2.1.1 Định nghĩa ([5]). Không gian tôpô (X, τ) được gọi là s-đóng địa phương (locally s-closed) nếu với mỗi x ∈ X, tồn tại lân cận mở chính quy U
của x sao cho U là không gian con s-đóng của X.
2.1.2 Nhận xét.Mọi không gian s-đóng là không gians-đóng địa phương.
2.1.3 Định lý ([5]). Không gian tôpô (X, τ) là s-đóng địa phương nếu và chỉ nếu mỗi điểm x ∈ X, tồn tại tập mở chính quy U chứa x sao cho U là không gian con s-đóng địa phương.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên.
Điều kiện đủ. Trước hết ta sẽ chứng minh rằng nếu A là tập mở chính quy trong (X, τ) thì mọi tập mở chính quy trong không gian con (A, τA) cũng là tập mở chính quy trong (X, τ). Thật vậy, giả sử V là tập mở chính quy trong không gian con(A, τA). Khi đó ta có V = intA(clA(V)) =intA(A∩clX(V)) =
intX(A∩ clX(V)) = intXA∩ intX(clX(V)) = A∩ intX(clX(V)). Vì V ⊂ A
nên intX(clX(V)) ⊂ intX(clX(A)) = A. Suy ra V = A ∩ intX(clX(V)) =
intX(clX(V)). Do đó V là tập mở chính quy trong (X, τ). Bây giờ, giả sử x là điểm bất kỳ của X. Khi đó, theo giả thiết điều kiện đủ tồn tại U ∈ RO(X, τ),
U chứaxsao choU là s-đóng địa phương. Lại vìx ∈ U, U là s-đóng địa phương nên tồn tại tập mở chính quy V trong U sao cho x ∈ V và V là không gian con s-đóng của U. Theo chứng minh trên thì V là mở chính quy trong (X, τ)
và theo Hệ quả 1.3.8, V là không gian cons-đóng của X. Vậy, (X, τ) là không gian s-đóng địa phương.
2.1.4 Định lý ([5]). Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương
(i) X là s-đóng địa phương;
(ii) Với mọi x ∈ X, tồn tại tập mở chính quy U chứa x sao cho U là s-tập trong X;
(iii) Với mọi x ∈ X, tồn tại lân cận mở U của x sao cho int(cl(U)) là s-tập trong X;
(iv) Với mọi x ∈ X, tồn tại lân cận mở U của x sao cho scl(U) là s-tập trong X;
(v) Với mọi x ∈ X, tồn tại tập α-mở V chứa x sao cho scl(V) là s-tập trong X;
(vi) Với mọi x ∈ X, tồn tại tập α-mở V chứa x sao cho int(cl(V)) là s-tập trong X;
(vii) Với mọi x ∈ X, tồn tại tập trù mật địa phương V chứa x sao cho scl(V) là s-tập trong X;
(viii) Với mọi x ∈ X, tồn tại tập trù mật địa phương V chứa x sao cho int(cl(V)) là s-tập trong X;
(ix) Với mọi x ∈ X, tồn tại tập mở V chứa x sao cho int(cl(V)) là không gian con s-đóng của X.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Suy từ Mệnh đề 1.3.6 và nhận xét mỗi tập mở chính quy là tập trù mật địa phương.
(ii) ⇒ (iii). Hiển nhiên.
(iii) ⇒ (iv). Suy từ Mệnh đề 1.1.13.
(iv) ⇒ (v). Suy từ nhận xét mỗi tập mở là tập α-mở.
(v)⇒ (vi), (vi) ⇒(vii), (vii) ⇒(viii), (viii) ⇒(ix). Suy từ Mệnh đề 1.1.26 và nhận xét mỗi tập α-mở là tập trù mật địa phương.
(ix) ⇒ (i). Suy từ Mệnh đề 1.3.6, Định lý 2.1.3 và nhận xét int(cl(V)) là tập mở chính quy chứa x.
2.1.5 Định nghĩa ([8]). Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó
(i) (X, τ) được gọi là S-đóng địa phương (locally S-closed) nếu với mỗi
x ∈ X, tồn tại lân cận mở chính quy U của x sao cho U là không gian con
S-đóng.
(ii) (X, τ) được gọi là tựa H-đóng địa phương (locally quasi H-closed) nếu mỗi x ∈ X, tồn tại lân cận mở chính quy U của x sao cho U là không gian con tựa H-đóng.
2.1.6 Định nghĩa ([6]). Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không liên thông cực trị (extremally disconnected) nếu bao đóng của mỗi tập mở là tập mở.
2.1.7 Mệnh đề ([6]). Giả sử (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương
(i) (X, τ) là không gian không liên thông cực trị; (ii) cl(U) = scl(U), với mọi U ∈ SO(X, τ);
(iii) RO(X, τ) = RC(X, τ).
2.1.8 Mệnh đề. Giả sử (X, τ) là không gian không liên thông cực trị. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương
(i) (X, τ) là không gian s-đóng; (ii) (X, τ) là không gian S-đóng; (iii) (X, τ) là không gian tựa H-đóng.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (iii). Suy từ Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.5.
(iii) ⇒ (i). Giả sử (X, τ) là không gian không liên thông cực trị và tựa
H-đóng, {Uα : α ∈ ∧} là một phủ của X bởi các tập nửa mở. Khi đó,
{cl(Uα) : α ∈ ∧} là một phủ của X bởi các tập đóng chính quy. Vì (X, τ) là không gian không liên thông cực trị nên nhờ Mệnh đề 2.1.7, {cl(Uα) : α ∈ ∧}
con hữu hạn ∧0 của ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα) : α ∈ ∧0}. Theo Mệnh đề 2.1.7,
cl(Uα) = scl(Uα) với mọi α ∈ ∧0. Suy ra X = ∪{scl(Uα) : α ∈ ∧0}. Vậy,
(X, τ) là không gian s-đóng.
2.1.9 Bổ đề. Giả sử (X, τ) là không gian không liên thông cực trị và U ∈ τ. Khi đó, U là không gian con không liên thông cực trị của (X, τ).
Chứng minh. Giả sử(X, τ) là không gian không liên thông cực trị và U ∈ τ. Ta chứng minh U là không gian con không liên thông cực trị. Thật vậy, giả sử V là tập mở bất kỳ trong U. Khi đó V ∈ τ. Vì (X, τ) là không gian không liên thông cực trị nên clX(V) ∈ τ. Từ đó suy ra clU(V) =U ∩clX(V) là tập mở trong U. Vậy U là không gian con không liên thông cực trị của (X, τ).
2.1.10 Hệ quả. Giả sử (X, τ) là không gian không liên thông cực trị. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương