Khắc phục, sửa chữa các khó khăn, sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải toán nguyên hàm, tích phân cho học sinh trung học phổ thông

Lời cảm ơn Trớc hết xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Thuận, ngời thầy đà nhiệt tình hớng dẫn hoàn thành luận văn thời gian qua Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh, tất thầy cô giáo đà tham gia giảng dạy suốt trình học tập nghiên cứu hoàn thành chuyên đề thạc sĩ khoá 16, ngành Toán trờng Đại học Vinh Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo Ban giám hiệu, tổ Toán trờng THPT Dơng Đình Nghệ - Thiệu Hoá - Thanh Hoá, nơi công tác giảng dạy, đà giúp đỡ tạo điều kiện cho trình tiến hành thực nghiệm s phạm Luận văn có giúp đỡ tài liệu ý kiến góp ý quý báu thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận Phơng pháp giảng dạy môn Toán Cuối cùng, xin đợc gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ngời cổ vũ động viên để hoàn thành tốt Luận văn Tuy đà có nhiều cố gắng, Luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đọc Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả QUY C V CC CH VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN Viết tắt Viết đầy đủ HS : Học sinh Nxb : Nhà xuất CH : C©u hái SGK : Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thông MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu NhiƯm vơ nghiªn cøu Giả thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu Đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn Chương I: Một số khó khăn, sai lầm học sinh Trang 1 3 4 4 Trong qu¸ trình học chủ đề Nguyên hàm, Tích phân 1.1 Chủ đề Nguyên hàm Tích phân SGK 1.1.1 Chủ đề Nguyên hàm Tích phân SGK S1 1.1.2 Chủ đề Nguyên hàm Tích phân SGK S2 1.1.3 Chủ đề Nguyên hàm Tích phân SGK S3 1.1.4 Chủ đề Nguyên hàm Tích phân SGK S4 1.1.5 So sánh điểm khác sách S1, S2, S3, S4 1.2 Khó khăn trình học khái niệm Nguyên hàm, Tích phân 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Khó khăn trình học khái niệm Nguyên hàm 1.2.3 Khó khăn trình nắm vững chất khái niệm Tích phân 5 10 14 16 20 22 22 23 24 1.3 Khó khăn trình giải toán Nguyên hàm, Tích phân 1.3.1 Khó khăn việc tìm nguyên hàm định nghĩa 1.3.2 Khó khăn việc tìm phơng pháp giải toán tìm nguyên 27 27 hàm, tích phân 1.3.3 Khó khăn việc vận dụng tính chất nguyên hàm để đa 29 nguyên hàm nguyên hàm 31 1.3.4 Khó khăn việc áp dụng phơng pháp đổi biến số vào việc tìm nguyên hàm, tích phân 1.3.5 Khó khăn việc sử dụng phơng pháp lấy nguyên hàm tích 32 phân phần vào giải toán tìm nguyên hàm, tích phân 1.3.6 Khó khăn việc ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, 36 thĨ tÝch cđa vËt thĨ 1.4 Mét sè sai lầm thờng gặp trình giải toán Nguyên hàm, Tích 37 phân 1.4.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng 1.4.2 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt 1.4.3 Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan 1.4.4 Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm điều kiện áp dụng 40 41 43 45 định lí 1.4.5 Sai lầm liên quan đến thao tác t 1.4.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức tơng ứng 1.4.7 Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức 1.4.8 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi toán 1.4.9 Sai lầm liên quan đến suy luận 1.4.10 Sai lầm liên quan đến việc không hiểu chất đối tợng 1.5 Kết luận chương I Chương II: Mét sè BIỆN PHP SƯ PHạM NHM KHC PHC, sửa 46 49 50 51 52 53 55 56 chữa KHể KHN, sai lầm rèn luyện kĩ giải toán nguyên hàm, tích phân cho học sinh THPT 57 2.1 Cơ sở lí luận kĩ giải tập toán 2.2 Định hớng xây dựng biện pháp s phạm 2.3 Các biện pháp s phạm rèn luyện kĩ giải toán Nguyên hàm, Tích 57 66 phân nhằm khắc phục, sữa chữa khó khăn, sai lầm cho học sinh THPT học tập chủ đề 67 2.3.1 Biện pháp 1: Tăng cờng tình s phạm, tạo tiền đề xuất phát để hình thành khái niệm Nguyên hàm, Tích phân 2.3.2 Biện pháp 2: Tăng cờng khả nhận dạng, thể giải toán 67 Nguyên hàm, Tích phân 2.3.3 Biện pháp 3: Tổ chức cho học sinh phát thực hành quy tắc thuật 72 giải, tựa thuật giải 2.3.4 Biện pháp 4: Tăng cờng sử dụng phơng tiện trực quan trình t 83 phối hợp hai phơng diện đại số hình học việc ứng dụng tích phân để tìm diện tích thể tích 2.3.5 Biện pháp 5: Tổ chức cho học sinh phân tích, lựa chọn, tách 90 biệt nhóm dấu hiệu đặc trng mối quan hệ chất, từ tìm cách giải toán 95 2.3.6 Biện pháp 6: Hạn chế khắc phục sai lầm 2.5 Kt lun chng 98 100 101 101 101 101 101 101 112 113 114 Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Nội dung thực nghiệm 3.3 Tổ chức thực nghiệm 3.3.1 Chän líp thực nghiệm 3.3.2 TiÕn tr×nh thùc nghiƯm 3.4 KÕt ln chung vỊ thùc nghiƯm s ph¹m KẾT LUẬN CHUNG CỦA LUẬN VĂN TÀI LIỆU THAM KHẢO Mở đầu I Lí chọn đề tài 1.1 Nghị Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vào việc đào tạo ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thờng gặp, qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nớc (dẫn theo Tài liệu Bồi dỡng giáo viên môn Toán năm 2005, tr 1) Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đà đề ra: Phải đổi phơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp t sáng tạo ngời học Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến phơng tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t sáng tạo học sinh, ; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú häc tËp cho häc sinh” 1.2 Giải tích nội dung khó khơng học sinh mà trí sinh viên trường đại học Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân trước phần kiến thức giải tích cổ điển, chủ đề thuộc chương trình bậc đại học, sau đưa xuống bậc THPT, chương cuối giải tích lớp 12 Do chủ đề Nguyên hàm, Tích phân phần giải tích tương đối khó trừu tượng học sinh THPT 1.3 Đã có nhiều quan điểm sư phạm trình bày chủ ®Ị Ngun hàm, Tích phân chương trình THPT Sách giáo khoa giải tích cũ có nhiều quan điểm trình bày chủ đề Ngun hàm, Tích phân, có sách giáo khoa xem chủ đề Nguyên hàm công cụ để phục vụ cho việc trình bày định nghĩa tích phân Có SGK lại xem Ngun hàm có vị trí ngang hàng với Tích phân dành cho chương Về Tích phân, có SGK định nghĩa Tích phân giới hạn tổng tích phân Riemann, có SGK định nghĩa Tích phân (của hàm số liên tục) công thức Newton - Leibniz, Trong sách giải tích 12 chỉnh lí hợp năm 2000 cđa nhóm tác giả: GS Ngơ Thúc Lanh, GS Vũ Tuấn, PGS Ngơ xn Sơn trình bày theo quan điểm Nguyên hàm công cụ phục vụ cho việc định nghĩa tích phân hàm số liên tục theo cơng thức Newton-Leibniz Và SGK cđa nhóm tác giả (Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, ) trình bày theo quan điểm Ngun hàm cơng cụ phục vụ để định nghĩa Tích phân 1.4 Chính thay đổi chương trình tạo thiếu ổn định gây nên khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp Mặc dù có đợt bồi dưỡng thường xuyên theo chu kì, đợt tập huấn chương trình thay sách giáo khoa mới, chưa đủ để làm cho giáo viên có sâu sắc chất vấn đề, hình dung rõ điểm, lí mức độ thay đổi chương trình nội dung Nội dung chủ đề Nguyên hàm Tích phân khó trừu tượng học sinh chưa có nhiều tác giả nghiên cứu ti ny, tiếp cận dới nhiều hình thức kh¸c 1.5 Trong q trình giảng dạy trường THPT chóng tơi băn khoăn trăn trở nhiều việc dạy học chủ đề Nguyên hàm, Tích phân, lí sau: - Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân phần kiến thức quan trọng nằm chương trình lớp 12, lớp cuối cấp bậc học phổ thông Chủ đề góp phần kiến thức quan trọng việc thi tốt nghiệp, thi vào trường đại học, cao đẳng THCN học sinh - Phần đông học sinh học tập chủ đề gặp khó khăn như: khơng nắm rõ chất, đường hình thnh định nghĩa Tớch phõn; khú khn vic nhn dạng hàm số dấu Nguyên hàm, Tích phân để tìm phương pháp giải; khó khăn trình đổi biến số, việc tìm cận tích phân, khơng nắm rõ chất tốn diện tích, thĨ tÝch cịn nhiều khó khăn khác Chính khó khăn phần làm cho em thiếu tự tin trình lĩnh hội tri thức, khơng gây hứng thú học tập cho học sinh đơi dẫn đến tình trng ngại tiếp xúc với toán chủ ®Ị nµy - Nội dung Tích phân cịn có nhiều ứng dụng thực tế, có nhiều vật dụng, hình vẽ khó việc tính diện tích hình thang cong, hình n ngựa, áp dụng tích phân vào việc làm Có điều học sinh học tập phần áp dụng cách máy móc cơng thức tính diện tích, thể tích mà khơng hình dung tính diện tích, thể tích vật có hình dạng nào? Vì lí nên tơi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: "Kh¾c phơc, sửa chữa khó khăn, sai lầm rèn luyện kĩ giải toán Nguyên hàm, Tích phân cho học sinh trung häc phỉ th«ng" II Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số khó khăn học sinh trình lĩnh hội kiến thức Nguyên hàm, Tớch phõn - Nghiên cứu số sai lầm học sinh học chủ đề Nguyên hàm, Tích phân - Nghiên cứu cách thức bồi dưỡng kĩ giải tốn Ngun hàm, Tích phân III Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu, phân tích, so sánh, đối chiếu, nội dung chủ đề Ngun hàm, Tích phân SGK Tốn 12 hiƯn hµnh trước - Làm sáng tỏ khó khăn học sinh học tập chủ ny - Làm sáng tỏ sai lầm học sinh học chủ đề - Xây dựng biện pháp khắc phục khó khăn, s÷a ch÷a sai lầm rốn luyn k nng cho hc sinh học chủ đề - Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm IV Giả thuyết khoa học Có thể làm sáng tỏ khó khăn, sai lÇm học sinh giải tốn Ngun hàm, Tích phân đ nhng bin phỏp s phm phù hợp để khắc phục båi dìng kĩ giải tốn Nguyên hàm, Tích Phân nh»m nâng cao hiệu dạy học chủ đề V Phư¬ng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lí luận 5.2 Nghiên cứu thực tiễn giảng dạy 5.3 Thực nghiệm sư phạm VI Đóng góp luận văn 6.1 Đóng góp mặt lí luận Gúp phn lm rừ nhng kin thc, kĩ năng, nhn dạng thể hiện, dạy học giải tập toán 6.2 Đóng góp mặt thực tiễn Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh trình giảng dạy học tập chủ đề Nguyên hàm, Tích phân trường THPT VII Cấu trúc luận văn Luận văn phần mở đầu kết luận tài liệu tham khảo cú chng Chng I: Một số khó khăn, sai lầm học sinh trình học chủ đề Nguyên hàm, Tích phân Chng II: Mt s bin phỏp s phm nhằm khắc phục, sữa chữa khó khăn, sai lầm rèn luyện k nng gii toỏn Nguyờn hàm, Tích phân cho häc sinh THPT Chương III: Thực nghim s phm Chơng I: Một số khó khăn, sai lầm học sinh THPT trình học chủ đề nguyên hàm, tích phân 1.1 Chủ đề Nguyên hàm Tích phân SGK Trong luận văn cập đề bốn SGK dùng để dạy học chủ đề Nguyên hàm, Tích phân - Sách "cải cách" đợc sử dụng tỉnh phía Bắc từ năm 1990 đến năm 2000: Giải tích12 Giáo s Ngô Thúc Lanh - Vũ Tuấn - Ngô Xuân Sơn, Nhà xuất Giáo dục năm 1992 - Sách "cải cách" đợc sử dụng tỉnh phía Nam từ năm 1990 đến năm 2000: Giải tích12 Giáo s Trần Văn Hạo chủ biên, Nhà xuất Giáo dục năm 1997 - Sách "chỉnh lý hợp nhất" đợc sử dụng thống nớc từ năm 2000 đến năm 2007: Giải tích12 Giáo s Ngô Thúc Lanh - Vũ Tuấn - Ngô Xuân Sơn, Nhà xuất Giáo dục năm 2000 - Sách "nâng cao" đợc sử dụng từ năm 2008 nay: Giải tích12 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Trần Phơng Dung - Nguyễn Xuân Liêm Đặng Hùng Thắng, Nhà xuất Giáo dục ấn hành Chúng kí hiệu bốn sách giáo khoa lần lợt là: S1, S2, S3, S4 1.1.1 Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân SGK S1 Sách S1 xem Nguyên hàm có vị trí ngang hàng với Tích phân, sách S1 dành hai chơng để trình bày chủ đề Nguyên hàm, Tích phân Chơng III Nguyên hàm, Chơng IV - Tích phân Chơng III trình bày chủ đề: định nghĩa Nguyên hàm tính chất Nguyên hàm, bảng nguyên hàm bản, phơng pháp tính Nguyên hàm Khái niệm Nguyên hàm hàm số khoảng (a,b) đoạn [a, b] đợc xây dựng Sau chứng minh hai nguyên hàm hàm số sai khác số sách S1 định nghĩa: " KÝ hiƯu biĨu thøc F(x) + C lµ y = d quay quanh trục tung tạo nên khối tròn xoay, thể tích V đợc xác định theo c«ng thøc d V = π ∫ g ( y )dy (5) c Tuy nhiên việc làm học sinh, giáo viên gặp khó khăn (đà đợc phân tích 1.3.6) Một biện pháp khắc phục khó khăn việc sử dụng phơng tiện trực quan tợng trng trình t phối hợp hai phơng diện đại số hình học để phân tích toán hiểu rõ chất toán Trớc hết giáo viên cho học sinh quan sát hình vẽ hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = f(x), x = a, x= b trục ox (Hình 2.4) Hình vẽ hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x), y =g(x), x = a, x= b (H×nh 2.5), H×nh vÏ 2.6 vỊ vËt thĨ quay xung quanh Ox, Oy Và dẫn tới công thức tính diện tích thĨ tÝch (1), (2), (4) B»ng viƯc quan s¸t hình vẽ học sinh nắm rõ toán diện tích, thể tích, phần khắc phục khó khăn, sai lầm học sinh giải toán diện tích, thể tích, học sinh tự tay vẽ nên hình phẳng mà cần xác định thể tích, diện tích Đó yếu tố tạo nên høng thó häc tËp cđa häc sinh H×nh 2.4 y Hình 2.5 (C) a b x H×nh 2.6 TiÕp theo rèn luyện kĩ cho học sinh thông qua ví dụ cụ thể để thấy đợc vai trò phơng tiện trực quan Ví dụ 20: (Bài tập 27, trang 167 giải tích 12 Nâng cao) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sè y = cos 2x, trơc hoµnh, trơc tung vµ đờng thẳng x = Diện tích cần tính là: π π + cos x dx S = ∫ cos xdx = ∫ x sin x π π =( + ) |0 = Hình 2.7 VÝ dơ 21: TÝnh diƯn tích hình phẳng giới hạn parabol y2 = 8x đờng thẳng x =2 Với toán học sinh gặp phải khó khăn áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng, bàng hình ảnh trực quan giúp học sinh phát diện tích hình phẳng tính giới hạn hai đồ thị hµm sè y=2 2x , y = -2 2x Hình 2.8 đờng thẳng x = Và tính chất đối xứng hình suy diện tích đợc xác ®Þnh nh sau: 2 0 S = ∫ 2 x dx = ∫ x dx = 32 x x |0 = 3 Tuy nhiên toán có häc sinh sÏ ph¸t hiƯn diƯn tÝch cđa y2 hình phẳng cần tính giới hạn đồ thị hàm số x = , x = đ- ờng thẳng y =- 4, y = Khi em vận dụng công thức (3) để xác định S = ( y2 32 − 2)dx = VÝ dô 22:TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sè y = x 2, y = y=x ,y= x A x2 , y Đối với phần diện tích hình phẳng cần xác định giới hạn bốn hàm số nên việc x O sử dụng công thức (2) để xác định trừu tợng không B Hình 2.9 dùng đến t hình học tợng trng Khi cho học sinh quan sát hình vẽ 2.9 học sinh phát để xác định diện tích trớc tiên ta phải dùng đến t đại số để tìm hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = x2 vµ y = x ,y= x vµ y = x2 ,y= tích hình phẳng cần xác ®inh x2 vµ y = x , y = x2 y = x Từ suy diƯn 2.3.5 BiƯn ph¸p 5: Tỉ chøc cho học sinh phân tích, lựa chọn, tách biệt nhóm dấu hiệu đặc trng mối quan hệ chất, từ tìm cách giải toán Việc tổ chức cho học sinh phân tích, lựa chọn, tách biệt nhóm dấu hiệu đặc chng mối quan hệ chất để tìm cách giải cho toán biện pháp giúp học sinh khắc phục, sữa chữa khó khăn sai lầm rèn luyện kĩ giải toán Nguyên hàm, Tích phân Trong dạng toán Nguyên hàm, Tích phân toán ta áp dụng thuật giải nh phơng pháp đổi biến số, phơng pháp phân tích, phơng pháp tích phân phần mà nhiều toán ta phải phân tích dấu hiệu đặc trng mối quan hệ chất để tìm hớng giải Trong số toán nguyên hàm, tích phân hàm số lợng giác có mố quan hệ sau: - NÕu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx), th× sư dơng phÐp ®ỉi biÕn t = cosx - NÕu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) sử dụng phép đổi biÕn t = sinx - NÕu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) sử dụng phép đổi biến t = tgx VÝ dơ 23: TÝnh tÝch ph©n sau: I= sin x ∫π ( + sin x ) dx Giáo viên cho học sinh nhận xét, phân tích hàm số f(x) = sin x (2 + sin x ) điều đặc biệt hàm số HS phân tích toán: f(x) = sin x (2 + sin x) = sin x cos x = f(sinx, ( + sin x) 2 sin x ( − cos x ) f(x) = − (2 + sin x) = -f(sinx, -cosx) Từ rút đợc mối quan hƯ sau: f(sinx, cosx) = -f(sinx, -cosx) cosx) t×m Xt phát từ mối quan hệ học sinh nghĩ đến phơng pháp giải toán: Đặt t = sinx ®ã dt = cosxdx ⇒ t = 0; §æi cËn: x = x= − π ⇒ t = -1 Khi ®ã: I = 2∫ tdt −1 (2 + t)2 ( + t ) − dt =  − d ( + t ) ∫ 2 + t ( + t )  −1 ( + t ) −1   = 2∫   = 2 ln ( + t ) +  = ln − 2 + t Hoặc toán Nguyên hàm, Tích phân hàm số hữu tỉ để giải đợc ta phải dựa vào dấu hiệu đặc trng để sử dụng phơng pháp phơng pháp: Phơng pháp tam thức bậc hai, phơng pháp phân tích, phơng pháp đổi biến, phơng pháp tích phân phần, kết hợp nhiều phơng pháp với Ví dụ 24: Tính tích phân: I = Giải: dx x + 4x + BiÕn ®ỉi: 1 1 1  = =  −  2 x + 4x + x + x +  x + x +  ( )( ) Khi ®ã: I= 1  dx dx  ∫  −∫ 2  x +1 x + +) Ta xác định tích phân Đặt x = tgt, Suy ra: I1 = ∫ dx x +1 −π π