Về không gian s đóng đếm được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— BÙI MINH TUYỂN VỀ KHÔNG GIAN S -ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VINH - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— BÙI MINH TUYỂN VỀ KHƠNG GIAN S -ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS TRẦN VĂN ÂN VINH - 2009 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Không gian S-đóng khơng gian s-đóng 1.1 Các kiến thức chuẩn bị 1.2 Khơng gian S-đóng khơng gian s-đóng 12 Chương Khơng gian S-đóng đếm 21 2.1 Một số đặc trưng khơng gian S-đóng đếm 21 2.2 Mối quan hệ không gian S- đóng đếm khơng gian compact yếu 26 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1976, T Thompson giới thiệu khái niệm không gian S-đóng (S-closed) nhằm mở rộng nhiều tính chất quan trọng không gian compact tôpô Đến năm 1984, J R Porter R G Woods đề xuất khái niệm nghiên cứu không gian compact yếu (feebly compact) đồng thời đặt câu hỏi có hay khơng lớp khơng gian "nằm giữa" hai lớp khơng gian S-đóng compact yếu Vấn đề sau nghiên cứu nhà toán học như: M Ganster, N Ergun, K Dlaska, Trong báo Countably S-closed spaces (1991) K Dlaska, N Ergun M Ganster, tác giả lớp khơng gian S-đóng đếm (countably S-closed) nằm lớp không gian S-đóng compact yếu Trên sở số kết nhà tốn học đó, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compact yếu Từ đó, chúng tơi tìm điều kiện để hai lớp khơng gian S-đóng đếm compact yếu trùng Ngồi ra, nghiên cứu số loại không gian khác không gian không liên thông cực trị (extremally disconnected), khơng gian s-đóng (s-closed), khơng gian s-đóng đếm (countably s-closed), không gian s-compact yếu (feebly s-compact) mối quan hệ tổng thể với khơng gian S-đóng đếm Với nội dung nghiên cứu này, luận văn trình bày hai chương Chương Khơng gian S-đóng khơng gian s-đóng Trong chương này, phần đầu chúng tơi trình bày kiến thức cần thiết cho phần sau như: tập nửa mở, tập nửa đóng, tập đóng quy, tập mở quy Tiếp đó, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian S-đóng, khơng gian s-đóng mối quan hệ chúng Chương Khơng gian S-đóng đếm Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian S-đóng đếm được, không gian compact yếu, P -không gian, không gian km-hồn chỉnh, Tiếp đó, chúng tơi trình bày đặc trưng khơng gian S-đóng đếm nghiên cứu mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm với khơng gian compact yếu Từ đó, trình bày điều kiện để lớp khơng gian S-đóng đếm lớp không gian compact yếu trùng Cuối cùng, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất khơng gian s-đóng đếm không gian s-compact yếu, ảnh không gian qua số ánh xạ Các kết Luận văn cơng bố tài liệu [2] Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán Tác giả xin cảm ơn PGS.TS Đinh Huy Hoàng, PGS.TS Tạ Quang Hải, PGS.TS Tạ Khắc Cư, PGS.TS Phạm Ngọc Bội thầy, cô giáo Tổ Giải tích, khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 15 - Giải tích cộng tác, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG KHƠNG GIAN S-ĐĨNG VÀ KHƠNG GIAN s-ĐÓNG 1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.1 Định nghĩa Không gian tôpô cặp (X, τ ), X tập hợp τ họ tập X thỏa mãn điều kiện sau (i) ∅ ∈ τ X ∈ τ ; (ii) Nếu U1 ∈ τ U2 ∈ τ U1 ∩ U2 ∈ τ ; (iii) Nếu {Ui : i ∈ I} họ tập X Ui ∈ τ , với Ui ∈ τ i ∈ I i∈I Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô, phần tử τ gọi tập mở không gian X Phần bù tập mở gọi tập đóng Họ τ gọi tôpô tập X 1.1.2 Định nghĩa ([5]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa mở (semi-open) tồn tập mở U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) Ký hiệu SO(X, τ ) họ tất tập nửa mở (X, τ ) 1.1.3 Nhận xét (i) Nếu A tập mở không gian tôpô (X, τ ) A tập nửa mở (ii) Nếu x ∈ X {x} tập nửa mở {x} tập mở 1.1.4 Mệnh đề Hợp họ tùy ý tập nửa mở tập nửa mở Chứng minh Giả sử {Ai : i ∈ I} họ tập nửa mở không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, với i ∈ I, tồn tập mở Ui cho Ui ⊂ Ai ⊂ cl(Ui ) Ui ⊂ Suy ra, i∈I Ai ⊂ i∈I cl(Ui ) ⊂ cl i∈I i∈I Ai tập nửa mở Vậy, Ui , i∈I Ui tập mở i∈I 1.1.5 Định nghĩa ([5]) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, hợp tất tập nửa mở nằm A gọi nửa phần (semi-interior) A ký hiệu sint(A) 1.1.6 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, sint(A) tập nửa mở lớn nằm A Chứng minh Suy từ Mệnh đề 1.1.4 Định nghĩa 1.1.5 1.1.7 Định nghĩa ([5]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa đóng (semi-closed) X\A tập nửa mở Ký hiệu SC(X, τ ) họ tất tập nửa đóng (X, τ ) 1.1.8 Nhận xét Nếu A tập đóng khơng gian tơpơ (X, τ ) A tập nửa đóng 1.1.9 Định nghĩa ([5]) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, giao tất tập nửa đóng chứa A gọi bao nửa đóng (semi-closure) A ký hiệu scl(A) 1.1.10 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, scl(A) tập nửa đóng nhỏ chứa A Chứng minh Giả sử {Fi : i ∈ I} họ tất tập nửa đóng chứa A Khi ta có, X\scl(A) = X\ (X\Fi ) Vì Fi nửa đóng, với i ∈ I Fi = i∈I i∈I nên X\Fi nửa mở, với i ∈ I Nhờ Mệnh đề 1.1.4, X\scl(A) = (X\Fi ) i∈I tập nửa mở Do đó, scl(A) tập nửa đóng Từ định nghĩa scl(A) ta suy điều phải chứng minh 1.1.11 Định nghĩa ([5]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi nửa quy (semi-regular) A vừa tập nửa đóng, vừa tập nửa mở Ký hiệu SR(X, τ ) họ tất tập nửa quy (X, τ ) 1.1.12 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập nửa mở (X, τ ); (ii) sint(A) = A; (iii) A ⊂ cl(int(A)); (iv) A ⊂ scl(sint(A)) Chứng minh (i) ⇔ (ii) Suy từ định nghĩa tập hợp nửa mở, tập hợp nửa phần Mệnh đề 1.1.6 (i) ⇒ (iii) Giả sử A tập nửa mở (X, τ ) Khi đó, tồn tập mở U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) Vì U mở nên ta có A ⊂ cl(U ) = cl(int(U )) ⊂ cl(int(A)) (iii) ⇒ (i) Giả sử A ⊂ cl(int(A)) Đặt int(A) = U Ta có U tập mở U ⊂ A ⊂ cl(U ) Vậy, A tập nửa mở (i) ⇒ (iv) Ta có A tập nửa mở A = sint(A) Từ suy ra, A ⊂ scl(A) = scl(sint(A)) (iv) ⇒ (i) Giả sử A ⊂ scl(sint(A)) Đặt U = sint(A) Theo Mệnh đề 1.1.6, U tập nửa mở U ⊂ A ⊂ scl(U ) ⊂ cl(U ) Vì U tập nửa mở nên tồn tập mở V cho V ⊂ U ⊂ cl(V ) Từ suy ra, V ⊂ A ⊂ cl(V ) Vậy, A tập nửa mở 1.1.13 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi (i) X\scl(A) = sint(X\A) (ii) X\sint(A) = scl(X\A) Chứng minh (i) Giả sử {Fi : i ∈ I} họ tất tập nửa đóng chứa A Khi đó, scl(A) = Fi Suy ra, X\scl(A) = X\ i∈I Fi = i∈I (X\Fi ) Đặt i∈I Ui = X\Fi , ta có {Ui : i ∈ I} họ tất tập nửa mở (X, τ ) mà Ui ⊂ X\A Từ suy ra, X\scl(A) = Ui = sint(X\A) i∈I (ii) Theo (i) ta có X\scl(A) = sint(X\A) Thay A X\A ta X\scl(X\A) = sint(A) Từ suy ra, X\sint(A) = scl(X\A) 1.1.14 Hệ Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập nửa đóng (X, τ ); (ii) Tồn tập đóng F (X, τ ) cho int(F ) ⊂ A ⊂ F ; (iii) scl(A) = A; (iv) int(cl(A)) ⊂ A; (v) sint(scl(A)) ⊂ A Chứng minh Suy từ Định nghĩa 1.1.7, Mệnh đề 1.1.12 Mệnh đề 1.1.13 1.1.15 Mệnh đề ([5], [9]) Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Khi (i) int(cl(A)) ⊂ scl(A), với A ⊂ X (ii) scl(A) = A ∪ int(cl(A)), với A ⊂ X (iii) scl(A) ∈ SR(X, τ ), với A ∈ SO(X, τ ) (iv) int(cl(A))=scl(A), với A ∈ τ Chứng minh (i) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, scl(A) tập nửa đóng Nhờ Hệ 1.1.14, int(cl(scl(A))) ⊂ scl(A) Mặt khác, cl(A) ⊂ cl(scl(A)) nên int(cl(A)) ⊂ int(cl(scl(A))) Từ suy ra, int(cl(A)) ⊂ scl(A) (ii) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Nhờ khẳng định (i), int(cl(A)) ⊂ scl(A) Suy A ∪ int(cl(A)) ⊂ A ∪ scl(A) = scl(A) Mặt khác ta có, int(cl(A)) ⊂ A ∪ int(cl(A)) ⊂ cl(A), cl(A) tập đóng Điều chứng tỏ A ∪ int(cl(A)) tập nửa đóng chứa A Từ suy ra, scl(A) ⊂ A ∪ int(cl(A)) Vậy, scl(A) = A ∪ int(cl(A)) (iii) Giả sử A ∈ SO(X, τ ) Khi đó, tồn tập mở U cho U ⊂ A ⊂ cl(U ) Suy U ⊂ scl(U ) ⊂ scl(A) ⊂ scl(cl(U )) = cl(U ) Do đó, scl(A) ∈ SO(X, τ ) Mặt khác ta có, scl(A) ∈ SC(X, τ ) Vậy, scl(A) ∈ SR(X, τ ) (iv) Giả sử A ∈ τ Nhờ khẳng định (i) ta có int(cl(A)) ⊂ scl(A) Ta chứng minh scl(A) ⊂ int(cl(A)) Thật vậy, giả sử x ∈ / int(cl(A)) Khi ta có, x ∈ X\int(cl(A)) = cl(int(X\A)) cl(int(X\A)) tập nửa mở Vì A tập mở nên A ⊂ int(cl(A)) A ∩ cl(int(X\A)) ⊂ int(cl(A)) ∩ (X\int(cl(A))) = ∅ Từ suy ra, x ∈ / scl(A) Điều kéo theo, scl(A) ⊂ int(cl(A)) Vậy, int(cl(A)) = scl(A) 1.1.16 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) x ∈ X Khi đó, x ∈ scl(A) U ∩ A = ∅, với tập nửa mở U mà U chứa x Chứng minh Đặt F = {y ∈ X : U ∩ A = ∅, với tập nửa mở U chứa y} Để chứng minh Định lý, ta chứng minh F = scl(A) Thật vậy, lấy x ∈ scl(A) Giả sử x ∈ / F Khi đó, tồn tập nửa mở V chứa x cho V ∩ A = ∅ Suy A ⊂ X\V Vì X\V tập nửa đóng nên scl(A) ⊂ X\V Do x ∈ V nên x ∈ / X\V Từ suy x ∈ / scl(A) Điều mâu thuẫn chứng tỏ x ∈ F Vậy, scl(A) ⊂ F Giả sử K tập nửa đóng X cho K = X A ⊂ K Khi ta có A ∩ (X\K) = ∅ Lấy x ∈ X mà x ∈ / K Vì X\K tập nửa mở chứa x nên x ∈ / F Suy F ⊂ K Do đó, F bị chứa tập nửa đóng chứa A Điều kéo theo, F ⊂ scl(A) Vậy, F = scl(A) 1.1.17 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, scl({x}) ∩ A = ∅, với x ∈ scl(A) scl(A)\A khơng chứa tập nửa đóng khác rỗng Chứng minh Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) cho với x ∈ scl(A), ta có scl({x}) ∩ A = ∅ Ta chứng minh scl(A)\A không chứa tập nửa đóng khác rỗng Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tập nửa đóng 2.1.17 Định nghĩa ([10]) Ánh xạ f : (X, τ )→(Y, σ) từ không gian tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) gọi nửa liên tục mạnh (strongly semi-continuous) f −1 (V ) ∈ τ , với V ∈ SO(Y, σ) 2.1.18 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) không gian compact đếm f : (X, τ )→(Y, σ) toàn ánh nửa liên tục mạnh Khi đó, (Y, σ) khơng gian S-đóng đếm Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian compact đếm được, f : (X, τ )→(Y, σ) toàn ánh nửa liên tục mạnh {Un : n = 1, 2, } phủ đếm (Y, σ) tập nửa mở Khi đó, {f −1 (Un ) : n = 1, 2, } phủ mở đếm (X, τ ) Vì (X, τ ) compact đếm nên tồn tập hữu hạn I N∗ cho X = f −1 (Un ) Suy n∈I f −1 (Un ) Y = f (X) = f n∈I Điều kéo theo, Y = Un ⊂ = n∈I cl(Un ) ⊂ Y n∈I cl(Un ) Vậy, (Y, σ) khơng gian S-đóng đếm n∈I 2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÔNG GIAN S-ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC VÀ KHƠNG GIAN COMPACT YẾU 2.2.1 Định nghĩa ([6]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi P -không gian (P -space) Gδ -tập (X, τ ) mở 2.2.2 Mệnh đề Tồn không gian tôpô (X, τ ) P -khơng gian S-đóng đếm Chứng minh Giả sử X tập hợp không đếm τ = {∅} ∪ {A ⊂ X : X\A đếm được} Ta chứng minh τ tôpô X không gian tôpô (X, τ ) P -không gian S-đóng đếm Thật vậy, trước hết ta chứng minh τ 26 tôpô X Rõ ràng ∅ X thuộc τ Giả sử A1 ∈ τ A2 ∈ τ Nếu A1 = ∅ A2 = ∅ A1 ∩ A2 = ∅ ∈ τ Nếu A1 = ∅ A2 = ∅ X\A1 X\A2 tập đếm Suy X\(A1 ∩ A2 ) = (X\A1 ) ∪ (X\A2 ) tập đếm Do đó, A1 ∩ A2 ∈ τ Bây giờ, giả sử {Ai : i ∈ I} họ phần tử thuộc τ Nếu Ai = ∅, với i ∈ I ∪{Ai : i ∈ I} = ∅ ∈ τ Nếu tồn i0 ∈ I cho Ai0 = ∅ X\Ai0 tập đếm Vì X\ ∪ {Ai : i ∈ I} = ∩{X\Ai : i ∈ I} ⊂ X\Ai0 nên X\ ∪ {Ai : i ∈ I} tập đếm Suy ra, ∪{Ai : i ∈ I} ∈ τ Vậy, τ tôpô X Tiếp theo, ta chứng minh (X, τ ) P -không gian Thật vậy, giả sử G Gδ tập X Khi đó, G = ∩{Un : n = 1, 2, }, Un ∈ τ với n Nếu tồn n0 cho Un0 = ∅ G = ∅ ∈ τ Nếu Un = ∅ với n X\Un tập đếm với n Suy ra, Un = X\Bn , với Bn tập đếm Từ suy ra, ∩{Un : n = 1, 2, } = ∩{X\Bn : n = 1, 2, } = X\ ∪ {Bn : n = 1, 2, } Vì Bn tập đếm với n nên ∪{Bn : n = 1, 2, } tập đếm Điều kéo theo X\ ∩ {Un : n = 1, 2, } đếm Vậy, G = ∩{Un : n = 1, 2, } ∈ τ (X, τ ) P -khơng gian Cuối cùng, ta chứng minh (X, τ ) S-đóng đếm Giả sử F tập đóng quy (X, τ ) Khi đó, tồn A ∈ τ cho F = cl(A) Nếu A = ∅ F = ∅ Nếu A = ∅ X\A đếm Suy ra, A = X\B, B tập đếm Từ ta có, cl(A) = cl(X\B) = X\int(B) Giả sử int(B) = ∅ Khi đó, int(B) ∈ τ nên X\int(B) đếm Mặt khác, X không đếm int(B) đếm nên X\int(B) không đếm Điều mâu thuẫn chứng tỏ int(B) = ∅ Từ suy ra, F = cl(A) = X Vậy, F tập đóng quy X F = ∅ F = X Điều chứng tỏ phủ đếm X tập đóng quy có phủ hữu hạn Do đó, (X, τ ) S-đóng đếm 27 2.2.3 Định lý ([6]) P -không gian (X, τ ) S-đóng đếm không gian trù mật (X, τ ) compact yếu Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) P -khơng gian S-đóng đếm được, Y không gian trù mật (X, τ ) {Un : n = 1, 2, } ⊂ τ phủ mở Y Khi đó, ∩{X\cl(Un ) : n = 1, 2, } Gδ -tập (X, τ ) Vì (X, τ ) P -khơng gian nên ∩{X\cl(Un ) : n = 1, 2, } tập mở Do đó, ∪{cl(Un ) : n = 1, 2, } tập đóng Từ suy ∞ X = cl(Y ) ⊂ cl ∞ Un ⊂ cl ∞ cl(Un ) n=1 cl(Un ) ⊂ X = n=1 n=1 Điều kéo theo, {cl(Un ) : n = 1, 2, } phủ (X, τ ) tập đóng quy Do (X, τ ) S-đóng đếm nên tồn tập hữu hạn I N∗ cho X = ∪{cl(Un ) : n ∈ I} Suy ra, Y ⊂ ∪{cl(Un ) : n ∈ I} Vậy, Y không gian compact yếu (X, τ ) Điều kiện đủ Giả sử không gian trù mật P -không gian (X, τ ) compact yếu Ta chứng minh (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Thật vậy, giả sử {Fn : n = 1, 2, } phủ (X, τ ) tập đóng quy Ta có X= ∞ ∞ ∞ cl(int(Fn )) ⊂ cl Fn = n=1 n=1 int(Fn ) ⊂ X n=1 ∞ Suy ra, U = int(Fn ) khơng gian trù mật (X, τ ) Vì U n=1 không gian compact yếu nên tồn tập hữu hạn I N∗ cho U= cl(int(Fn )) = n∈I Fn Từ ta có n∈I X = cl(U ) = cl Fn = n∈I Vậy X = Fn ⊂ X cl(Fn ) = n∈I n∈I Fn (X, τ ) S-đóng đếm n∈I 28 2.2.4 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Khi đó, (X, τ ) khơng gian compact yếu Chứng minh Giả sử {Un : n = 1, 2, } phủ đếm X tập mở Khi theo Hệ 1.1.26, {cl(Un ) : n = 1, 2, } phủ đếm X tập đóng quy Vì (X, τ ) S-đóng đếm nên tồn tập hữu hạn I N∗ cho X = ∪{cl(Un ) : n ∈ I} Vậy, (X, τ ) không gian compact yếu 2.2.5 Mệnh đề ([6]) Tồn không gian tôpô compact yếu mà khơng S-đóng đếm Chứng minh Giả sử Y tập hợp vô hạn với tơpơ rời rạc (X, τ ) compact hóa điểm Y , X = Y ∪ {a} a ∈ / Y điểm không lập (X, τ ) Khi đó, (X, τ ) không gian Hausdorff compact Suy ra, (X, τ ) không gian compact yếu Giả sử {Yn : n = 1, 2, } phân hoạch Y , Yn vô hạn Với n = 1, 2, , đặt Fn = Yn ∪ {a} Khi đó, Fn ∈ RC(X, τ ), với n ∈ N∗ Dễ thấy, {Fn : n = 1, 2, } phủ (X, τ ) tập đóng quy {Fn : n = 1, 2, } khơng có phủ hữu hạn Vậy, (X, τ ) khơng S-đóng đếm 2.2.6 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị compact yếu Khi đó, (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian không liên thông cực trị compact yếu, {Fn : n = 1, 2, } phủ đếm X tập đóng quy Khi đó, theo Định lý 1.2.6, {Fn : n = 1, 2, } phủ đếm X tập mở Vì (X, τ ) compact yếu nên tồn tập hữu hạn I N∗ cho X = ∪{cl(Fn ) : n ∈ I} = ∪{Fn : n ∈ I} Điều chứng tỏ (X, τ ) S-đóng đếm 29 2.2.7 Định nghĩa ([6]) (i) Không gian tôpô (X, τ ) gọi hoàn chỉnh (perfect) tập mở (X, τ ) hợp họ đếm tập đóng (ii) Khơng gian tơpơ (X, τ ) gọi RC-hoàn chỉnh (RC-perfect) tập mở (X, τ ) hợp họ đếm tập đóng quy 2.2.8 Nhận xét Mọi khơng gian RC-hồn chỉnh khơng gian hồn chỉnh 2.2.9 Định nghĩa ([6]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi km-hoàn chỉnh (km-perfect) với U ∈ RO(X, τ ) x ∈ / U , tồn dãy {Gn : n = 1, 2, } tập mở cho ∪{Gn : n = 1, 2, } ⊂ U ⊂ ∪{cl(Gn ) : n = 1, 2, } x ∈ / ∪{cl(Gn ) : n = 1, 2, } 2.2.10 Định nghĩa ([8]) (i) Không gian tôpô (X, τ ) gi l khụng gian Lindelă of (Lindelăof space) nu mi phủ mở X có phủ đếm (ii) Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian Lindelă of di truyn (hereditarily Lindelăof space) nu mi không gian mở (X, τ ) không gian Lindelăof 2.2.11 B ([6]) Gi s (X, ) không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Khi đó, (X, τ ) khơng gian Lindelă of di truyn 2.2.12 Mnh ([6]) Gi s (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) (i) không gian không liên thông cc tr, hoc (ii) khụng gian Lindelă of di truyn Hausdorff, (iii) không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Hausdorff, (iv) không gian RC-hồn chỉnh, (v) khơng gian quy hồn chỉnh (X, τ ) km-hồn chỉnh 2.2.13 Định lý ([6]) Giả sử (X, τ ) không gian S-đóng đếm km-hồn chỉnh Khi đó, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị 30 Chứng minh Giả sử U ∈ RO(X, τ ) x ∈ / U Khi đó, (X, τ ) km-hoàn chỉnh nên tồn dãy {Gn : n = 1, 2, } tập mở cho ∞ ∞ Gn ⊂ U ⊂ n=1 cl(Gn ) n=1 ∞ x ∈ / cl(Gn ) Nhờ Bổ đề 1.2.3, {U ∩ cl(Gn ) : n = 1, 2, } n=1 phủ U tập đóng quy U Do (X, τ ) S-đóng đếm U ∈ RO(X, τ ) nên theo Mệnh đề 2.1.11, U khơng gian Sđóng đếm (X, τ ) Suy ra, tồn tập hữu hạn I N∗ cho U = ∪{U ∩ cl(Gn ) : n ∈ I} Từ ta có, U ⊂ ∪{cl(Gn ) : n ∈ I} Vì ∞ ∞ cl(Gn ) nên x ∈ X\ x∈ / n=1 cl(Gn ) ⊂ X\ n=1 cl(Gn ) ⊂ X\cl(U ) Suy ra, n∈I x∈ / cl(U ) Điều kéo theo, cl(U ) ⊂ U U tập đóng Vậy, tập mở quy (X, τ ) đóng Do đó, theo Định lý 1.2.6, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị 2.2.14 Hệ (i) Giả sử (X, τ ) khơng gian km-hồn chỉnh Khi đó, (X, τ ) S-đóng đếm (X, τ ) compact yếu không liên thông cực trị (ii) Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Khi đó, (X, τ ) khơng gian không liên thông cực trị (X, τ ) km-hoàn chỉnh Chứng minh Suy từ Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.6, Mệnh đề 2.2.12 Định lý 2.2.13 2.2.15 Mệnh đề ([12]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) không gian compact yếu; (ii) Nếu {Un : n = 1, 2, } dãy giảm tập mở khác rỗng (X, τ ) ∩{cl(Un ) : n = 1, 2, } = ∅; 31 (iii) Nếu {Vn : n = 1, 2, } dãy giảm tập mở quy khác rỗng (X, τ ) ∩{cl(Vn ) : n = 1, 2, } = ∅; (iv) Nếu {Fn : n = 1, 2, } dãy giảm tập đóng quy khác rỗng (X, τ ) ∩{Fn : n = 1, 2, } = ∅ 2.2.16 Định lý Khơng gian tơpơ (X, τ ) S-đóng đếm khơng gian compact yếu thỏa mãn tính chất: Nếu {Fn : n = 1, 2, } dãy giảm tập đóng quy khác rỗng (X, τ ) với ∩{Fn : n = 1, 2, } = ∅ ∩{int(Fn ) : n = 1, 2, } = ∅ Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm {Fn : n = 1, 2, } dãy giảm tập đóng quy khác rỗng (X, τ ) mà ∩{Fn : n = 1, 2, } = ∅ Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.4, (X, τ ) compact yếu theo Định lý 2.1.3 ta có ∩{int(Fn ) : n = 1, 2, } = ∅ Điều kiện đủ Giả sử (X, τ ) không gian compact yếu thỏa mãn tính chất: Nếu {Fn : n = 1, 2, } dãy giảm tập đóng quy khác rỗng (X, τ ) với ∩{Fn : n = 1, 2, } = ∅ ∩{int(Fn ) : n = 1, 2, } = ∅ Ta chứng minh (X, τ ) S-đóng đếm Thật vậy, giả sử {An : n = 1, 2, } dãy giảm tập đóng quy khác rỗng (X, τ ) Vì (X, τ ) compact yếu nên theo Mệnh đề 2.2.15, ∩{An : n = 1, 2, } = ∅ Do đó, nhờ giả thiết điều kiện đủ ta có ∩{int(An ) : n = 1, 2, } = ∅ Theo Định lý 2.1.3, (X, τ ) S-đóng đếm 2.2.17 Định lý ([6]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) S-đóng đếm được; (ii) Mọi họ khối {Uλ : λ ∈ ∧} (X, τ ) thỏa mãn điều kiện cl Uλ = λ∈∧ cl(Uλ ) λ∈∧ họ hữu hạn 32 2.2.18 Mệnh đề (i) Giả sử (X, τ ) khơng gian Hausdorff, S-đóng đếm được, khơng liên thông cực trị thỏa mãn tiên đề đếm thứ Khi đó, X tập hữu hạn (ii) Giả sử (X, τ ) khơng gian Hausdorff, S-đóng đếm thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Khi đó, X tập hữu hạn Chứng minh (i) Giả sử (X, τ ) không gian Hausdorff S-đóng đếm được, khơng liên thơng cực trị thỏa mãn tiên đề đếm thứ Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.7, (X, τ ) không gian rời rạc Suy ra, họ {{x} : x ∈ X} phủ X tập đóng quy Vì (X, τ ) S-đóng đếm n nên tồn x1 , x2 , , xn ∈ X cho X = {xi } Vậy, X tập hữu hạn i=1 (ii) Giả sử (X, τ ) khơng gian Hausdorff, S-đóng đếm thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.12, (X, τ ) km-hoàn chỉnh Do đó, theo Định lý 2.2.13, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Mặt khác, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Vì vậy, nhờ (i) ta có X tập hữu hạn 2.2.19 Mệnh đề Tồn không gian tơpơ vơ hạn (X, τ ) S-đóng đếm thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai không không gian Hausdorff Chứng minh Giả sử X tập hợp vô hạn đếm τ = {∅} ∪ {A ⊂ X : X\A hữu hạn} Tương tự Mệnh đề 2.2.2, ta chứng minh τ tôpô X không gian tôpô (X, τ ) S-đóng đếm Tiếp theo, ta chứng minh (X, τ ) không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Thật vậy, X tập vô hạn đếm nên X = {x1 , x2 , , xn , } Với n = 1, 2, , đặt 33 An = {x1 , x2 , , xn } Un = {X\A : A ∈ P(An )}, P(An ) = {A : ∞ A ⊂ An } Ta có Un họ hữu hạn với n Đặt U = Un Khi đó, U n=1 sở tôpô τ rõ ràng U đếm Vậy, (X, τ ) không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Cuối cùng, ta chứng minh (X, τ ) không không gian Hausdorff Thật vậy, giả sử ngược lại, (X, τ ) không gian Hausdorff Khi đó, với x, y ∈ X mà x = y, tồn lân cận mở U x V y cho U ∩ V = ∅ Vì U ∈ τ V ∈ τ nên X\U X\V tập hữu hạn Suy (X\U ) ∪ (X\V ) = X\(U ∩ V ) = X tập hữu hạn Điều mâu thuẫn với giả thiết X vô hạn đếm Vậy, (X, τ ) không không gian Hausdorff 2.2.20 Nhận xét Từ Mệnh đề 2.2.19 suy rằng, tính Hausdorff (X, τ ) khơng giả thiết Mệnh đề 2.2.18 (ii) khơng 2.2.21 Định nghĩa ([11]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi s-đóng đếm (countably s-closed) với phủ đếm {Un : n = 1, 2, } X tập nửa mở, tồn tập hữu hạn I N∗ cho X = ∪{scl(Un ) : n ∈ I} 2.2.22 Nhận xét Mọi khơng gian s-đóng khơng gian s-đóng đếm khơng gian s-đóng đếm khơng gian S-đóng đếm 2.2.23 Mệnh đề Khơng gian tơpơ (X, τ ) s-đóng đếm phủ đếm X tập nửa quy có phủ hữu hạn Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) không gian s-đóng đếm {Un : n = 1, 2, } phủ X tập nửa quy Vì tập nửa quy tập nửa mở nên {Un : n = 1, 2, } phủ X tập nửa mở Nhờ giả thiết (X, τ ) s-đóng đếm được, tồn tập hữu 34 hạn I N∗ cho X = ∪{scl(Un ) : n ∈ I} Mặt khác, Un nửa quy nên scl(Un ) = Un , với n ∈ I Suy X = ∪{Un : n ∈ I} Điều kiện đủ Giả sử phủ đếm X tập nửa quy có phủ hữu hạn giả sử {Un : n = 1, 2, } phủ nửa mở đếm X Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.15, {scl(Un ) : n = 1, 2, } phủ đếm X tập nửa quy Suy ra, tồn tập hữu hạn I N∗ cho X = ∪{scl(Un ) : n ∈ I} Vậy, (X, τ ) s-đóng đếm 2.2.24 Bổ đề ([3]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A tập trù mật địa phương (X, τ ) Khi đó, SR(A, τA ) = {A ∩ U : U ∈ SR(X, τ )}, τA tơpơ cảm sinh tôpô τ A 2.2.25 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) khơng gian s-đóng đếm U ∈ RO(X, τ ) Khi đó, U khơng gian s-đóng đếm (X, τ ) Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian s-đóng đếm được, U ∈ RO(X, τ ) {An : n = 1, 2, } phủ đếm U tập nửa quy U Vì U ∈ RO(X, τ ) nên U tập trù mật địa phương Nhờ Bổ đề 2.2.24, với n ∈ N∗ , tồn Fn ∈ SR(X, τ ) cho An = U ∩ Fn Do U ∈ RO(X, τ ) nên U ∈ SR(X, τ ) X\U ∈ SR(X, τ ) Họ {X\U } ∪ {Fn : n = 1, 2, } phủ đếm (X, τ ) tập nửa quy Suy ra, tồn tập hữu hạn I N∗ cho X = (X\U ) ∪ Fn n∈I Điều kéo theo, U ⊂ Fn U = n∈I An Vậy, U khơng gian n∈I s-đóng đếm (X, τ ) 2.2.26 Định nghĩa ([11]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi s-compact yếu (feebly s-compact) phủ mở đếm {Un : n = 1, 2, } (X, τ ), tồn tập hữu hạn I N∗ cho X = ∪{scl(Un ) : n ∈ I} 35 2.2.27 Mệnh đề Mọi khơng gian s-đóng đếm không gian scompact yếu Chứng minh Giả sử (X, τ ) khơng gian s-đóng đếm {Un : n = 1, 2, } phủ mở đếm (X, τ ) Vì tập mở tập nửa mở nên {Un : n = 1, 2, } phủ nửa mở đếm X Do (X, τ ) s-đóng đếm nên tồn tập hữu hạn I N∗ cho X = ∪{scl(Un ) : n ∈ I} Vậy, (X, τ ) s-compact yếu 2.2.28 Định nghĩa ([10]) Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) Khi (i) f gọi tiền nửa mở (pre-semi-open) f (U ) ∈ SO(Y, σ), với U ∈ SO(X, τ ) (ii) f gọi tiền nửa đóng (pre-semi-closed) f (F ) ∈ SC(Y, σ), với F ∈ SC(X, τ ) 2.2.29 Bổ đề ([10]) Song ánh f : (X, τ )→(Y, σ) tiền nửa mở f tiền nửa đóng 2.2.30 Mệnh đề (i) Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) tồn ánh khơng giải (X, τ ) s-đóng đếm Khi đó, (Y, σ) s-đóng đếm (ii) Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) song ánh tiền nửa mở (Y, σ) s-đóng đếm Khi đó, (X, τ ) s-đóng đếm Chứng minh (i) Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) toàn ánh khơng giải (X, τ ) s-đóng đếm Ta chứng minh (Y, σ) s-đóng đếm Thật vậy, giả sử {Un : n = 1, 2, } phủ đếm Y tập nửa mở Vì f khơng giải nên {f −1 (Un ) : n = 1, 2, } phủ đếm X tập nửa mở Nhờ giả thiết (X, τ ) s-đóng đếm được, tồn tập hữu scl(f −1 (Un )) Lại f ánh xạ không giải hạn I N∗ cho X = n∈I nên theo Mệnh đề 1.2.26, scl(f −1 (Un )) ⊂ f −1 (scl(Un )), với n = 1, 2, 36 f −1 (scl(Un )) Điều kéo theo, Y = f (X) ⊂ Suy ra, X ⊂ n∈I Vậy, Y = scl(Un ) n∈I scl(Un ) Y s-đóng đếm n∈I (ii) Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) song ánh tiền nửa mở (Y, σ) khơng gian s-đóng đếm Ta chứng minh (X, τ ) khơng gian s-đóng đếm Thật vậy, giả sử {Un : n = 1, 2, } phủ đếm X tập nửa quy Vì tập nửa quy nửa mở f tiền nửa mở nên {f (Un ) : n = 1, 2, } phủ đếm Y tập nửa mở Lại vì, f song ánh tiền nửa mở nên f tiền nửa đóng Suy ra, f (Un ) nửa đóng, với n = 1, 2, Từ ta có, {f (Un ) : n = 1, 2, } phủ đếm Y tập nửa quy Do (Y, σ) s-đóng đếm nên tồn tập hữu hạn I N∗ cho Y = f (Un ) Điều kéo theo, n∈I X = f −1 (Y ) = Un Vậy X s-đóng đếm n∈I 2.2.31 Mệnh đề Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) tồn ánh liên tục mở Khi đó, (X, τ ) s-compact yếu (Y, σ) s-compact yếu Chứng minh Giả sử f : (X, τ )→(Y, σ) toàn ánh liên tục mở, (X, τ ) s-compact yếu Ta chứng minh (Y, σ) s-compact yếu Thật vậy, giả sử {Un : n = 1, } phủ mở đếm Y Vì f tồn ánh liên tục nên {f −1 (Un ) : n = 1, 2, } phủ mở đếm X Nhờ giả thiết X scompact yếu, tồn tập hữu hạn I N∗ cho X = scl(f −1 (Un )) n∈I Mặt khác, f tồn ánh liên tục mở nên theo Mệnh đề 1.2.25 f khơng giải Suy ra, scl(f −1 (Un )) ⊂ f −1 (scl(Un )), với n = 1, 2, Từ ta có, Y = f (X) = scl(Un ) Vậy, (Y, σ) s-compact yếu n∈I 2.2.32 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm được, (Y, σ) không gian không liên thông cực trị f : (X, τ )→(Y, τ ) tồn ánh khơng giải Khi đó, (Y, σ) không gian s-compact yếu 37 Chứng minh Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm được, (Y, σ) không gian không liên thông cực trị f : (X, τ )→(Y, σ) tồn ánh khơng giải Ta cần chứng minh (Y, σ) không gian s-compact yếu Thật vậy, giả sử {Un : n = 1, 2, } phủ mở đếm Y Vì tập mở tập nửa mở f tồn ánh khơng giải nên {f −1 (Un ) : n = 1, 2, } phủ đếm X tập nửa mở Do (X, τ ) S-đóng đếm nên theo Định lý 2.1.3, tồn tập hữu hạn I N∗ cho cl(f −1 (Un )) X= n∈I Lại f tồn ánh khơng giải nên theo Bổ đề 1.2.23 ta có f (cl(f −1 (Un ))) ⊂ Y = f (X) = n∈I f (f −1 (cl(Un ))) = n∈I Điều kéo theo, Y = cl(Un ) ⊂ Y n∈I cl(Un ) Mặt khác, Un nửa mở (Y, σ) n∈I không gian không liên thơng cực trị nên nhờ Định lý 1.2.6 ta có cl(Un ) = scl(Un ), với n ∈ I Từ suy Y = scl(Un ) (Y, σ) khơng n∈I gian s-compact yếu 38 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau Hệ thống lại số khái niệm tập nửa mở, tập nửa đóng, tập đóng quy, tập mở quy, tập trù mật địa phương, tính chất chúng khơng gian tơpơ Đưa số tính chất thể Mệnh đề 1.1.20, Mệnh đề 1.1.24, Mệnh đề 1.1.25, Hệ 1.1.26, Hệ 1.1.27 Trình bày vấn đề khơng gian S-đóng khơng gian s-đóng Chứng minh Mệnh đề 1.2.13, Mệnh đề 1.2.14, Mệnh đề 1.2.16, Định lý 1.2.18, Mệnh đề 1.2.21 mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt Đưa Mệnh đề 1.2.2, Mệnh đề 1.2.4, Mệnh đề 1.2.8, Nhận xét 1.2.12, Mệnh đề 1.2.27, Mệnh đề 1.2.29, Nhận xét 1.2.30 Trình bày vấn đề khơng gian S-đóng đếm được, mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compact yếu, điều kiện để lớp không gian S-đóng đếm lớp khơng gian compact yếu trùng Trình bày khái niệm số tính chất khơng gian s-đóng đếm được, không gian s-compact yếu Chứng minh Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.1.11, Mệnh đề 2.1.13, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.13, Định lý 2.2.16, Mệnh đề 2.2.23, Mệnh đề 2.2.27 mà tài liệu không chứng minh chứng minh vắn tắt Đưa Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.18, Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6, Mệnh đề 2.2.19, Mệnh đề 2.2.25, Mệnh đề 2.2.30, Mệnh đề 2.2.31, Mệnh đề 2.2.32 Các kết luận văn gửi công bố báo [2] 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Kelley (1973), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Ngọc Minh, Bùi Minh Tuyển (2009), Về khơng gian S-đóng đếm được, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Vinh (gửi đăng) [3] C K Basu (1996), On locally s-closed spaces, Internat J Math & Math Sci., 19, 67 - 74 [4] D E Cameron (1978), Properties of S-closed spaces, Proc Amer Math Soc., 72, 581 - 586 [5] G Di Maio and T Noiri (1987), On s-closed spaces, Indian J Pure Appl Math., 18(3), 226 - 233 [6] K Dlaska, N Ergun and M Ganster (1991), Countably S-closed spaces, Proc Amer Math Soc., 131(8), - 14 [7] C Dorsett (1990), Semi-regularization spaces and the semi-closure operator, s-closed spaces and quasi-irresolute functions, Indian J Pure Appl Math., 21(5), 416 - 422 [8] R Engelking (1977), General Topology, P W N -Polish Scientific, Publishers, Warszawa [9] M Ganster and I L Reilly (1988), A note on S-closed spaces, Indian J Pure Appl Math., 19(10), 1031 - 1033 [10] M Khan, T Noiri and B Ahmad (1996), On locally s-closed spaces, Indian J Pure Appl Math., 27(11), 1087 - 1092 [11] G B Navalagi (2000), Countably s-closed spaces and feebly s-compact spaces, Indian J Pure Appl Math., 16(1), 336 - 343 [12] J R Porter and R G Woods (1984), Feebly compact spaces, Martin’s Axiom and "Diamond", Topology Proc., 9, 105 - 121 [13] T Thompson (1976), S-closed spaces, Proc Amer Math Soc., 60, 335 338 [14] T Thompson (1977), Semicontinuous and irresolute images of S-closed spaces, Proc Amer Math Soc., 66, 359 - 362 40 ... (extremally disconnected), không gian s- đóng (s- closed), khơng gian s- đóng đếm (countably s- closed), không gian s- compact yếu (feebly s- compact) mối quan hệ tổng thể với khơng gian S- đóng đếm Với nội... I} 2.2.22 Nhận xét Mọi khơng gian s- đóng khơng gian s- đóng đếm khơng gian s- đóng đếm khơng gian S- đóng đếm 2.2.23 Mệnh đề Khơng gian tơpơ (X, τ ) s- đóng đếm phủ đếm X tập nửa quy có phủ hữu hạn... CHƯƠNG KHƠNG GIAN S -ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC 2.1 MỘT S? ?? ĐẶC TRƯNG CỦA KHƠNG GIAN S- ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC 2.1.1 Định nghĩa ([6]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi S- đóng đếm (countably S- closed) phủ đếm X tập đóng quy có