Một số vấn đề cơ bản về không gian sobolev

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HOÀNG NGUYỄN MỸ ANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ KHÔNG GIAN SOBOLEV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HOÀNG NGUYỄN MỸ ANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ KHÔNG GIAN SOBOLEV Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Chung ĐÀ NẴNG - NĂM 2022 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Đặt vấn đề 1.2 Hàm suy rộng 1.3 Khái niệm không gian Sobolev 18 CHƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHÔNG GIAN SOBOLEV 26 2.1 Xấp xỉ không gian Sobolev không gian hàm trơn 26 2.2 Phép nhúng không gian Sobolev 39 2.3 Bất đẳng thức Poincaré bất đẳng thức Hardy-LittlewoodSobolev 52 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 LỜI NÓI ĐẦU Lí chọn đề tài Khơng gian Sobolev đặt theo tên nhà toán học Nga Sergei Lvovich Sobolev (1908-1989) Khơng gian Sobolev có chất không gian vec tơ mà phần tử chúng hàm xác định miền khơng gian Rn đạo hàm riêng thỏa mãn số điều kiện khả tích định Các đạo hàm hiểu theo nghĩa yếu phù hợp để đảm bảo cho khơng gian tạo thành đầy đủ, tức là, không gian Sobolev không gian Banach Một cách trực quan, khơng gian Sobolev khơng gian hàm có đạo hàm (theo nghĩa đó) miền xác định trang bị chuẩn vừa mô tả kích thước tính quy (độ trơn) hàm xác định Khơng gian Sobolev với phép nhúng liên quan vấn đề thú vị giải tích hàm, đóng vai trò quan trọng ngành khác tốn học, chẳng hạn phương trình đạo hàm riêng, hình học vi phân, lí thuyết xấp xỉ, giải tích khơng gian Euclide, Sự quan trọng không gian Sobolev thể chỗ, số phương trình đạo hàm riêng quan trọng, có nghiệm (yếu) khơng gian Sobolev thích hợp mà khơng có nghiệm (mạnh) khơng gian hàm liên tục với đạo hàm hiểu theo nghĩa cổ điển Do đó, nghiên cứu tồn nghiệm phương trình đạo hàm riêng, thường nghiên cứu không gian nghiệm không gian Sobolev Thay tìm nghiệm cổ điển trực tiếp tốn, trước tiên tìm nghiệm yếu khơng gian Sobolev thích hợp, sau nghiên cứu tính trơn nghiệm thơng qua phép nhúng tính chất liên quan Trong số trường hợp, chứng minh nghiệm yếu tốn nghiệm cổ điển Việc tìm hiểu không gian Sobolev i=1 i (ii) Người ta chứng minh chuẩn (1.23) tương đương với chuẩn xác định X ∥Dα u∥Lp (Ω) , với ≤ p < ∞,  ∥u∥W k,p (Ω) = |α|≤k P α với p = ∞ |α|≤k ||D u||L∞ (Ω) , Định lí 1.11 Khơng gian Sobolev W k,p (Ω), ≤ p < ∞ k ∈ N, với chuẩn (1.23) đầy đủ Nói cách khác, W k,p (Ω) không gian Banach Chứng minh Giả sử {um } dãy W k,p (Ω) Từ định nghĩa chuẩn W k,p (Ω), vỡi α thỏa mãn |α| ≤ k , dãy {Dα um } dãy Lp (Ω) Vì khơng gian Lp (Ω) đầy đủ, nên tồn hàm u, vα ∈ Lp (Ω) cho Lp (Ω) um −→ u, Lp (Ω) Dα um −→ vα , m → ∞ Do um → u Dα um → vα không gian L1loc (Ω) Theo Định lí 1.9, tốn tử đạo hàm yếu tốn tử đóng, tức vα = Dα u Tóm lại ta có W k,p (Ω) um −→ u m → ∞ W k,p (Ω) không gian Banach Tương tự chứng minh Định lí 1.11, khơng gian W k,∞ (Ω) không gian Banach với chuẩn (1.23) Trong trường hợp p = 2, không gian Sobolev W k,2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng cho Z X ⟨u, v⟩W k,2 (Ω) = Dα u(x)Dα v(x)dx Ω |α|≤k Đặc biệt, với p = k = 1, không gian Sobolev W 1,2 (Ω) khơng 22 gian Hilbert với tích vơ hướng ⟨u, v⟩W 1,2 (Ω) = Z (uv + ∇u · ∇v) dx Ω thường kí hiệu H (Ω) Như biết, với ≤ p < ∞, không gian Lp (Ω) tách Hơn nữa, < p < ∞ khơng gian Lp (Ω) khơng gian phản xạ Hồn tồn tương tự, có kết sau Định lí 1.12 Khơng gian Sobolev W k,p (Ω), k ∈ N, không gian tách ≤ p < ∞ không gian phản xạ < p < ∞ Chứng minh Chúng ta chứng minh với tính chất tách được, tính chất phản xạ hồn tồn tương tự Kí hiệu V k,p (Ω) khơng gian tuyến tính gồm tất hàm vectơ v = {vα }|α|≤k cho vα ∈ Lp (Ω), |α| ≤ k Trong V k,p (Ω) xét chuẩn ∥v∥V k,p (Ω) = X ∥vα ∥Lp (Ω) |α|≤k Khi V k,p (Ω) tích trực tiếp số hữu hạn (bằng số đa số α with |α| ≤ k ) không gian Lp (Ω) Chúng ta biết Lp (Ω) không gian Banach tách ≤ p < ∞ Do V k,p (Ω) không gian Banach tách ≤ p < ∞ Bây giờ, xét phép biến đổi T từ không gian Sobolev W k,p (Ω), trang bị với chuẩn ∥u∥W k,p (Ω) = X ∥Dα u∥Lp (Ω) , |α|≤k (chuẩn tương đương với chuẩn (1.23), xem Nhận xét 1.2) đến không gian V k,p (Ω), xác định sau T : W k,p (Ω) → V k,p (Ω), T u = {Dα u}|α|≤k Khi T tốn tử tuyến tính Tốn tử T bảo tồn chuẩn, tức ∥Ju∥V k,p (Ω) = ∥u∥W k,p (Ω) T đơn ánh Tốn tử T cịn gọi phép biến đổi đẳng cự Miền giá trị RanT = V˜ k,p (Ω) tập tuyến 23 tính V k,p (Ω), bao gồm hàm vectơ v có dạng v = {Dα u}|α|≤k , u ∈ W k,p (Ω) Theo Định lí 1.9, tốn tử đạo hàm yếu Dα tốn tử đóng nên V˜ k,p (Ω) khơng gian đóng V k,p (Ω) Do đó, V˜ k,p(Ω) với V k,p (Ω) khơng gian tách Lại có T đẳng cự, đồng W k,p (Ω) với không gian V˜ k,p (Ω) Điều suy không gian Sobolev W k,p (Ω) không gian tách ≤ p < ∞ Định nghĩa 1.7 Bao đóng khơng gian C0∞ (Ω) khơng gian Sobolev W k,p (Ω) không gian Sobolev kí hiệu W0k,p (Ω) Rõ ràng, W0k,p (Ω) không gian không gian W k,p (Ω) Một cách trực quan, W0k,p (Ω) không gian hàm có đạo hàm yếu đến cấp k − triệt tiêu biên ∂Ω Định lí 1.13 Giả sử u ∈ W0k,p (Ω), đặt  u(x) x ∈ Ω, u˜(x) = x ∈ Rn \Ω Khi ta có u ˜ ∈ W k,p (Ω′ ) với miền Ω′ thỏa mãn Ω ⊂ Ω′ Đặc biệt, u ˜ ∈ W k,p (Rn ) Chứng minh Từ định nghĩa không gian W0k,p (Ω), tồn dãy W k,p (Ω) {um } ⊂ C0∞ (Ω) cho um −→ u n → ∞ Với miền Ω′ thỏa mãn Ω ⊂ Ω′ , ta đặt  um (x) x ∈ Ω, u˜m (x) = x ∈ Ω\Ω′ Khi ta có u ˜m ∈ C0∞ (Ω′ ) ∥˜ um − u˜∥W k,p (Ω′ ) = ∥um − u∥W k.p (Ω) W k,p (Ω′ ) suy u ˜m −→ u˜ m → ∞ Vì vậy, u˜ ∈ W0k,p (Ω′ ) Định lí 1.14 Cho u ∈ W0k,p (Ω) đặt  u(x) x ∈ Ω, u˜(x) = x ∈ Rn \Ω 24 ρ→0 Khi ta có, uρ −→ u W k,p (Ω), uρ (x) hàm nhân tử hóa uρ (x) cho cơng thức (1.7) Chứng minh Theo Định lí 1.13 ta có u ˜ ∈ W k,p (Rn ) Khi đó, Dα u˜ ∈ Lp (Rn ) với |α| ≤ k Theo tính chất hàm nhân tử hóa Định lí 1.8 đạo hàm yếu hàm nhân tử hóa ta có ρ→0 ∂ α u˜ρ −→ ∂ α u˜ Lp (Ω), ∀|α| ≤ k ρ→0 Điều có nghĩa u ˜ρ −→ u˜ W k,p (Ω) Theo cách xác định hàm u ˜ định nghĩa hàm nhân tử hóa, u˜ = u Ω, u˜ρ = uρ ρ→0 Do đó, uρ −→ u W k,p (Ω) Định lí 1.15 W0k,p (Rn ) = W k,p (Rn ) Nói cách khác, khơng gian C0∞ (Rn ) trù mật không gian Sobolev W k,p (Rn ) Chứng minh Chọn hàm ζ ∈ C ∞ (R+ ), R+ := [0, ∞) cho ≤ ζ(t) ≤ 1, ζ(t) = ≤ t ≤ 1, ζ(t) = t ≥   k,p n (R) Giả sử u ∈ W (R ), ta đặt u (x) = u(x)ζ |x| R Khi u(R) (x) = u(x) |x| ≤ R, u(R) (x) = |x| ≥ 2R   |x| Chú ý ∂xβ ζ bị chặn R ≥ Tính đạo hàm R u(R) (x) bất đẳng thức , ta thu X α (R) Dβ u(x) , hầu khắp nơi x ∈ Rn D u (x) ≤ c |β|≤|α| 25 Khi đó, với |α| ≤ k ta có 1/p  α (R) α D u − D u Lp (Rn )  =  Z