VÀ KHÔNG GIAN COMPACT YẾU
2.2.1 Định nghĩa ([6]). Không gian tôpô (X, τ) được gọi là P-không gian
(P-space) nếu mọi Gδ-tập trong (X, τ) là mở.
2.2.2 Mệnh đề. Tồn tại một không gian tôpô (X, τ) là P-không gian S-đóng đếm được.
Chứng minh. Giả sử X là một tập hợp không đếm được và
τ = {∅} ∪ {A ⊂ X : X\A đếm được}.
Ta sẽ chứng minh rằng τ là một tôpô trên X và không gian tôpô (X, τ) là
tôpô trên X. Rõ ràng ∅ và X là thuộc τ. Giả sử A1 ∈ τ và A2 ∈ τ. Nếu
A1 = ∅ hoặc A2 = ∅ thì A1 ∩ A2 = ∅ ∈ τ. Nếu A1 6= ∅ và A2 6= ∅ thì X\A1
và X\A2 là các tập đếm được. Suy ra X\(A1 ∩ A2) = (X\A1)∪ (X\A2) là tập đếm được. Do đó, A1∩A2 ∈ τ. Bây giờ, giả sử {Ai : i ∈ I} là một họ các phần tử thuộc τ. Nếu Ai = ∅, với mọi i ∈ I thì ∪{Ai : i ∈ I} = ∅ ∈ τ. Nếu tồn tại i0 ∈ I sao cho Ai0 6= ∅ thì X\Ai0 là tập đếm được. Vì
X\ ∪ {Ai : i ∈ I} = ∩{X\Ai : i ∈ I} ⊂ X\Ai0
nên X\ ∪ {Ai : i ∈ I} cũng là tập đếm được. Suy ra, ∪{Ai : i ∈ I} ∈ τ. Vậy,
τ là một tôpô trên X.
Tiếp theo, ta chứng minh (X, τ) là P-không gian. Thật vậy, giả sử Glà Gδ- tập trong X. Khi đó, G = ∩{Un : n = 1,2, . . .}, trong đó Un ∈ τ với mọi n. Nếu tồn tạin0 sao choUn0 = ∅thìG = ∅ ∈ τ. NếuUn 6= ∅với mọi nthìX\Un
là tập đếm được với mọi n. Suy ra, Un = X\Bn, với Bn là tập đếm được. Từ đó suy ra, ∩{Un : n = 1,2, . . .} = ∩{X\Bn : n = 1,2, . . .} = X\ ∪ {Bn : n = 1,2, . . .}. Vì Bn là tập đếm được với mọi n nên ∪{Bn : n = 1,2, . . .} là tập đếm được. Điều này kéo theo X\ ∩ {Un : n = 1,2, . . .} là đếm được. Vậy,
G= ∩{Un :n = 1,2, . . .} ∈ τ và do đó (X, τ) là P-không gian.
Cuối cùng, ta chứng minh(X, τ)là S-đóng đếm được. Giả sử F là tập đóng chính quy bất kỳ trong (X, τ). Khi đó, tồn tại A ∈ τ sao cho F = cl(A). Nếu
A = ∅ thì F = ∅. Nếu A 6= ∅ thì X\A đếm được. Suy ra, A = X\B, trong đó B là tập đếm được. Từ đó ta có, cl(A) = cl(X\B) = X\int(B). Giả sử
int(B) 6= ∅. Khi đó, vìint(B) ∈ τ nênX\int(B)là đếm được. Mặt khác, doX
là không đếm được và int(B) là đếm được nên X\int(B) là không đếm được. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ int(B) = ∅. Từ đó suy ra, F = cl(A) = X. Vậy, nếu F là tập đóng chính quy bất kỳ trong X thì F = ∅ hoặc F = X. Điều này chứng tỏ rằng mọi phủ đếm được của X bởi các tập đóng chính quy đều có phủ con hữu hạn. Do đó, (X, τ) là S-đóng đếm được.
2.2.3 Định lý ([6]). P-không gian (X, τ) là S-đóng đếm được nếu và chỉ nếu mọi không gian con trù mật của (X, τ) là compact yếu.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ) là P-không gian S-đóng đếm được, Y là không gian con trù mật của (X, τ) và {Un : n = 1,2, . . .} ⊂ τ
là một phủ mở của Y. Khi đó, ∩{X\cl(Un) : n = 1,2, . . .} là Gδ-tập trong
(X, τ). Vì (X, τ) là P-không gian nên ∩{X\cl(Un) : n = 1,2, . . .} là tập mở. Do đó, ∪{cl(Un) : n = 1,2, . . .} là tập đóng. Từ đó suy ra X = cl(Y) ⊂ cl ∞ [ n=1 Un ! ⊂ cl ∞ [ n=1 cl(Un) ! = ∞ [ n=1 cl(Un) ⊂X.
Điều này kéo theo, {cl(Un) : n= 1,2, . . .} là một phủ của (X, τ) bởi các tập đóng chính quy. Do (X, τ) là S-đóng đếm được nên tồn tại tập con hữu hạn
I của N∗ sao cho X = ∪{cl(Un) : n ∈ I}. Suy ra, Y ⊂ ∪{cl(Un) : n ∈ I}. Vậy, Y là không gian con compact yếu của (X, τ).
Điều kiện đủ. Giả sử mọi không gian con trù mật của P-không gian (X, τ)
là compact yếu. Ta chứng minh (X, τ) là không gian S-đóng đếm được. Thật vậy, giả sử {Fn : n = 1,2, . . .} là một phủ của (X, τ) bởi các tập đóng chính quy. Ta có X = ∞ [ n=1 Fn = ∞ [ n=1 cl(int(Fn)) ⊂ cl ∞ [ n=1 int(Fn) ! ⊂X. Suy ra, U = ∞ S n=1
int(Fn) là không gian con trù mật của (X, τ). Vì U là không gian con compact yếu nên tồn tại tập con hữu hạn I của N∗ sao cho
U = S n∈I cl(int(Fn)) = S n∈I Fn. Từ đó ta có X = cl(U) = cl [ n∈I Fn ! = [ n∈I cl(Fn) = [ n∈I Fn ⊂ X. Vậy X = S n∈I Fn và do đó (X, τ) là S-đóng đếm được.
2.2.4 Mệnh đề. Giả sử (X, τ) là không gian S-đóng đếm được. Khi đó, (X, τ) là không gian compact yếu. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Giả sử {Un : n = 1,2, . . .} là một phủ đếm được của X bởi các tập mở. Khi đó theo Hệ quả 1.1.26, {cl(Un) : n = 1,2, . . .} là phủ đếm được của X bởi các tập đóng chính quy. Vì (X, τ) là S-đóng đếm được nên tồn tại tập con hữu hạn I của N∗ sao cho X = ∪{cl(Un) : n ∈ I}. Vậy, (X, τ)
là không gian compact yếu.
2.2.5 Mệnh đề ([6]). Tồn tại một không gian tôpô là compact yếu mà không là S-đóng đếm được.
Chứng minh. Giả sử Y là tập hợp vô hạn với tôpô rời rạc và (X, τ) là compact hóa một điểm của Y, trong đóX = Y ∪ {a} và a /∈ Y là điểm không cô lập duy nhất của (X, τ). Khi đó, (X, τ) là không gian Hausdorff compact. Suy ra, (X, τ) là không gian compact yếu. Giả sử {Yn : n = 1,2, . . .} là một sự phân hoạch của Y, trong đó mỗi Yn là vô hạn. Với mỗi n = 1,2, . . ., đặt Fn = Yn ∪ {a}. Khi đó, Fn ∈ RC(X, τ), với mọi n ∈ N∗. Dễ thấy,
{Fn : n = 1,2, . . .} là một phủ của (X, τ) bởi các tập đóng chính quy và
{Fn : n = 1,2, . . .} không có phủ con hữu hạn. Vậy, (X, τ) không là S-đóng
đếm được.
2.2.6 Mệnh đề. Giả sử (X, τ) là không gian không liên thông cực trị và compact yếu. Khi đó, (X, τ) là không gian S-đóng đếm được.
Chứng minh. Giả sử (X, τ) là không gian không liên thông cực trị và compact yếu, {Fn : n = 1,2, . . .} là một phủ đếm được của X bởi các tập đóng chính quy. Khi đó, theo Định lý 1.2.6, {Fn : n = 1,2, . . .} là một phủ đếm được của X bởi các tập mở. Vì (X, τ) là compact yếu nên tồn tại tập con hữu hạn I của N∗ sao cho X = ∪{cl(Fn) : n∈ I}= ∪{Fn : n ∈ I}. Điều này chứng tỏ (X, τ) là S-đóng đếm được.
2.2.7 Định nghĩa ([6]). (i) Không gian tôpô(X, τ) được gọi là hoàn chỉnh
(perfect) nếu mỗi tập mở trong(X, τ)là hợp của một họ đếm được các tập đóng. (ii) Không gian tôpô (X, τ) được gọi là RC-hoàn chỉnh (RC-perfect) nếu mỗi tập mở trong (X, τ) là hợp của một họ đếm được các tập đóng chính quy.
2.2.8 Nhận xét.Mọi không gianRC-hoàn chỉnh là không gian hoàn chỉnh.
2.2.9 Định nghĩa ([6]). Không gian tôpô (X, τ) được gọi là km-hoàn chỉnh (km-perfect) nếu với mỗi U ∈ RO(X, τ) và mỗi x /∈ U, tồn tại một dãy {Gn : n = 1,2, . . .} các tập mở sao cho ∪{Gn : n = 1,2, . . .} ⊂ U ⊂ ∪{cl(Gn) : n= 1,2, . . .} và x /∈ ∪{cl(Gn) : n= 1,2, . . .}.
2.2.10 Định nghĩa ([8]). (i) Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian Lindel¨of (Lindel¨of space) nếu mỗi phủ mở của X có phủ con đếm được. (ii) Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian Lindel¨of di truyền
(hereditarily Lindel¨of space) nếu mọi không gian con mở của (X, τ) là không gian Lindel¨of.
2.2.11 Bổ đề ([6]). Giả sử (X, τ) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Khi đó, (X, τ) là không gian Lindel¨of di truyền.
2.2.12 Mệnh đề ([6]). Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, nếu (X, τ) là
(i) không gian không liên thông cực trị, hoặc
(ii) không gian Lindel¨of di truyền và Hausdorff, hoặc
(iii) không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai và Hausdorff, hoặc (iv) không gian RC-hoàn chỉnh, hoặc
(v) không gian chính quy và hoàn chỉnh thì (X, τ) là km-hoàn chỉnh.
2.2.13 Định lý ([6]). Giả sử (X, τ) là không gian S-đóng đếm được và km-hoàn chỉnh. Khi đó, (X, τ) là không gian không liên thông cực trị.
Chứng minh. Giả sửU ∈ RO(X, τ) và x /∈ U. Khi đó, vì (X, τ) là km-hoàn chỉnh nên tồn tại dãy {Gn : n= 1,2, . . .} các tập mở sao cho
∞ [ n=1 Gn ⊂ U ⊂ ∞ [ n=1 cl(Gn) và x /∈ ∞ S n=1 cl(Gn). Nhờ Bổ đề 1.2.3, {U ∩ cl(Gn) : n = 1,2, . . .} là một
phủ của U bởi các tập đóng chính quy trong U. Do (X, τ) là S-đóng đếm được và U ∈ RO(X, τ) nên theo Mệnh đề 2.1.11, U là không gian con S- đóng đếm được của (X, τ). Suy ra, tồn tại tập con hữu hạn I của N∗ sao cho U = ∪{U ∩ cl(Gn) : n ∈ I}. Từ đó ta có, U ⊂ ∪{cl(Gn) : n ∈ I}. Vì x /∈ ∞ S n=1 cl(Gn) nên x ∈ X\ ∞ S n=1 cl(Gn) ⊂ X\ S n∈I cl(Gn) ⊂ X\cl(U). Suy ra,
x /∈ cl(U). Điều này kéo theo, cl(U) ⊂ U và do đó U là tập đóng. Vậy, mọi tập mở chính quy trong (X, τ) là đóng. Do đó, theo Định lý 1.2.6, (X, τ) là không gian không liên thông cực trị.
2.2.14 Hệ quả. (i) Giả sử (X, τ) là không gian km-hoàn chỉnh. Khi đó, (X, τ) là S-đóng đếm được nếu và chỉ nếu (X, τ) là compact yếu và không liên thông cực trị.
(ii) Giả sử (X, τ) là không gian S-đóng đếm được. Khi đó, (X, τ) là không gian không liên thông cực trị nếu và chỉ nếu (X, τ) là km-hoàn chỉnh.
Chứng minh. Suy từ Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.6, Mệnh đề 2.2.12 và Định lý 2.2.13.
2.2.15 Mệnh đề ([12]). Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(i) (X, τ) là không gian compact yếu;
(ii) Nếu {Un : n = 1,2, . . .} là một dãy giảm các tập con mở khác rỗng trong (X, τ) thì ∩{cl(Un) : n= 1,2, . . .} 6= ∅;
(iii) Nếu {Vn : n = 1,2, . . .} là một dãy giảm các tập con mở chính quy khác rỗng trong (X, τ) thì ∩{cl(Vn) : n= 1,2, . . .} 6= ∅;
(iv) Nếu {Fn : n = 1,2, . . .} là một dãy giảm các tập con đóng chính quy khác rỗng trong (X, τ) thì ∩{Fn : n = 1,2, . . .} 6= ∅.
2.2.16 Định lý. Không gian tôpô (X, τ) là S-đóng đếm được khi và chỉ khi nó là không gian compact yếu và thỏa mãn tính chất: Nếu {Fn : n = 1,2, . . .} là một dãy giảm các tập con đóng chính quy khác rỗng trong (X, τ) với ∩{Fn : n= 1,2, . . .} 6= ∅ thì ∩{int(Fn) : n= 1,2, . . .} 6= ∅.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ) là không gian S-đóng đếm được và {Fn : n = 1,2, . . .} là dãy giảm các tập đóng chính quy khác rỗng trong
(X, τ) mà ∩{Fn : n = 1,2, . . .} 6= ∅. Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.4, (X, τ) là compact yếu và theo Định lý 2.1.3 ta có ∩{int(Fn) : n = 1,2, . . .} 6= ∅.
Điều kiện đủ. Giả sử (X, τ) là không gian compact yếu và thỏa mãn tính chất: Nếu {Fn : n= 1,2, . . .} là dãy giảm các tập đóng chính quy khác rỗng trong (X, τ) với ∩{Fn : n = 1,2, . . .} 6= ∅ thì ∩{int(Fn) : n = 1,2, . . .} 6= ∅. Ta chứng minh (X, τ) là S-đóng đếm được. Thật vậy, giả sử {An : n = 1,2, . . .} là dãy giảm các tập đóng chính quy khác rỗng trong (X, τ). Vì
(X, τ) là compact yếu nên theo Mệnh đề 2.2.15, ∩{An : n = 1,2, . . .} 6= ∅. Do đó, nhờ giả thiết điều kiện đủ ta có ∩{int(An) : n = 1,2, . . .} 6= ∅. Theo Định lý 2.1.3, (X, τ) là S-đóng đếm được.
2.2.17 Định lý ([6]). Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương
(i) (X, τ) là S-đóng đếm được;
(ii) Mọi họ khối {Uλ : λ ∈ ∧} trong (X, τ) thỏa mãn điều kiện
cl [ λ∈∧ Uλ ! = [ λ∈∧ cl(Uλ) là họ hữu hạn.
2.2.18 Mệnh đề. (i) Giả sử (X, τ) là không gian Hausdorff, S-đóng đếm được, không liên thông cực trị và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Khi đó, X là tập hữu hạn.
(ii) Giả sử (X, τ) là không gian Hausdorff, S-đóng đếm được và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Khi đó, X là tập hữu hạn.
Chứng minh. (i) Giả sử (X, τ) là không gian Hausdorff S-đóng đếm được, không liên thông cực trị và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.7, (X, τ) là không gian rời rạc. Suy ra, họ {{x} : x ∈ X}
là một phủ của X bởi các tập đóng chính quy. Vì (X, τ) là S-đóng đếm được nên tồn tại x1, x2, . . . , xn ∈ X sao cho X =
n
S
i=1
{xi}. Vậy, X là tập hữu hạn.
(ii) Giả sử (X, τ) là không gian Hausdorff, S-đóng đếm được và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.12, (X, τ) là km-hoàn chỉnh. Do đó, theo Định lý 2.2.13, (X, τ) là không gian không liên thông cực trị. Mặt khác, mỗi không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Vì vậy, nhờ (i) ta có X là tập hữu
hạn.
2.2.19. Mệnh đề. Tồn tại một không gian tôpô vô hạn (X, τ) là S-đóng đếm được và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nhưng không là không gian Hausdorff.
Chứng minh. Giả sử X là tập hợp vô hạn đếm được và
τ = {∅} ∪ {A ⊂X : X\A hữu hạn}.
Tương tự như Mệnh đề 2.2.2, ta chứng minh được rằng τ là một tôpô trên
X và không gian tôpô (X, τ) là S-đóng đếm được. Tiếp theo, ta chứng minh
(X, τ) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Thật vậy, vì X là tập vô hạn đếm được nên X = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. Với mỗi n = 1,2, . . ., đặt
An = {x1, x2, . . . , xn} và Un = {X\A : A ∈ P(An)}, trong đó P(An) = {A : A ⊂ An}. Ta có Un là họ hữu hạn với mọi n. Đặt U = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∞
S
n=1
Un. Khi đó, U là
một cơ sở của tôpô τ và rõ ràng U đếm được. Vậy, (X, τ) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai.
Cuối cùng, ta chứng minh(X, τ) không là không gian Hausdorff. Thật vậy, giả sử ngược lại, (X, τ) là không gian Hausdorff. Khi đó, với mọi x, y ∈ X
mà x 6= y, tồn tại các lân cận mở U của x và V của y sao cho U ∩V = ∅. Vì
U ∈ τ và V ∈ τ nên X\U và X\V là các tập hữu hạn. Suy ra
(X\U)∪(X\V) = X\(U ∩V) = X
là tập hữu hạn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết X là vô hạn đếm được. Vậy, (X, τ) không là không gian Hausdorff.
2.2.20 Nhận xét. Từ Mệnh đề 2.2.19 suy ra rằng, nếu tính Hausdorff của
(X, τ) không được giả thiết thì Mệnh đề 2.2.18 (ii) không đúng.
2.2.21 Định nghĩa ([11]). Không gian tôpô (X, τ) được gọi là s-đóng đếm được (countably s-closed) nếu với mọi phủ đếm được {Un : n = 1,2, . . .}
của X bởi các tập nửa mở, tồn tại tập con hữu hạn I của N∗ sao cho X = ∪{scl(Un) : n∈ I}.
2.2.22 Nhận xét. Mọi không gian s-đóng là không gian s-đóng đếm được và mọi không gian s-đóng đếm được là không gian S-đóng đếm được.
2.2.23 Mệnh đề. Không gian tôpô (X, τ) là s-đóng đếm được nếu và chỉ nếu mọi phủ đếm được của X bởi các tập nửa chính quy có phủ con hữu hạn. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ) là không gian s-đóng đếm được và {Un : n = 1,2, . . .} là một phủ của X bởi các tập nửa chính quy. Vì mỗi tập nửa chính quy là tập nửa mở nên {Un : n = 1,2, . . .} là phủ của X bởi các tập nửa mở. Nhờ giả thiết(X, τ) là s-đóng đếm được, tồn tại tập con hữu
hạn I của N∗ sao cho X = ∪{scl(Un) : n ∈ I}. Mặt khác, do Un là nửa chính quy nên scl(Un) = Un, với mọi n ∈ I. Suy ra X = ∪{Un : n∈ I}.
Điều kiện đủ. Giả sử mọi phủ đếm được của X bởi các tập nửa chính quy có phủ con hữu hạn và giả sử {Un : n = 1,2, . . .} là phủ nửa mở đếm được của X. Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.15, {scl(Un) : n = 1,2, . . .} là phủ đếm được của X bởi các tập nửa chính quy. Suy ra, tồn tại tập con hữu hạn I của
N∗ sao cho X = ∪{scl(Un) : n ∈ I}. Vậy, (X, τ) là s-đóng đếm được.
2.2.24 Bổ đề ([3]). Giả sử (X, τ) là không gian tôpô và A là tập trù mật địa phương trong (X, τ). Khi đó, SR(A, τA) = {A∩U :U ∈ SR(X, τ)}, trong đó τA là tôpô cảm sinh của tôpô τ trên A.
2.2.25 Mệnh đề. Giả sử (X, τ) là không gian s-đóng đếm được và U ∈ RO(X, τ). Khi đó, U là không gian con s-đóng đếm được của (X, τ).
Chứng minh. Giả sử (X, τ) là không gian s-đóng đếm được, U ∈ RO(X, τ)
và{An : n = 1,2, . . .}là phủ đếm được của U bởi các tập nửa chính quy trong
U. Vì U ∈ RO(X, τ) nên U là tập trù mật địa phương. Nhờ Bổ đề 2.2.24, với mỗi n ∈ N∗, tồn tại Fn ∈ SR(X, τ) sao cho An = U ∩Fn. Do U ∈ RO(X, τ)
nên U ∈ SR(X, τ) và vì thế X\U ∈ SR(X, τ). Họ {X\U} ∪ {Fn : n = 1,2, . . .} là một phủ đếm được của (X, τ) bởi các tập nửa chính quy. Suy ra, tồn tại tập con hữu hạn I của N∗ sao cho
X = (X\U)∪ [
n∈I
Fn
!
. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Điều này kéo theo, U ⊂ S
n∈I
Fn và do đó U = S
n∈I
An. Vậy, U là không gian con s-đóng đếm được của (X, τ).
2.2.26 Định nghĩa ([11]). Không gian tôpô (X, τ) được gọi là s-compact