Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về không gian S-đóng đếm được" doc

S S s S s T 0 T 1 T 2 S s S s S s S s (X, τ) A X A U U ⊂ A ⊂ cl(U ) (X, τ) SO(X , τ) SC(X, τ) A A scl(A) A A sint(A) scl(A) A sint(A) A A (X, τ) A SR(X, τ) (X, τ) 1 (X, τ) A (X, τ ) sint(A) = A A ⊂ cl(int(A)) (X, τ) A (X, τ) scl(A) = A int(cl(A)) ⊂ A (X, τ) scl(A) ∈ SR(X, τ) A ∈ SO(X, τ) int(cl(A)) = scl(A) A ∈ τ A (X, τ) A = cl(int(A)) RC(X, τ ) (X, τ) A (X, τ) A A 1 , A 2 ∈ RC(X, τ ) A 1 ∪ A 2 ∈ RC(X, τ ) A 1 , A 2 ∈ RC(X, τ ) A 1 = cl(int(A 1 )) A 2 = cl(int(A 2 )) A 1 ∪ A 2 = cl(int(A 1 ) ∪ int(A 2 )) ⊂ cl(int(A 1 ∪ A 2 )) A 1 ∪ A 2 int(A 1 ∪ A 2 ) ⊂ A 1 ∪ A 2 cl(int(A 1 ∪ A 2 )) ⊂ A 1 ∪ A 2 A 1 ∪ A 2 = cl(int(A 1 ∪ A 2 )) A 1 ∪ A 2 ∈ RC(X, τ ).  A (X, τ) X\A RO(X, τ) (X, τ) A (X, τ) A A (X, τ) A = int(cl(A)) A 1 , A 2 ∈ RO(X, τ) A 1 ∩ A 2 ∈ RO(X, τ) A 1 , A 2 ∈ RO(X, τ) A 1 = int(cl(A 1 )) A 2 = int(cl(A 2 )) int(cl(A 1 ∩A 2 )) ⊂ int(cl(A 1 )∩cl(A 2 )) = A 1 ∩A 2 . A 1 ∩A 2 A 1 ∩A 2 ⊂ cl(A 1 ∩ A 2 ) A 1 ∩ A 2 ⊂ int(cl(A 1 ∩ A 2 )) A 1 ∩ A 2 = int(cl(A 1 ∩ A 2 )) A 1 ∩ A 2 ∈ RO(X, τ).  (X, τ) A ∈ RO(X, τ) A ∈ SO(X, τ) cl(A) ∈ R C(X, τ) A ∈ RC(X, τ ) A ∈ SC(X, τ ) int(A) ∈ RO(X, τ) A ∈ RO(X, τ) A = int(cl(A)). cl(A) = cl(int(cl(A))) cl(A) ∈ RC(X, τ) A ∈ SO(X, τ) A ⊂ cl(int(A)) cl(A) ⊂ cl(int(A)) ⊂ cl(int(cl(A))) int(cl(A)) ⊂ cl(A) cl(int(cl(A))) ⊂ cl(A) cl(A) = cl(int(cl(A))) cl(A) ∈ RC(X, τ) A ∈ RC(X, τ ) A = cl(int(A)) int(A) = int(cl(int(A))) int(A) ∈ RO(X, τ) A ∈ SC(X, τ ) int(cl(A)) ⊂ A int(cl(int(A))) ⊂ int(cl(A)) ⊂ int(A) int(A) ⊂ cl(int(A)) int(A) ⊂ int(cl(int(A))) int(A) = int(cl(int(A))) int(A) ∈ RO(X, τ).  A (X, τ) U U ⊂ A ⊂ cl(U ) (X, τ) (X, τ) (X, τ) F (X, τ) U F = cl(U) U F = cl(U) U F = cl(U) U F = cl(U) ⇒ F (X, τ) F = cl(int(F )) U = int(F ) U F = cl(U ) ⇒ ⇒ ⇒ U F = cl(U) F ⇒ F (X, τ ) int(F ) = U U F = cl(U ) ⇒ U F = cl(U) U V V ⊂ U ⊂ cl(V ) F = cl(V ) F  (X, τ) A (X, τ ) F A = int(F ) F A = int(F ) F A = int(F )  A (X, τ ) A ⊂ int(cl(A)) (X, τ) A (X, τ) A S s (X, τ) S S {U α : α ∈ ∧} (X, τ ) ∧ 0 ∧ X = ∪{cl(U α ) : α ∈ ∧ 0 } (X, τ) (X, τ) S (X, τ) U = {V α : α ∈ ∧} (X, τ) ∧ 0 ∧ X = ∪{cl(V α ) : α ∈ ∧ 0 } ⇒ (X, τ) S {U α : α ∈ ∧} (X, τ) {U α : α ∈ ∧} (X, τ) (X, τ) S ∧ 0 ∧ X = ∪{cl(U α ) : α ∈ ∧ 0 } cl(U α ) = U α α ∈ ∧ 0 X = ∪{U α : α ∈ ∧ 0 } ⇒ {V α : α ∈ ∧} (X, τ) {cl(V α ) : α ∈ ∧} (X, τ) ∧ 0 ∧ X = ∪{cl(V α ) : α ∈ ∧ 0 } ⇒ {U α : α ∈ ∧} (X, τ) {cl(U α ) : α ∈ ∧} (X, τ) ∧ 0 ∧ X = ∪{cl (U α ) : α ∈ ∧ 0 } (X, τ) S  (X, τ) A X RC(A, τ A ) = {F ∩ A : F ∈ RC(X, τ )} τ A τ A (X, τ) B S X (X, τ) S {F α : α ∈ ∧} X {B ∩ F α : α ∈ ∧} B B B S ∧ 0 ∧ B = ∪{B ∩ F α : α ∈ ∧ 0 } X = cl(B) = ∪{cl(B ∩ F α ) : α ∈ ∧ 0 } ⊂ ∪{cl (F α ) : α ∈ ∧ 0 } = ∪{F α : α ∈ ∧ 0 }. X = ∪{F α : α ∈ ∧ 0 } (X, τ) S  (X, τ) U ∈ τ cl(U ) ∈ τ (X, τ) (X, τ) (X, τ) (X, τ) RO(X, τ ) = RC(X, τ) cl(U ) = scl(U ) U (X, τ) (X, τ) (X, τ) S (X, τ) {U α : α ∈ ∧} (X, τ ) {U α : α ∈ ∧} (X, τ) (X, τ) ∧ 0 ∧ X = ∪{U α : α ∈ ∧ 0 } (X, τ) S  (X, τ) H H {U α : α ∈ ∧} X ∧ 0 ∧ X = ∪{cl(U α ) : α ∈ ∧ 0 } (X, τ) (X, τ ) H (X, τ) s s {U α : α ∈ ∧} (X, τ ) ∧ 0 ∧ X = ∪{scl(U α ) : α ∈ ∧ 0 } (X, τ) s (X, τ) S (X, τ) s X f : (X, τ) −→ (Y, σ) (X, τ ) (Y, σ) f −1 (U) ∈ SO(X, τ ) U ∈ SO(Y, σ) f : (X, τ) −→ (Y, σ) (X, τ) (Y, σ) f scl(f −1 (B)) ⊂ f −1 (scl(B)) B ⊂ Y (X, τ) s f : (X, τ) −→ (Y, σ) (Y, σ) s (X, τ) s f : (X, τ) −→ (Y, σ) {U α : α ∈ ∧} Y Y f {f −1 (U α ) : α ∈ ∧} X X {scl(f −1 (U α )) : α ∈ ∧} X (X, τ) s ∧ 0 ∧ X =  α∈∧ 0 scl(f −1 (U α )) f scl(f −1 (U α )) ⊂ f −1 (scl(U α )) α ∈ ∧ 0 Y = f(X) =  α∈∧ 0 f(scl(f −1 (U α ))) ⊂  α∈∧ 0 f(f −1 (scl(U α ))) =  α∈∧ 0 scl(U α ) =  α∈∧ 0 U α . Y =  α∈∧ 0 U α (Y, σ) s  f : (X, τ) −→ (Y, σ) (X, τ ) (Y, σ) ν ν f −1 (U) (X, τ) U (Y, σ). (X, τ) f : (X, τ) −→ (Y, σ) ν (Y, σ) s (X, τ) f : ( X, τ ) −→ (Y, σ) ν {U α : α ∈ ∧} Y {f −1 (U α ) : α ∈ ∧} X (X, τ) ∧ 0 ∧ X =  α∈∧ 0 f −1 (U α ) f Y = f(X) = f   α∈∧ 0 f −1 (U α )  =  α∈∧ 0 f(f −1 (U α )) =  α∈∧ 0 U α . (Y, σ) s  s S (X, τ) f : (X, τ) −→ (Y, σ) ν (Y, σ) S S (X, τ) S S X S S (X, τ) S {U n : n = 1, 2, . . . ) X I {1, 2, . . . } X =  n∈I cl(U n ) (X, τ) {U n : n = 1, 2, . . . } X I {1, 2, . . . } X = ∪{cl(U n ) : n ∈ I} (X, τ) S (X, τ) (X, τ) P P G δ (X, τ) (X, τ) P S X τ = {∅} ∪ {A ⊂ X : X\A } τ X (X, τ) P S τ X ∅ X τ A 1 ∈ τ A 2 ∈ τ A 1 = ∅ A 2 = ∅ A 1 ∩ A 2 = ∅ ∈ τ A 1 = ∅ A 2 = ∅ X\A 1 X\A 2 X\(A 1 ∩ A 2 ) = (X\A 1 ) ∪ (X\A 2 ) A 1 ∩ A 2 ∈ τ {A i : i ∈ I} τ A i = ∅ i ∈ I ∪{A i : i ∈ I} = ∅ ∈ τ i 0 ∈ I A i 0 = ∅ X\A i 0 X\ ∪ {A i : i ∈ I} = ∩{X\A i : i ∈ I} ⊂ X\A i 0 X\ ∪ {A i : i ∈ I} ∪{A i : i ∈ I} ∈ τ τ X (X, τ) P G G δ X G = ∩{U n : n = 1, 2, . . . } U n ∈ τ n n 0 U n 0 = ∅ G = ∅ ∈ τ U n = ∅ n X\U n n U n = X\B n B n ∩{U n : n = 1, 2, . . . } = ∩{X\B n : n = 1, 2, . . . } = X\ ∪ {B n : n = 1, 2, . . . } B n n ∪{B n : n = 1, 2, . . . } X\ ∩ {U n : n = 1, 2, . . . } G = ∩{U n : n = 1, 2, . . . } ∈ τ (X, τ) P (X, τ) S F (X, τ) A ∈ τ F = cl(A) A = ∅ F = ∅ A = ∅ X\A A = X\B B cl(A) = cl(X\B) = X\int(B) int(B) = ∅ int(B) ∈ τ X\int(B) X int(B) X\int(B) int(B) = ∅ F = cl(A) = X F X F = ∅ F = X X (X, τ) S  P (X, τ ) S (X, τ) (X, τ) S X (X, τ) S X τ = {∅} ∪ {A ⊂ X : X\A } τ X (X, τ) S (X, τ) X X = {x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . } n = 1, 2, . . . A n = {x 1 , x 2 , . . . , x n } U n = {X\A : A ∈ P(A n )} P(A n ) = {A : A ⊂ A n } U n n U = ∞  n=1 U n U τ U (X, τ) (X, τ) (X, τ) x, y ∈ X x = y U x V y U ∩ V = ∅ U ∈ τ V ∈ τ X\U X\V (X\U ) ∪ (X\V ) = X\(U ∩ V ) = X X (X, τ )  (X, τ) (X, τ) X (X, τ) (X, τ) S (X, τ) {F n : n = 1, 2, . . . } (X, τ) (X, τ) {F n : n = 1, 2, . . . } (X, τ) (X, τ ) I {1, 2, . . . } X =  n∈I F n (X, τ) S  f : (X, τ) −→ (Y, σ) (X, τ ) (Y, σ) f −1 (V ) ∈ τ V ∈ SO(Y, σ) (X, τ) f : (X, τ) −→ (Y, σ) (Y, σ) S (X, τ) f : (X , τ) −→ (Y, σ) {U n : n = 1, 2, . . . } (Y, σ) {f −1 (U n ) : n = 1, 2, . . . } (X , τ) (X, τ) I {1, 2, . . . } X =  n∈I f −1 (U n ) Y = f(X) = f   n∈I f −1 (U n )  =  n∈I U n ⊂  n∈I cl(U n ) ⊂ Y. Y =  n∈I cl(U n ) (Y, σ) S  (X, τ) s s {U n : n = 1, 2, . . . } X I {1, 2, . . . } X = ∪{scl(U n ) : n ∈ I} s s s S (X, τ) s X (X, τ) A (X, τ) SR(A, τ A ) = A ∩ SR(X, τ) τ A τ A (X, τ) s U ∈ RO(X, τ) U s (X, τ) (X, τ) s U ∈ RO(X, τ) {A n : n = 1, 2, . . . } U U U ∈ RO(X, τ) U n ∈ {1, 2, . . . } F n ∈ SR(X, τ) A n = U ∩ F n X\U ∈ RC(X, τ ) X\U ∈ SR(X, τ) {X\U } ∪ {F n : n = 1, 2, . . . } (X, τ) I {1, 2, . . . } X = (X\U ) ∪   n∈I F n  . U ⊂  n∈I F n U =  n∈I A n U s (X, τ).  f : (X, τ) −→ (Y, σ) (X, τ) (Y, σ) f f(U) ∈ SO(Y, σ) U ∈ SO(X, τ) f f(F ) ∈ SC(Y, σ) F ∈ SC(X, τ ) f : (X, τ) −→ (Y, σ) f f : (X, τ) −→ (Y, σ) (X, τ) s (Y, σ) s f : (X, τ ) −→ (Y, σ) (Y, σ) s (X, τ) s f : (X, τ) −→ (Y, σ) (X, τ) s (Y, σ) s {U n : n = 1, 2, . . . } Y {f −1 (U n ) : n = 1, 2, . . . } X (X, τ) s I {1, 2, . . . } X =  n ∈ I scl(f −1 (U n )) f scl(f −1 (U n )) ⊂ f −1 (scl(U n )) n = 1, 2, . . . X ⊂  n∈I f −1 (scl(U n )) Y = f(X) ⊂  n∈I scl(U n ) Y =  n∈I scl(U n ) Y s f : (X, τ ) −→ (Y, σ) (Y, σ) s (X, τ) s {U n : n = 1, 2, . . . } X f {f(U n ) : n = 1, 2, . . . } Y f f f(U n ) n = 1, 2, . . . {f(U n ) : n = 1, 2, . . . } Y (Y, σ) s I {1, 2, . . . } Y =  n∈I f(U n ) X = f −1 (Y ) =  n∈I U n X s  (X, τ) s s {U n : n = 1, 2, . . . } (X, τ ) I {1, 2, 3, . . . } X = ∪{scl(U n ) : n ∈ I} f : (X, τ) −→ (Y, σ) f [...]... là s-compact yếu Thật vậy, giả sử {Un : n = 1, 2 } là phủ mở đếm được của Y Vì f là toàn ánh liên tục nên {f 1 (Un ) : n = 1, 2, } là phủ mở đếm được của X Nhờ giả thiết X là s-compact yếu, tồn tại tập con hữu hạn I của {1, 2, } sao cho X = scl(f 1 (Un )) Mặt khác, vì f là toàn ánh liên tục và mở nI nên theo Bổ đề 3.26 thì f là không giải được Suy ra, scl(f 1 (Un)) f 1 (scl(Un)), với mọi