10 Hệ Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) khơng gian s-đóng địa phương; (ii) (X, τ ) khơng gian S-đóng địa phương; (iii) (X, τ ) không gian tựa H-đóng địa phương Chứng minh Suy từ Mệnh đề 2.1.8 Bổ đề 2.1.9 2.2 MỘT SỐ ÁNH XẠ SUY RỘNG TRÊN KHƠNG GIAN sĐĨNG ĐỊA PHƯƠNG 2.2.1 Định nghĩa ([5]) Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) gọi s-θ-đóng (s-θ-closed) ảnh tập nửa θ-đóng tập đóng 2.2.2 Mệnh đề Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) s-θ-đóng cl(f (A)) ⊂ f (sclθ (A)), với A ⊂ X Chứng minh Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) s-θ-đóng A tập X Khi đó, sclθ (A) tập nửa θ-đóng X nên f (sclθ (A)) tập đóng Y f (A) ⊂ f (sclθ (A)) Suy cl(f (A)) ⊂ f (sclθ (A)) 26 Ngược lại, giả sử A tập nửa θ-đóng X Khi ta có A = sclθ (A) f (A) ⊂ cl(f (A)) ⊂ f (sclθ (A)) = f (A) Suy f (A) = cl(f (A)) Do f (A) đóng Y Vậy, f nửa θ-đóng 2.2.3 Mệnh đề ([5]) Tồn ánh f : (X, τ )→(Y, σ) s-θ-đóng với tập A Y tập nửa θ-mở U X, U chứa f −1 (A), tồn tập mở V Y, V chứa A cho f −1 (V ) ⊂ U Chứng minh Điều kiện cần Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) tồn ánh s-θ-đóng, A ⊂ Y, U tập nửa θ-mở X, U chứa f −1 (A) Đặt V = Y \f (X\U ) Khi đó, f (X\U ) ⊂ Y \f (U ) nên f (U ) ⊂ Y \f (X\U ) = V Do f −1 (A) ⊂ U nên ta suy A ⊂ V Nhờ giả thiết f s-θ-đóng ta có f (X\U ) đóng Y V mở Y Hơn ta có f −1 (V ) = f −1 [Y \f (X\U )] = X\f −1 [f (X\U )] ⊂ U Điều kiện đủ Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) toàn ánh, với tập A ⊂ Y tập nửa θ-mở U X, U chứa f −1 (A), tồn tập mở V Y , V chứa A cho f −1 (V ) ⊂ U Ta chứng minh f s-θ-đóng Thật vậy, giả sử K tập nửa θ-đóng X y ∈ Y \f (K) Khi đó, X\K tập nửa θ-mở chứa f −1 (y) Nhờ giả thiết điều kiện đủ, tồn tập mở Vy chứa y cho f −1 (Vy ) ⊂ X\K Điều kéo theo, y ∈ Vy ⊂ Y \f (K) Do ta có Y \f (K) = ∪{Vy : y ∈ Y \f (K)} Suy Y \f (K) tập mở f (K) đóng Y Vậy, f s-θ-đóng 2.2.4 Bổ đề ([5]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) s-tập phủ A tập nửa θ-mở có phủ hữu hạn 2.2.5 Bổ đề Giao họ tùy ý tập nửa θ-đóng tập nửa θ-đóng hợp họ tùy ý tập nửa θ-mở tập nửa θ-mở 27 Chứng minh Giả sử {Ai : i ∈ I} họ tập nửa θ-đóng không gian tôpô (X, τ ) Ta chứng minh Ai tập nửa θ -đóng Thật vậy, i∈I lấy x ∈ sclθ Ai Khi ta có scl(U ) ∩ i∈I Ai = ∅, với i∈I U ∈ SO(x) Suy scl(U ) ∩ Ai = ∅, với U ∈ SO(x) Điều kéo theo x ∈ sclθ (Ai ) với i ∈ I x ∈ sclθ (Ai ) Vì Ai nửa θ-đóng nên i∈I sclθ (Ai ) = Ai , với i ∈ I Từ ta có x ∈ sclθ (Ai ) = i∈I Ai ⊂ chứng tỏ sclθ i∈I sclθ Ai = i∈I Ai ⊂ sclθ (Ai ) Hiển nhiên ta có i∈I i∈I Ai i∈I Ai Điều i∈I Ai Vậy, i∈I Ai tập nửa θ-đóng i∈I 2.2.6 Mệnh đề ([5]) Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) tồn ánh s-θ-đóng thỏa mãn điều kiện f −1 (y) s-tập X, với y ∈ Y Khi đó, A tập compact (Y, σ) f −1 (A) s-tập (X, τ ) Chứng minh Giả sử A tập compact Y U = {Uα : α ∈ I} phủ f −1 (A) tập nửa θ-mở X Với y ∈ A, ta có Uα Vì f −1 (y) s-tập X nên nhờ Bổ đề 2.2.4, tồn tập f −1 (y) ⊂ α∈I hữu hạn I0 I cho f −1 (y) ⊂ Uα Theo Bổ đề 2.2.5 α∈I0 Uα α∈I0 tập nửa θ-mở f s-θ-đóng nên nhờ Mệnh đề 2.2.3, tồn tập mở Vy Y chứa y cho f −1 (Vy ) ⊂ Uα Họ {Vy : y ∈ A} phủ α∈I0 mở tập compact A Do đó, tồn điểm y1 , y2 , , yn A cho n A⊂ Vyi Điều kéo theo, i=1 ta suy f −1 (A) f −1 (A) n ⊂ f −1 (Vyi ) Từ chứng minh i=1 phủ họ hữu hạn họ U f −1 (A) s-tập X 2.2.7 Hệ ([5]) Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) toàn ánh s-θ-đóng thỏa mãn điều kiện f −1 (y) s-tập X, với y ∈ Y Khi đó, (X, τ ) T2 -khơng gian (Y, σ) khơng gian compact f liên tục 28 2.2.8 Định nghĩa ([5]) Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) gọi hoàn toàn liên tục (completely continuous) nghịch ảnh tập mở tập mở quy 2.2.9 Định lý ([5]) Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) tồn ánh s-θ-đóng, hoàn toàn liên tục thỏa mãn điều kiện f −1 (y) s-tập X, với y ∈ Y Khi đó, (Y, σ) T2 -khơng gian compact địa phương (X, τ ) s-đóng địa phương Chứng minh Vì Y T2 -khơng gian compact địa phương nên với x ∈ X, tồn lân cận đóng compact U f (x) Do f hoàn toàn liên tục nên f −1 (int(U )) tập mở quy chứa x Vì tập mở quy nửa quy nên nhờ Mệnh đề 1.1.5, f −1 (int(U )) nửa θ-đóng Mặt khác, U compact nên nhờ Mệnh đề 2.2.6, f −1 (U ) s-tập X x ∈ f −1 (int(U )) ⊂ f −1 (U ) Do đó, nhờ Hệ 1.3.9, f −1 (int(U )) s-tập X Vậy X khơng gian s-đóng địa phương 2.2.10 Định nghĩa ([5]) Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) gọi ν-liên tục (ν-continuous) nghịch ảnh tập nửa quy tập mở 2.2.11 Bổ đề Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) ν-liên tục K tập compact X Khi đó, f (K) s-tập Y Chứng minh Giả sử {Uα : α ∈ I} phủ f (K) tập nửa quy Y Khi đó, nhờ giả thiết f ν-liên tục ta có {f −1 (Uα ) : α ∈ I} phủ mở K Vì K compact nên tồn tập hữu hạn I0 f −1 (Uα ) Điều kéo theo f (K) ⊂ I cho K ⊂ α∈I0 Uα Vậy f (K) α∈I0 s-tập Y 2.2.12 Bổ đề ([5]) Giả sử (X, τ ) T2 -không gian, A B N C-tập không giao X Khi đó, A B tập đóng X tồn tập mở quy khơng giao U V cho A ⊂ U, B ⊂ V 29 2.2.13 Bổ đề Mọi s-tập không gian tôpô (X, τ ) N C-tập Chứng minh Giả sử A tập s-tập không gian tôpô (X, τ ) {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập mở X Vì tập mở nửa mở nên {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập nửa mở X Do A s-tập (X, τ ) nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{scl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Theo Mệnh đề 1.1.13, scl(Uα ) = int(cl(Uα )), với α ∈ ∧0 Suy A ⊂ ∪{int(cl(Uα )) : α ∈ ∧0 } Vậy, A N C-tập 2.2.14 Định lý ([5]) Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) tồn ánh s-θ-đóng, νliên tục thỏa mãn điều kiện f −1 (y) s-tập X, với y ∈ Y Khi đó, (X, τ ) T2 -không gian compact địa phương (Y, σ) s-đóng địa phương Chứng minh Trước hết ta chứng minh Y T2 -không gian Giả sử y1 , y2 hai điểm khác Y Khi đó, f −1 (y1 ) f −1 (y2 ) s-tập X f −1 (y1 ) ∩ f −1 (y2 ) = ∅ Nhờ Bổ đề 2.2.13 ta có f −1 (y1 ) f −1 (y2 ) N C-tập không giao X Theo Bổ đề 2.2.12,tồn tập mở quy khơng giao U1 U2 cho f −1 (y1 ) ⊂ U1 , f −1 (y2 ) ⊂ U2 Do tập mở quy nửa θ-mở nên nhờ Mệnh đề 2.2.3, tồn tập mở V1 chứa y1 , V2 chứa y2 cho f −1 (V1 ) ⊂ U1 , f −1 (V2 ) ⊂ U2 Rõ ràng, V1 ∩ V2 = ∅ Vậy Y T2 -không gian Giả sử X T2 -không gian compact địa phương y ∈ Y Khi đó, với x ∈ f −1 (y), tồn lân cận đóng compact Ux x X Vì int(Ux ) tập mở quy nên tập nửa quy Suy ra, họ {int(Ux ) : x ∈ f −1 (y)} phủ f −1 (y) tập nửa quy X Do f −1 (y) s-tập X nên nhờ Mệnh đề 1.3.2, tồn điểm x1 , x2 , , xn f −1 (y) cho f −1 (y) ⊂ f −1 (y) ⊂ n n n int(Uxi ) Đặt U = i=1 int(Uxi ) Khi ta có i=1 int(Uxi ) ⊂ int(U ) Vì int(U ) tập nửa θ-mở chứa f −1 (y) f i=1 30 ánh xạ s-θ-đóng nên nhờ Mệnh đề 2.2.3, tồn tập mở Vy chứa y cho f −1 (Vy ) ⊂ int(U ) Điều kéo theo, y ∈ Vy ⊂ f (int(U )) ⊂ f (U ) Lại f ν-liên tục nên nhờ Bổ đề 2.2.11, f (U ) s-tập Y f (U ) N Ctập Y Do Y T2 -không gian nên nhờ Bổ đề 2.2.12, f (U ) tập đóng Y Do y ∈ Vy ⊂ int(cl(Vy )) ⊂ f (U ) Mặt khác ta có int(cl(Vy )) tập mở quy Y nhờ Hệ 1.3.9, int(cl(Vy )) s-tập Y Điều chứng tỏ Y s-đóng địa phương 2.2.15 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) khơng gian s-đóng địa phương f : (X, τ )→(Y, σ) tồn ánh tựa khơng giải được, thỏa mãn điều kiện f (U ) ∈ RO(Y, σ), với U ∈ RO(X, τ ) Khi đó, (Y, σ) khơng gian s-đóng địa phương Chứng minh Lấy y ∈ Y Vì f tồn ánh nên tồn x ∈ X cho f (x) = y Do X khơng gian s-đóng địa phương nên tồn tập mở quy U chứa x cho U s-tập X Nhờ giả thiết ta có f (U ) tập mở quy Y theo Mệnh đề 1.3.18, f (U ) s-tập Y Do đó, theo Định lý 2.1.4, (Y, σ) khơng gian s-đóng địa phương 2.2.16 Định nghĩa ([8]) Ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) gọi nửa liên tục mạnh (strongly semi-continuous) f −1 (V ) ∈ τ , với V ∈ SO(Y, σ) 2.2.17 Bổ đề Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ nửa liên tục mạnh Khi đó, cl(f −1 (V )) ⊂ f −1 (scl(V )), với V ∈ SO(Y, σ) Chứng minh Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ nửa liên tục mạnh Trước hết ta chứng minh rằng, F ∈ SC(Y, σ) f −1 (F ) tập đóng X Thật vậy, F ∈ SC(Y, σ) nên Y \F ∈ SO(Y, σ) Suy f −1 (Y \F ) = X\f −1 (F ) ∈ τ f −1 (F ) tập đóng X Bây giờ, giả sử V ∈ SO(Y, σ) Khi đó, scl(V ) ∈ SC(Y, σ) Từ chứng minh suy f −1 (scl(V )) tập đóng X f −1 (V ) ⊂ f −1 (scl(V )) Điều kéo 31 theo cl(f −1 (V )) ⊂ f −1 (scl(V )) 2.2.18 Định lý ([8]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) toàn ánh nửa liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện f (U ) ∈ RO(Y, σ), với U ∈ RO(X, τ ) Khi đó, (X, τ ) tựa H-đóng địa phương (Y, σ) s-đóng địa phương Chứng minh Giả sử y ∈ Y Khi đó, tồn x ∈ X cho y = f (x) Vì (X, τ ) khơng gian tựa H-đóng địa phương nên tồn lân cận mở quy U x cho U khơng gian tựa H-đóng Giả sử {Vα : α ∈ ∧} phủ f (U ) tập nửa mở Y Lúc {f −1 (Vα ) : α ∈ ∧} phủ U tập mở X Do U khơng gian tựa H-đóng nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho U ⊂ ∪{cl(f −1 (Vα )) : α ∈ ∧0 } Vì f nửa liên tục mạnh nên nhờ Bổ đề 2.2.17 ta có f (cl(f −1 (Vα ))) ⊂ f (U ) ⊂ α∈∧0 f (f −1 (scl(Vα ))) = α∈∧0 scl(Vα ) α∈∧0 Điều chứng tỏ f (U ) s-tập Y từ giả thiết ta có f (U ) tập mở quy chứa y Nhờ Định lý 2.1.4 ta suy (Y, σ) khơng gian s-đóng địa phương 2.2.19 Bổ đề Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ nửa liên tục Khi đó, scl(f −1 (V )) ⊂ f −1 (cl(V )), với V ∈ σ Chứng minh Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ nửa liên tục Trước hết ta chứng minh rằng, F tập đóng Y f −1 (F ) ∈ SC(X, τ ) Thật vậy, F đóng Y nên Y \F ∈ σ Suy f −1 (Y \F ) = X\f −1 (F ) ∈ SO(X, τ ) f −1 (F ) ∈ SC(X, τ ) Bây giờ, giả sử V ∈ σ Khi đó, cl(V ) tập đóng Y Từ chứng minh ta suy f −1 (cl(V )) ∈ SC(X, τ ) f −1 (V ) ⊂ f −1 (cl(V )) Điều kéo theo scl(f −1 (V )) ⊂ f −1 (cl(V )) 2.2.20 Mệnh đề Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) toàn ánh nửa liên tục (X, τ ) khơng gian s-đóng Khi đó, (Y, σ) khơng gian tựa H-đóng 32 Chứng minh Giả sử {Vα : α ∈ ∧} phủ mở Y Vì f tồn ánh nửa liên tục nên {f −1 (Vα ) : α ∈ ∧} phủ X tập nửa mở Do (X, τ ) khơng gian s-đóng nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho scl(f −1 (Vα )) Nhờ Bổ đề 2.2.19 ta suy X= α∈∧0 f (f −1 (cl(Vα ))) = f (scl(f −1 (Vα ))) ⊂ Y = f (X) = α∈∧0 α∈∧0 cl(Vα ) α∈∧0 Điều chứng tỏ (Y, σ) không gian tựa H-đóng 2.2.21 Định nghĩa ([8]) (i) Ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) gọi tiền nửa mở (pre-semi-open) f (U ) ∈ SO(Y, σ), với U ∈ SO(X, τ ) (ii) Ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) gọi tiền nửa đóng (pre-semi-closed) f (F ) ∈ SC(Y, σ), với F ∈ SC(X, τ ) 2.2.22 Bổ đề Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) song ánh Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) f tiền nửa mở; (ii) f tiền nửa đóng; (iii) f −1 : (Y, σ) → (X, τ ) không giải Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) song ánh tiền nửa mở A ∈ SC(X, τ ) Khi đó, X\A ∈ SO(X, τ ) Suy f (X\A) = Y \f (A) ∈ SO(Y, σ) f (A) ∈ SC(Y, σ) Vậy, f tiền nửa đóng (ii) ⇒ (iii) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) song ánh tiền nửa đóng U ∈ SO(X, τ ) Khi đó, X\U ∈ SC(X, τ ) Suy f (X\U ) = (f −1 )−1 (X\U ) = Y \(f −1 )−1 (U ) ∈ SC(Y, σ) (f −1 )−1 (U ) ∈ SO(Y, σ) Vậy, f −1 : (Y, σ) → (X, τ ) ánh xạ không giải (iii) ⇒ (i) Giả sử f −1 : (Y, σ) → (X, τ ) song ánh không giải V ∈ SO(X, τ ) Khi đó, (f −1 )−1 (V ) = f (V ) ∈ SO(Y, σ) Vậy, f tiền nửa mở 33 2.2.23 Bổ đề Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) song ánh tiền nửa đóng Khi đó, f (U ) ∈ SR(Y, σ), với U ∈ SR(X, τ ) Chứng minh Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) song ánh tiền nửa đóng U ∈ SR(X, τ ) Khi U ∈ SO(X, τ ) U ∈ SC(X, τ ) Vì f tiền nửa đóng nên f (U ) ∈ SC(Y, σ) Mặt khác, nhờ Bổ đề 2.2.22 ta có f tiền nửa mở Suy f (U ) ∈ SO(Y, σ) Vậy, f (U ) ∈ SR(Y, σ) 2.2.24 Mệnh đề ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) song ánh tiền nửa đóng K s-tập Y Khi đó, f −1 (K) s-tập X Chứng minh Giả sử {Uα : α ∈ ∧} phủ f −1 (K) tập nửa quy X Vì f song ánh tiền nửa đóng nên theo Bổ đề 2.2.23 ta có {f (Uα ) : α ∈ ∧} phủ K tập nửa quy Y Vì K s-tập Y nên theo Mệnh đề 1.3.2, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ f (Uα ) Từ suy f −1 (K) ⊂ cho K ⊂ α∈∧0 Uα Vậy, f −1 (K) s-tập α∈∧0 X 2.2.25 Định lý ([8]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) song ánh hồn tồn liên tục tiền nửa đóng, (Y, σ) khơng gian s-đóng địa phương Khi đó, (X, τ ) khơng gian s-đóng địa phương Chứng minh Giả sử (Y, σ) khơng gian s-đóng địa phương, f : (X, τ ) → (Y, σ) song ánh hồn tồn liên tục tiền nửa đóng Giả sử x ∈ X y = f (x) ∈ Y Vì (Y, σ) khơng gian s-đóng địa phương nên tồn tập mở quy V chứa f (x) cho V s-tập Y Do f ánh xạ hoàn toàn liên tục nên f −1 (V ) tập mở quy chứa x f song ánh tiền nửa đóng nên theo Mệnh đề 2.2.24, f −1 (V ) s-tập X Nhờ Định lý 2.1.4 ta suy (X, τ ) khơng gian s-đóng địa phương 34 2.2.26 Mệnh đề ([8]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) f ánh xạ nửa θ-đóng; (ii) sclθ (f (A)) ⊂ f (sclθ (A)), với A ⊂ X; (iii) Với tập B Y tập nửa θ-mở U X chứa f −1 (B), tồn tập nửa θ-mở V Y chứa B cho f −1 (V ) ⊂ U ; (iv) Với y ∈ Y tập nửa θ-mở U X chứa f −1 (y), tồn tập nửa θ-mở V Y chứa y cho f −1 (V ) ⊂ U 2.2.27 Mệnh đề ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ nửa θ-đóng cho f −1 (y) s-tập X, với y ∈ Y Khi đó, K s-tập Y f −1 (K) s-tập X Chứng minh Giả sử {Uα : α ∈ ∧} phủ f −1 (K) tập nửa θ-mở X Với y ∈ K ta có f −1 (y) s-tập X theo Bổ đề 2.2.4, tồn tập hữu hạn ∧y ∧ cho f −1 (y) ⊂ ∪{Uα : α ∈ ∧y } Đặt Uy = ∪{Uα : α ∈ ∧y } Khi đó, Uy tập nửa θ-mở X Vì f ánh xạ nửa θ-đóng nên theo Mệnh đề 2.2.26, tồn tập nửa θ-mở Vy chứa y cho f −1 (Vy ) ⊂ Uy Lại {Vy : y ∈ K} phủ nửa θ-mở K nên theo Bổ đề 2.2.4, tồn tập hữu hạn K0 K cho K ⊂ ∪{Vy : y ∈ K0 } Do ta có f −1 (K) ⊂ f −1 (Vy ) ⊂ Uα α∈∧y y∈K0 y∈K0 Điều chứng tỏ f −1 (K) s-tập X 2.2.28 Định lý ([8]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ hồn tồn liên tục, nửa θ-đóng cho f −1 (y) s-tập X, với y ∈ Y Khi đó, (Y, σ) s-đóng địa phương (X, τ ) s-đóng địa phương 35 Chứng minh Lấy x ∈ X Khi đó, Y s-đóng địa phương nên theo Định lý 2.1.4, tồn tập mở quy V chứa f (x) cho V s-tập Y Do f hoàn toàn liên tục nên f −1 (V ) tập mở quy chứa x theo Mệnh đề 2.2.27 f −1 (V ) s-tập X Vì vậy, nhờ Định lý 2.1.4 ta có (X, τ ) s-đóng địa phương 36 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau Hệ thống lại số khái niệm suy rộng tơpơ tập nửa mở, tập nửa đóng, tập đóng quy, tập mở quy, tập trù mật địa phương, tính chất chúng Trình bày khái niệm đặc trưng khơng gian s-đóng tập s-đóng tương đối, mối quan hệ khơng gian s-đóng tập hợp s-đóng tương đối Chứng minh Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.2.5, Mệnh đề 1.2.7, Mệnh đề 1.2.11, Mệnh đề 1.3.3, Mệnh đề 1.3.6, Định lý 1.3.7, Hệ 1.3.8, Hệ 1.3.10, Hệ 1.3.11, Mệnh đề 1.3.21 mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt Trình bày vấn đề khơng gian s-đóng địa phương, khái niệm tính chất ánh xạ hoàn toàn liên tục, ánh xạ ν-liên tục, ánh xạ nửa liên tục mạnh, Trình bày định lý bất biến khơng gian s-đóng địa phương Chứng minh Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.4, Mệnh đề 2.2.3, Bổ đề 2.2.5, Mệnh đề 2.2.6, Định lý 2.2.9, Định lý 2.2.14, Mệnh đề 2.2.15, Bổ đề 2.2.17, Bổ đề 2.2.19, Bổ đề 2.2.22, Bổ đề 2.2.23 mà tài liệu không chứng minh chứng minh vắn tắt 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân (2007), Bài giảng tôpô đại cương, Trường Đại học Vinh [2] Phan Văn Cường (2005), Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [3] J Kelley (1973), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [4] Lê Ngọc Minh, Bùi Minh Tuyển (2009), Về khơng gian S-đóng đếm được, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Vinh (gửi đăng) [5] C K Basu (1996), On locally s-closed spaces, Internat J Math & Math Sci., 19, 67 - 74 [6] G Di Maio and T Noiri (1987), On s-closed spaces, Indian J Pure Appl Math., 18(3), 226 - 233 [7] C Dorsett (1990), Semi-regularization spaces and the semi-closure operator, s-closed spaces and quasi-irresolute functions, Indian J Pure Appl Math., 21(5), 416 - 422 [8] M Khan, T Noiri and B Ahmad (1996), On locally s-closed spaces, Indian J Pure Appl Math., 27(11), 1087 - 1092 [9] G S S Krishnan (2004), A new class of semi-open sets in topological spaces, Preprint [10] N Levine (1970), Generalized closed sets in topology, Rend Cirs Math Palermo, 19, 89 - 96 [11] T Thompson (1976), S-closed spaces, Proc Amer Math Soc., 60, 335 338 38 ... hoàn toàn liên tục tiền nửa đóng, (Y, σ) khơng gian s -đóng địa phương Khi đó, (X, τ ) khơng gian s -đóng địa phương Chứng minh Giả sử (Y, σ) không gian s -đóng địa phương, f : (X, τ ) → (Y, σ)... gian khơng liên thơng cực trị Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) khơng gian s -đóng địa phương; (ii) (X, τ ) khơng gian S -đóng địa phương; (iii) (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng địa phương. .. lân cận mở quy U x cho U không gian s -đóng X 2.1.2 Nhận xét Mọi khơng gian s -đóng khơng gian s -đóng địa phương 2.1.3 Định lý ([5]) Khơng gian tơpơ (X, τ ) s -đóng địa phương điểm x ∈ X, tồn tập