Về không gian tựa h đóng

1 MỤC LỤC Lời nói đầu Các tập hợp S -đóng tương đối 1.1 Các kiến thức chuẩn bị 1.2 Các tập hợp S -đóng tương đối Khơng gian tựa H -đóng 18 2.1 Khơng gian tựa H -đóng 18 2.2 Các tập hợp tựa H -đóng tương đối 23 2.3 Khơng gian tựa H -đóng địa phương 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết khơng gian tơpơ nhánh quan trọng giải tích đại, ứng dụng rộng rãi nhiều ngành Tốn học mơn học khác Tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu tập mở với ứng dụng chúng, năm 1963 lớp tập mở suy rộng không gian tôpô tập nửa mở, nửa đóng nghiên cứu giới thiệu N Levine Cũng theo hướng đó, năm 1969 J Porter J Thomas nghiên cứu giới thiệu khái niệm khơng gian tựa H -đóng (quasi H -closed) nhằm mở rộng nhiều tính chất quan trọng không gian compact tôpô Sử dụng khái niệm tập nửa mở vào định nghĩa, năm 1976 T Thompson giới thiệu khái niệm khơng gian S -đóng (S -closed) đến năm 1977 T Noiri giới thiệu khái niệm tập hợp S -đóng tương đối (S -closed relative to) Trên sở số kết nhà tốn học số tài liệu theo hướng như: On S-closed spaces A S Mashhour, A A Allam A M Zahran, On quasi H-closed subspaces Z Duszy´ nski, Characterizations of quasi H-closed spaces Y Yang, tiếp tục nghiên cứu, tìm hiểu số tính chất khơng gian tựa H -đóng tính chất bất biến khơng gian tựa H -đóng Với nội dung nghiên cứu này, luận văn trình bày hai chương Chương Các tập hợp S -đóng tương đối Trong chương này, phần đầu chúng tơi trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày luận văn, cụ thể chúng tơi giới thiệu trình bày khái niệm: tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy, tập α-mở, tập α-đóng, Các ánh xạ α-liên tục, ánh xạ α-mở, ánh xạ α-không giải được, Tiếp đó, chúng tơi trình bày khái niệm số đặc trưng tập hợp S -đóng tương đối Chương Khơng gian tựa H -đóng Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian tựa H -đóng, số tính chất đặc trưng khơng gian tựa H -đóng Tiếp đó, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất tập tựa H -đóng tương đối, ảnh tập qua số ánh xạ Cuối cùng, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất khơng gian tựa H -đóng địa phương Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS TS NGƯT Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán Tác giả xin cảm ơn PGS TS Đinh Huy Hoàng, PGS TS Tạ Khắc Cư, PGS TS Phạm Ngọc Bội, TS Vũ Thị Hồng Thanh thầy, giáo Tổ Giải tích, khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Diễn Châu 3, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 16 - Toán Giải tích cộng tác, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG CÁC TẬP HỢP S-ĐÓNG TƯƠNG ĐỐI 1.1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa Không gian tơpơ cặp (X, τ ), X tập hợp τ họ tập X thỏa mãn điều kiện sau (i) ∅ ∈ τ X ∈ τ ; (ii) Nếu U1 ∈ τ U2 ∈ τ U1 ∩ U2 ∈ τ ; (iii) Nếu {Ui : i ∈ I} họ tập X Ui ∈ τ , với i ∈ I Ui ∈ τ i∈I Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô, phần tử τ gọi tập mở không gian X Phần bù tập mở gọi tập đóng Họ τ gọi tôpô tập X Ký hiệu CO(X, τ ) họ tất tập vừa đóng, vừa mở (X, τ ) 1.1.2 Định nghĩa ([9]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa mở (semi-open) tồn tập mở U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ), cl(U ) ký hiệu bao đóng tập U không gian tôpô (X, τ ) Ký hiệu SO(X, τ ) họ tất tập nửa mở (X, τ ) 1.1.3 Bổ đề ([3]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) nửa mở A ⊂ cl(int(A)) 1.1.4 Định nghĩa ([3]) Tập A không gian tơpơ (X, τ ) gọi nửa đóng (semi-closed) X\A tập nửa mở Ký hiệu SC(X, τ ) họ tất tập nửa đóng (X, τ ) 1.1.5 Định nghĩa ([3]) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, giao tất tập nửa đóng chứa A gọi bao nửa đóng (semi-closure) A ký hiệu scl(A) 1.1.6 Định nghĩa ([3]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi mở quy (regular open) A = int(cl(A)) Ký hiệu RO(X, τ ) tập hợp tất tập mở quy (X, τ ) 1.1.7 Nhận xét (i) Nếu A tập mở quy khơng gian tơpơ (X, τ ) A tập nửa mở (ii) Nếu A tập mở không gian tôpô (X, τ ) int(cl(A)) tập mở quy Chứng minh (i) Hiển nhiên (ii) Giả sử A tập mở Để chứng minh int(cl(A)) tập mở quy, ta chứng minh int(cl(A)) = int(cl(int(cl(A)))) Thật vậy, A mở nên A = int(A), cl(A) = cl(int(A)) ⊂ cl(int(cl(A))) Điều kéo theo int(cl(A)) ⊂ int(cl(int(cl(A)))) (1.1) Ngược lại, ta có int(cl(A)) ⊂ cl(A), cl(int(cl(A))) ⊂ cl(A), int(cl(int(cl(A)))) ⊂ int(cl(A)) (1.2) Từ (1.1) (1.2) ta có điều phải chứng minh 1.1.8 Định nghĩa ([3]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi đóng quy (regular closed) X\A tập mở quy Ký hiệu RC(X, τ ) họ tất tập đóng quy (X, τ ) 1.1.9 Nhận xét (i) Tập A không gian tôpô (X, τ ) đóng quy A = cl(int(A)) (ii) Nếu A tập nửa mở không gian tơpơ (X, τ ) cl(A) tập đóng quy Chứng minh (i) Ta có A tập đóng quy X\A tập mở quy X\A tập mở quy X\A = int(cl(X\A)) = X\cl(int(A)) Điều tương đương với A = cl(int(A)) Vì vậy, ta có điều phải chứng minh (ii) Giả sử A tập nửa mở Khi đó, theo Bổ đề 1.1.3 ta có A ⊂ cl(int(A)) ⊂ cl(int(cl(A))) Vì vậy, cl(A) ⊂ cl(int(cl(A))) (1.3) Ngược lại, ta có int(cl(A)) ⊂ cl(A), kéo theo cl(int(cl(A))) ⊂ cl(A) (1.4) Từ (1.3) (1.4) suy cl(A) = cl(int(cl(A))) Vậy cl(A) tập đóng quy 1.1.10 Bổ đề ([3]) Nếu A, B ∈ RC(X, τ ) A ∪ B ∈ RC(X, τ ) 1.1.11 Định nghĩa ([3]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa mở quy (regular semi-open) tồn tập mở quy U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) 1.1.12 Bổ đề Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, A tập đóng quy A tập nửa mở quy Chứng minh Giả sử A tập đóng quy khơng gian tơpơ (X, τ ) Đặt U = int(A) Khi đó, A tập đóng quy, nhờ Nhận xét 1.1.9(i) suy A = cl(int(A)), U = int(cl(int(A))) = int(cl(U )) Điều kéo theo U tập mở quy Mặt khác, U = int(A) A = cl(int(A)) nên suy U ⊂ A ⊂ cl(U ) Vì vậy, A tập nửa mở quy 1.1.13 Định nghĩa ([11]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi tiền mở (preopen) A ⊂ int(cl(A)) Ký hiệu P O(X, τ ) họ tất tập tiền mở (X, τ ) 1.1.14 Bổ đề ([3]) Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, A ∈ P O(X, τ ) RC(A, τA ) = {F ∩ A, F ∈ RC(X, τ )}, τA tơpơ cảm sinh tơpơ τ A 1.1.15 Định nghĩa ([11]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi α-mở (α-open) A ⊂ int(cl(int(A))) Ký hiệu τ α họ tất tập α-mở (X, τ ) 1.1.16 Nhận xét ([11]) (i) τ α lập thành tôpô tập X (ii) τ ⊂ τ α = SO(X, τ ) ∩ P O(X, τ ) 1.1.17 Định nghĩa ([11]) Tập A không gian tơpơ (X, τ ) gọi α-đóng (α-closed) X\A tập α-mở 1.1.18 Định nghĩa ([11]) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, giao tất tập α-đóng chứa A gọi α-bao đóng (αclosure) A ký hiệu clτ α (A) 1.1.19 Bổ đề ([11]) Giả sử A tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, A ∈ SO(X, τ ) cl(A) = clτ α (A) 1.1.20 Bổ đề ([11]) Giả sử A tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, A tập α-mở tồn tập mở G cho G ⊂ A ⊂ int(cl(G)) Chứng minh Giả sử A tập α-mở, nghĩa A ⊂ int(cl(int(A))) Khi đó, đặt G = int(A), ta có G mở G ⊂ A ⊂ int(cl(G)) Ngược lại, giả sử tồn tập mở G cho G ⊂ A ⊂ int(cl(G)) Vì G mở nên G = int(G) Do A ⊂ int(cl(G)) = int(cl(int(G))) ⊂ int(cl(int(A))) Điều kéo theo A ⊂ int(cl(int(A))) Vì vậy, A tập α-mở 1.1.21 Bổ đề ([11]) Giả sử A, B tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, A ∈ P O(X, τ ) B ∈ τ α tập A ∩ B ∈ (τA )α , τA tơpơ cảm sinh tôpô τ A (τA )α họ tất tập α-mở không gian (A, τA ) 1.1.22 Bổ đề ([11]) Giả sử A, B tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, A ∈ P O(X, τ ) B ∈ SO(X, τ ) A ∩ cl(B) ⊂ cl(A ∩ B) 1.1.23 Bổ đề ([11]) Giả sử A, B tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, A ∈ SO(X, τ ) B ∈ τ α A ∩ B ∈ (τA )α , (τA )α họ tất tập α-mở (A, τA ) 1.1.24 Bổ đề ([11]) Giả sử A, B tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, A ∈ P O(X, τ ) cho A ⊂ B A ∈ P O(B, τB ) 1.1.25 Định nghĩa ([5]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi β -mở (β -open) A ⊂ cl(int(cl(A))) 1.1.26 Nhận xét Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi (i) Nếu A tập nửa mở A tập β -mở (ii) Nếu A tập β -mở cl(A) tập nửa mở Chứng minh (i) Giả sử A tập nửa mở Khi đó, A ⊂ cl(int(A)) Điều kéo theo A ⊂ cl(int(cl(A))) Vậy, A tập β -mở (ii) Giả sử A tập β -mở, suy A ⊂ cl(int(cl(A))), kéo theo cl(A) ⊂ cl(int(cl(A))) Vì vậy, cl(A) tập nửa mở 1.1.27 Định nghĩa ([5]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi β -đóng (β -closed) X\A tập β -mở 1.1.28 Định nghĩa ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) Khi (i) f gọi α-liên tục (α-continuous) f −1 (V ) ∈ τ α , với V ∈ σ (ii) f gọi α-mở (α-open) f (U ) ∈ σ α , với U ∈ τ (iii) f gọi tiền mở (preopen) f (U ) ∈ P O(Y, σ), với U ∈ τ (iv) f gọi hầu mở (almost open) f −1 (cl(V )) ⊂ cl(f −1 (V )), với V ∈ σ 1.1.29 Định nghĩa ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) Khi (i) f gọi nửa đóng (semi-closed) ảnh tập đóng X tập nửa đóng Y (ii) f gọi đóng quy (regular closed) ảnh tập đóng quy X tập đóng Y (iii) f gọi β -đóng (β -closed) ảnh tập đóng X tập β -đóng Y (iv) f gọi α-không giải (α-irresolute) f −1 (V ) ∈ τ α , với V ∈ σ α 1.1.30 Định nghĩa ([9]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi S -đóng (S closed) với phủ {Uα : α ∈ ∧} (X, τ ) tập nửa mở, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } 1.1.31 Định nghĩa ([8]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi S -đóng địa phương (locally S -closed) với x ∈ X , tồn lân cận mở U x cho U không gian S -đóng (X, τ ) 1.1.32 Định nghĩa ([10]) Khơng gian tôpô (X, τ ) gọi không liên thơng cực trị (extremally disconnected) bao đóng tập mở mở 1.2 Các tập hợp S-đóng tương đối 1.2.1 Định nghĩa ([5]) Tập A không gian tơpơ (X, τ ) gọi S -đóng tương (X, τ ) (S -closed relative to (X, τ )) với phủ {Uα : α ∈ ∧} A tập nửa mở (X, τ ), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } 1.2.2 Nhận xét Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi (i) Nếu A khơng gian S -đóng (X, τ ) A tập S -đóng tương (X, τ ) (ii) Nếu A tập S -đóng tương (X, τ ) scl(A) cl(A) tập S -đóng tương (X, τ ) 10 Chứng minh (i) Giả sử A khơng gian S -đóng (X, τ ) {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập nửa mở (X, τ ) Khi đó, {Uα ∩ A : α ∈ ∧} phủ A tập nửa mở khơng gian (A, τA ) Vì A khơng gian S -đóng (X, τ ) nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{clτA (Uα ∩A) : α ∈ ∧0 } Lại vì, clτA (Uα ∩A) = A∩cl(Uα ) ⊂ cl(Uα ) Điều kéo theo A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Vì vậy, A tập S -đóng tương (X, τ ) (ii) Ta chứng minh cho trường hợp scl(A) Giả sử A tập S -đóng tương (X, τ ) {Uα : α ∈ ∧} phủ scl(A) tập nửa mở (X, τ ) Khi đó, A ⊂ scl(A) nên {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập nửa mở Do A tập S đóng tương (X, τ ) nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }, suy cl(A) ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Lại vì, với tập A, ta có scl(A) ⊂ cl(A) Do đó, scl(A) ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Vì vậy, scl(A) tập S -đóng tương (X, τ ) Trường hợp cl(A) chứng minh tương tự 1.2.3 Bổ đề Giả sử A tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập S -đóng tương (X, τ ); (ii) Mọi phủ A tập đóng quy (X, τ ) có phủ hữu hạn; (iii) Mọi phủ {Uα : α ∈ ∧} A tập nửa mở quy (X, τ ), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử A tập S -đóng tương (X, τ ) {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập đóng quy (X, τ ) Khi đó, tập đóng quy tập nửa mở nên {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập nửa mở Do A tập S -đóng tương (X, τ ) nên 23 (ii) ⇒ (i) Giả sử {Uα : α ∈ ∧} phủ (X, τ ) tập mở quy Khi đó, {X\Uα : α ∈ ∧} họ tập đóng quy (X, τ ) thỏa mãn (X\Uα ) = X\( α∈∧ Uα ) = ∅ Nhờ (ii), tồn tập α∈∧ hữu hạn ∧0 ∧ cho ∩{int(X\Uα ) : α ∈ ∧0 } = ∅ Điều kéo theo X\(∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }) = ∅ Do đó, X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Vì vậy, theo Định lý 2.1.4(ii) (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng 2.1.16 Bổ đề ([6]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi ta có (i) Bao đóng khơng gian tựa H -đóng khơng gian tựa H -đóng (ii) Nếu (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng bao đóng tập mở (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng (iii) Nếu A B không gian tựa H -đóng (X, τ ) A ∪ B khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) (iv) Nếu (X, τ ) không gian tựa H -đóng, A tập đóng X biên A không gian tựa H -đóng A khơng gian tựa H -đóng 2.2 Các tập hợp tựa H-đóng tương đối 2.2.1 Định nghĩa ([11]) Tập A không gian tơpơ (X, τ ) gọi tựa H -đóng tương (X, τ ) (quasi H -closed relative to (X, τ )) với phủ {Uα : α ∈ ∧} A tập mở (X, τ ), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } 2.2.2 Nhận xét Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi (i) Nếu A khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) (ii) Nếu A tập S -đóng tương (X, τ ) A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) 24 2.2.3 Mệnh đề ([11]) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) cl(A), scl(A), clτ α (A) tập tựa H -đóng tương (X, τ ) 2.2.4 Định lý ([10]) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) với phủ {Uα : α ∈ ∧} A tập mở quy (X, τ ), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Chứng minh Giả sử A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập mở quy (X, τ ) Khi đó, tập mở quy mở nên {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập mở Do A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Ngược lại, giả sử {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập mở Khi đó, Uα tập mở nên Uα = int(Uα ) ⊂ int(cl(Uα )), {int(cl(Uα )) : α ∈ ∧} phủ A Lại Uα tập mở, theo Nhận xét 1.1.7(ii), int(cl(Uα )) tập mở quy, suy {int(cl(Uα )) : α ∈ ∧} phủ A tập mở quy Nhờ giả thiết điều kiện đủ, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{cl(int(cl(Uα ))) : α ∈ ∧0 } ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Điều kéo theo A ⊂ {cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Vậy, A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) 2.2.5 Định lý ([11]) Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập tựa H -đóng tương (X, τ ); (ii) Với phủ {Ui : i ∈ ∧} A tập α-mở (X, τ ), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 }; (iii) Với phủ {Ui : i ∈ ∧} A tập α-mở (X, τ ), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{clτ α (Ui ) : i ∈ ∧0 }; 25 (iv) Với phủ {Ui : i ∈ ∧} A tập mở (X, τ ), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{clτ α (Ui ) : i ∈ ∧0 } Chứng minh (i) ⇔ (iv) Suy từ bổ đề 1.1.19 (ii) ⇒ (iii), (iii) ⇒ (i) Suy từ Bổ đề 1.1.19 (i) ⇒ (ii) Giả sử A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) {Ui : i ∈ ∧} phủ A tập α-mở Khi đó, với i ∈ ∧, Ui tập α-mở nên theo Bổ đề 1.1.20, tồn tập mở Gi cho Gi ⊂ Ui ⊂ int(cl(Gi )) Do đó, {int(cl(Gi )) : i ∈ ∧} phủ A tập mở Nhờ (i), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{cl(int(cl(Gi ))) : i ∈ ∧0 } Lại cl(int(cl(Gi ))) ⊂ cl(Gi ), với i ∈ ∧ Vì vậy, A ⊂ ∪{cl(Gi ) : i ∈ ∧0 } ⊂ ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 } Điều kéo theo A ⊂ ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 } 2.2.6 Định nghĩa ([10]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi RS -compact với phủ {Uα : α ∈ ∧} (X, τ ) tập nửa mở quy, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho X = ∪{int(Uα ) : α ∈ ∧0 } 2.2.7 Định nghĩa ([10]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi RS -compact tương (X, τ ) (RS -compact relative to (X, τ )) với phủ {Uα : α ∈ ∧} (X, τ ) tập nửa mở quy (X, τ ), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{int(Uα ) : α ∈ ∧0 } 2.2.8 Định nghĩa ([10]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi gần compact (nearly compact) với phủ {Uα : α ∈ ∧} (X, τ ) tập mở, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{int(cl(Uα )) : α ∈ ∧0 } 2.2.9 Định nghĩa ([10]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi gần compact tương (X, τ ) (nearly compact relative to (X, τ )) với phủ {Uα : α ∈ ∧} (X, τ ) tập mở (X, τ ), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{int(cl(Uα )) : α ∈ ∧0 } 26 2.2.10 Bổ đề ([10]) Với không gian tôpô (X, τ ), ta có RS -compact =⇒ S -đóng =⇒ QHC ⇓ ⇑ gần compact Nếu (X, τ ) không gian không liên thơng cực trị tính chất tương đương 2.2.11 Định lý ([10]) Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị A tập X Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập RS -compact tương (X, τ ); (ii) A tập S -đóng tương (X, τ ); (iii) A tập gần compact tương (X, τ ); (iv) A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) 2.2.12 Mệnh đề ([11]) Tập A ∈ P O(X, τ ) không gian tựa H -đóng (X, τ ) A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) 2.2.13 Định lý ([11]) Giả sử A B tập không gian tôpô (X, τ ) cho A ⊂ B B ∈ P O(X, τ ) Khi đó, A tập tựa H -đóng tương (B, τB ) A tập tựa H -đóng tương (X, τ ), τB tôpô cảm sinh tôpô τ B Chứng minh Giả sử A tập tựa H -đóng tương (B, τB ) {Ui : i ∈ ∧} phủ A tập α-mở (X, τ ) Khi đó, Ui ∈ τ α , B ∈ P O(X, τ ), theo Bổ đề 1.1.21 suy Ui ∩ B ∈ (τB )α , với i ∈ ∧ Vì A ⊂ B nên {Ui ∩ B : i ∈ ∧} phủ A tập α-mở (B, τB ) Lại A tập tựa H -đóng tương (B, τB ), nhờ Định lý 2.2.5(ii), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{clτB (Ui ∩ B) : i ∈ ∧0 } ⊂ ∪{clτB (Ui ) : i ∈ ∧0 } = ∪{B ∩ cl(Ui ) : i ∈ ∧0 } Điều kéo theo A ⊂ {cl(Ui ) : i ∈ ∧0 } Vì vậy, theo Định lý 2.2.5(i), A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) 27 Ngược lại, giả sử A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) {Ui : i ∈ ∧} phủ A tập mở (B, τB ) Khi đó, Ui ∈ τB nên tồn tập Gi ∈ τ cho Ui = Gi ∩B , với i ∈ ∧ Do đó, {Gi : i ∈ ∧} phủ A tập mở (X, τ ) Nhờ giả thiết điều kiện đủ, tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{cl(Gi ) : i ∈ ∧0 } Vì B ∈ P O(X, τ ) nên theo Bổ đề 1.1.22, B ∩ cl(Gi ) ⊂ cl(B ∩ Gi ) Lại vì, A ⊂ B , suy A ⊂ ∪{B ∩ cl(Gi ) : i ∈ ∧0 } ⊂ ∪{cl(B ∩ Gi ) : i ∈ ∧0 } = ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 } Điều kéo theo A ⊂ ∪{clτB (Ui ) : i ∈ ∧0 } Vì vậy, A tập tựa H -đóng tương (B, τB ) 2.2.14 Mệnh đề ([11]) Giả sử A B tập không gian tôpô (X, τ ) cho A ⊂ B B ∈ SO(X, τ ) Khi đó, A tập tựa H -đóng tương (B, τB ) A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) Chứng minh Giả sử {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập α-mở (X, τ ) Khi đó, Uα ∈ τ α , B ∈ SO(X, τ ) nên theo Bổ đề 1.1.23 Uα ∩ B ∈ (τB )α , với α ∈ ∧ Mặt khác, A ⊂ B {Uα ∩ B : α ∈ ∧} phủ A tập α-mở (B, τB ) Vì A tập tựa H -đóng tương (B, τB ), nhờ Định lý 2.2.5(iii), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪{clτB (Uα ∩ B) : α ∈ ∧0 } ⊂ ∪{clτB (Uα ) : α ∈ ∧0 } = ∪{B ∩ cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Điều kéo theo A ⊂ {cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Vì vậy, theo Định lý 2.2.5(i), A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) 2.2.15 Mệnh đề ([11]) Giả sử A B tập không gian tôpô (X, τ ) cho A, B ∈ P O(X, τ ) A ⊂ B Khi đó, (A, τA ) khơng gian tựa H -đóng (B, τB ) (A, τA ) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) 2.2.16 Hệ ([11]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A, B, C ∈ P O(X, τ ) cho A ⊂ B ⊂ C Khi đó, (A, τA ) khơng gian tựa H -đóng (B, τB ) (A, τA ) không gian tựa H -đóng (C, τC ) 28 2.2.17 Định lý ([11]) Giả sử A, B tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) B ∈ CO(X, τ ) A ∩ B tập tựa H -đóng tương (X, τ ) Chứng minh Giả sử {Uα : α ∈ ∧} phủ A ∩ B tập mở (X, τ ) Khi đó, B ∈ CO(X, τ ) nên X\B ∈ CO(X, τ ) Do đó, {Uα : α ∈ ∧} ∪ (X\B) phủ A tập mở (X, τ ) Vì A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ⊂ ∪ {cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } ∪ (X\B) Điều kéo theo A ∩ B ⊂ ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 } Vì vậy, A ∩ B tập tựa H -đóng tương (X, τ ) 2.2.18 Hệ ([11]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng A ∈ CO(X, τ ) Khi đó, A khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) 2.2.19 Hệ ([11]) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) B ∈ CO(X, τ ) Khi đó, A ∪ B tập tựa H -đóng tương (X, τ ) A\B tập tựa H -đóng tương (X, τ ) Chứng minh Suy từ Định lý 2.2.17 nhận xét A\B = (A∪B)∩(X\B) 2.2.20 Hệ ([11]) Giả sử A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) B ∈ CO(X, τ ) Khi ta có (i) A ∩ B tập tựa H -đóng tương (B, τB ) (ii) Nếu B ⊂ A (B, τB ) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) (iii) Nếu A ∈ P O(X, τ ) (A ∩ B, τA∩B ) khơng gian tựa H -đóng (B, τB ) (iv) Nếu B ⊂ A A ∈ P O(X, τ ) (B, τB ) khơng gian tựa H -đóng (A, τA ) 2.2.21 Hệ ([11]) Giả sử A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) B ∈ CO(X, τ ) Khi 29 (i) Nếu A ∈ P O(X, τ ) clτB (A ∩ B) khơng gian tựa H -đóng (B, τB ) (ii) Nếu B ⊂ A A ∈ P O(X, τ ) clτA (B) khơng gian tựa H -đóng (A, τA ) 2.2.22 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A1 , A2 , , An n tập tựa H -đóng tương (X, τ ) Khi đó, Ai tập tựa H -đóng tương i=1 (X, τ ) 2.2.23 Định lý ([11]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô tập A, B ∈ τ α cho A ∩ B = ∅ Khi đó, A ∪ B tập tựa H -đóng tương (X, τ ) A B tập tựa H -đóng tương (X, τ ) Chứng minh Điều kiện cần Ta cần chứng minh A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) Giả sử A ∪ B tập tựa H -đóng tương (X, τ ) {Uα : α ∈ ∧} phủ A tập α-mở (X, τ ) Khi đó, B tập α-mở nên {Uα : α ∈ ∧} ∪ B phủ A ∪ B tập α-mở Do A ∪ B tập tựa H -đóng tương (X, τ ) nên theo Định lý 2.2.5(iii), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho A ∪ B ⊂ clτ α (Uα ) ∪ clτ α (B) Điều α∈∧0 kéo theo A ⊂ clτ α (Uα ) Vì vậy, theo Định lý 2.2.5(i) suy A tập tựa α∈∧0 H -đóng tương (X, τ ) Điều kiện đủ Suy từ Mệnh đề 2.2.22 2.2.24 Hệ ([11]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô tập A, B ∈ τ α cho A ∩ B = ∅ Khi đó, (A ∪ B, τA∪B ) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) (A, τA ) (B, τB ) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) Chứng minh Suy từ Mệnh đề 2.2.12 Định lý 2.2.23 30 2.2.25 Hệ ([11]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô tập A ∈ CO(X, τ ) Khi đó, (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng A X\A không gian tựa H -đóng (X, τ ) Chứng minh Suy từ Hệ 2.2.24 2.2.26 Định lý ([11]) Giả sử (X, τ ) không gian Hausdorff tập A tập X Khi đó, A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) A tập đóng Chứng minh Ta chứng minh X\A tập mở Giả sử phần tử x ∈ X\A Khi đó, (X, τ ) không gian Hausdorff nên với a ∈ A, tồn tập mở Ua chứa a cho x ∈ / cl(Ua ) Do A tập tựa H -đóng tương (X, τ ) {Ua : a ∈ A} phủ A tập mở nên tồn tập hữu hạn A0 A cho A ⊂ ∪{cl(Ua ) : a ∈ A0 } Đặt G = X\cl(Ua ) suy G tập mở chứa x a∈A0 cl(Ua ) ⊂ X\A Điều kéo theo X\A lân cận điểm G = X\ a∈A0 x Do X\A tập mở Vậy A tập đóng 2.2.27 Hệ ([11]) Giả sử (X, τ ) không gian Hausdorff tập A ∈ P O(X, τ ) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) Khi đó, (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng X\A khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) 2.2.28 Bổ đề ([11]) Giả sử (X, τ ), (Y, σ) không gian tôpô, S tập X f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ α-liên tục Khi đó, S tập tựa H -đóng tương (X, τ ) f (S) tập tựa H -đóng tương (Y, σ) Chứng minh Giả sử S tập tựa H -đóng tương (X, τ ) {Ui : i ∈ ∧} phủ f (S) tập mở Khi đó, f ánh xạ α-liên tục nên 31 {f −1 (Ui ) : i ∈ ∧} phủ S tập α-mở Lại vì, S tập tựa H -đóng tương (X, τ ) nên theo Định lý 2.2.5(iii), tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho S ⊂ ∪{clτ α (f −1 (Ui )) : i ∈ ∧0 } Mặt khác, theo giả thiết f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ α-liên tục f : (X, τ α ) → (Y, σ) ánh xạ liên tục Do đó, f (S) ⊂ ∪{f (clτ α (f −1 (Ui ))) : i ∈ ∧0 } ⊂ ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 } Điều kéo theo f (S) ⊂ ∪{cl(Ui ) : i ∈ ∧0 } Vì vậy, f (S) tập tựa H -đóng tương (Y, σ) 2.2.29 Hệ ([11]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ liên tục α-không giải S ⊂ X tập tựa H -đóng tương (X, τ ) Khi đó, f (S) tập tựa H -đóng tương (Y, σ) Chứng minh Suy từ Bổ đề 2.2.28 ánh xạ liên tục α-không giải ánh xạ α-liên tục 2.3 Không gian tựa H-đóng địa phương 2.3.1 Định nghĩa ([11]) Khơng gian tơpơ (X, τ ) gọi tựa H -đóng địa phương (locally quasi H -closed) x ∈ X , tồn lân cận mở U x cho U khơng gian tựa H -đóng X 2.3.2 Nhận xét Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi (i) Nếu (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng địa phương (ii) Nếu (X, τ ) khơng gian S -đóng địa phương (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng địa phương 2.3.3 Định lý Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Khi đó, (X, τ ) khơng gian S -đóng địa phương (X, τ ) không gian tựa H -đóng địa phương Chứng minh Điều kiện cần Suy từ Nhận xét 2.3.2 32 Điều kiện đủ Giả sử (X, τ ) không gian tựa H -đóng địa phương phần tử x ∈ X Khi đó, tồn lân cận mở U x cho (U, τU ) không gian tựa H -đóng (X, τ ) Bây ta chứng minh (U, τU ) không gian S -đóng (X, τ ) Thật vậy, giả sử {Vα : α ∈ ∧} phủ U tập nửa mở (U, τU ), suy {cl(Vα ) : α ∈ ∧} phủ U Vì Vα tập nửa mở nên cl(Vα ) tập đóng quy Lại vì, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị, nên cl(Vα ) tập mở quy suy cl(Vα ) tập mở Vì vậy, {cl(Vα ) : α ∈ ∧} phủ U tập mở Vì (U, τU ) khơng gian tựa H -đóng nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho U ⊂ ∪{cl(Vα ) : α ∈ ∧0 } Điều kéo theo (U, τU ) khơng gian S -đóng 2.3.4 Định lý ([11]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng địa phương; (ii) Với điểm x ∈ X , tồn lân cận mở Ux cho Ux tập tựa H -đóng tương (X, τ ); (iii) Với điểm x ∈ X , tồn lân cận mở Ux cho int(cl(Ux )) tập tựa H -đóng tương (X, τ ); (iv) Với điểm x ∈ X , tồn lân cận mở Ux cho int(cl(Ux )) không gian tựa H -đóng (X, τ ); (v) Với điểm x ∈ X , tồn tập Px ∈ P O(X, τ ) cho x ∈ Px Px tập tựa H -đóng tương (X, τ ); (vi) Với điểm x ∈ X , tồn tập Px ∈ P O(X, τ ) cho x ∈ Px Px không gian tựa H -đóng (X, τ ); (vii) Với điểm x ∈ X , tồn tập Px ∈ P O(X, τ ) cho x ∈ Px int(cl(Px )) tập tựa H -đóng tương (X, τ ); (viii) Với điểm x ∈ X , tồn tập Px ∈ P O(X, τ ) cho x ∈ Px 33 int(cl(Px )) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Suy từ Nhận xét 2.2.2 (ii) ⇒ (iii) Giả sử với điểm x ∈ X , tồn lân cận mở Ux cho Ux tập tựa H -đóng tương (X, τ ) {Vα : α ∈ ∧} phủ int(cl(Ux )) tập mở (X, τ ) Khi đó, Ux -mở nên Ux = int(Ux ) ⊂ int(cl(Ux )) Suy ra, {Vα : α ∈ ∧} phủ Ux tập mở (X, τ ) Lại vì, Ux tập tựa H -đóng tương (X, τ ) nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho Ux ⊂ ∪{cl(Vα ) : α ∈ ∧0 } Điều kéo theo int(cl(Ux )) ⊂ ∪{cl(Vα ) : α ∈ ∧0 } Vậy, int(cl(Ux )) tập tựa H -đóng tương (X, τ ) (iii) ⇒ (iv) Suy từ Mệnh đề 2.2.12 (iv) ⇒ (i), (iii) ⇒ (v), (viii) ⇒ (i) Hiển nhiên (v) ⇔ (vi), (vii) ⇔ (viii) Suy từ Mệnh đề 2.2.12 (v) ⇒ (vii) Giả sử với điểm x ∈ X , tồn tập Px ∈ P O(X, τ ) chứa x cho Px tập tựa H -đóng tương (X, τ ) {Vα : α ∈ ∧} phủ int(cl(Px )) tập mở (X, τ ) Khi đó, Px ∈ P O(X, τ ) nên Px ⊂ int(cl(Px )) Suy ra, {Vα : α ∈ ∧} phủ Px tập mở (X, τ ) Nhờ (v) nên tồn tập hữu hạn ∧0 ∧ cho Px ⊂ ∪{cl(Vα ) : α ∈ ∧0 } Điều kéo theo int(cl(Px )) ⊂ ∪{cl(Vα ) : α ∈ ∧0 } Vậy, int(cl(Px )) tập tựa H -đóng tương (X, τ ) 2.3.5 Định lý ([11]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô tập B ∈ CO(X, τ ) Khi đó, (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng địa phương (B, τB ) khơng gian tựa H -đóng địa phương Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian tựa H -đóng địa phương, tập B ∈ CO(X, τ ) x ∈ B Khi đó, x ∈ B ⊂ X (X, τ ) không gian tựa H đóng địa phương nên tồn lân cận mở Ux x cho (Ux , τUx ) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) Vì Ux tập tựa H -đóng tương 34 (X, τ ) Lại B ∈ CO(X, τ ) nên theo Hệ 2.2.20(i), Ux ∩ B tập tựa H -đóng tương (B, τB ) Mặt khác, ta lại có x ∈ Ux ∩ B ∈ τB , nên theo Định lí 2.3.4(ii) (B, τB ) khơng gian tựa H -đóng địa phương 2.3.6 Định lý ([11]) Không gian tôpô (X, τ ) tựa H -đóng địa phương với điểm x ∈ X , tồn tập Vx ∈ P O(X, τ ) cho x ∈ Vx (Vx , τVx ) không gian tựa H -đóng địa phương Chứng minh Điều kiện cần Suy từ Định lí 2.3.4(vi) Điều kiện đủ Giả sử x ∈ X Khi đó, nhờ giả thiết điều kiện đủ, tồn tập Vx ∈ P O(X, τ ) cho x ∈ Vx (Vx , τVx ) khơng gian tựa H -đóng địa phương Do đó, tồn Ux ∈ τVx để x ∈ Ux (Ux , τUx ) không gian tựa H -đóng (Vx , τVx ) Lại vì, Ux ∈ P O(X, τ ), nên theo Mệnh đề 2.2.15 (Ux , τUx ) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) Vì vậy, theo Định lí 2.3.4(vi) ta thu (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng địa phương 2.3.7 Định lý ([11]) Nếu (X, τ ) không gian tựa H -đóng địa phương tồn ánh f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ tiền mở α-liên tục (Y, σ) khơng gian tựa H -đóng địa phương Chứng minh Giả sử phần tử y ∈ Y , ánh xạ f toàn ánh nên tồn phần tử x ∈ X cho f (x) = y Vì (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng địa phương nên tồn lân cận mở Ux chứa x cho (Ux , τUx ) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) Do đó, Ux tập tựa H -đóng tương (X, τ ) Vì ánh xạ f α-liên tục nên theo Bổ đề 2.2.28 f (Ux ) tập tựa H -đóng tương (Y, σ) Lại vì, ánh xạ f tiền mở, Ux ∈ τ nên f (Ux ) tập tiền mở (Y, σ) Vì vậy, theo Định lí 2.3.4(v) ta (Y, σ) khơng gian tựa H -đóng địa phương 2.3.8 Định lý ([11]) Giả sử {(Xα , τα ) : α ∈ ∧} họ khơng gian tơpơ Xα tựa H -đóng địa phương (Xα , τα ) Khi đó, khơng gian tơpơ tích α∈∧ 35 khơng gian tựa H -đóng địa phương, với α ∈ ∧ Chứng minh Suy từ Định lý 2.3.7, phép chiếu tự nhiên ánh xạ mở liên tục 36 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau Hệ thống lại số khái niệm tập nửa mở, tập nửa đóng, tập tiền mở, tập α-mở, tập α-đóng, tập β -mở, tập β -đóng, tính chất chúng khơng gian tơpơ Đưa số tính chất thể Nhận xét 1.1.7, Bổ đề 1.1.12, Nhận xét 1.1.25 Trình bày vấn đề tập hợp S -đóng tương đối Chứng minh Bổ đề 1.2.7, Bổ đề 1.2.9, Bổ đề 1.2.11, Định lý 1.2.13, Định lý 1.2.16 mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt Đưa Nhận xét 1.2.2, Bổ đề 1.2.3, Bổ đề 1.2.4, Bổ đề 1.2.5, Định lý 1.2.6 Trình bày vấn đề khơng gian tựa H -đóng, tập hợp tựa H -đóng tương đối khơng gian tựa H -đóng địa phương Chứng minh Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.15, Định lý 2.2.4, Định lý 2.2.5, Định lý 2.2.13, Mệnh đề 2.2.14, Định lý 2.2.17, Định lý 2.2.23, Định lý 2.2.26, Bổ đề 2.2.28, Định lý 2.3.4, Định lý 2.3.6, Định lý 2.3.7 mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt Đưa Định lý 2.1.4, Định lý 2.1.8, Hệ 2.1.9 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân (2007), Bài giảng tôpô đại cương, Trường Đại học Vinh [2] J L Kelly (1973), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Bùi Minh Tuyển (2009), Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [4] A Mathur (1979), A note on S-closed spaces, Proc Amer Math Soc., Vol 74 Number 2, 350-352 [5] A S Mashhour, A A Allam and A M Zahran (1991), On S-closed spaces, Acta Math Hung., 57(1-2), 11-14 [6] J Porter, J Thomas (1961), On H-closed and minimal Hausdorrf spaces, Trans Amer Math Soc., 138, 159-170 [7] M H Woo, T Kwon, and J Sakong (1983), A note on S-closed spaces, Bull Korean Math Soc., Vol 20, No 2, 95-97 [8] T Noiri (1980), A note on extremally disconnected spaces, Proc Amer Math Soc., Vol 79, Number 2, 327-330 [9] T Thompson (1976), S-closed spaces, Proc Amer Soc., 60, 335-338 [10] Y Yang (1982), Characterizations of quasi H-closed spaces, Bull Korean Math Soc., Vol 19, No 1, 35-37 [11] Z Duszy´ nski (2010), On quasi H-closed subspaces, Ricerche Matematica DOI 10.1007/s 11587-010-0079-4 ... τ ) khơng gian tựa H -đóng (iii) Nếu A B khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) A ∪ B khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) (iv) Nếu (X, τ ) không gian tựa H -đóng, A tập đóng X biên A khơng gian tựa H -đóng... ) không gian Hausdorff tập A ∈ P O(X, τ ) không gian tựa H -đóng (X, τ ) Khi đó, (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng XA khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) 2.2.28 Bổ đề ([11]) Giả sử (X, τ ), (Y, σ) không. .. cho U không gian tựa H -đóng X 2.3.2 Nhận xét Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi (i) Nếu (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng (X, τ ) khơng gian tựa H -đóng địa phương (ii) Nếu (X, τ ) không gian S