SKKN cách khắc phục những khó khăn sai lầm của học sinh khi học chủ đề giới hạn

1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Về lý luận: Chủ đề Giới hạn là một chủ đề cơ bản, có vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích Toán học nói chung và Giải tích Toán học của phổ thông nói riêng, không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đối tượng hàm số mà còn là một công cụ đắc lực của Giải tích trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn,…ngoài ra chủ đề này có nhiều ứng dụng về mặt lý thuyết cũng như¬ thực tiễn. Trên cơ sở nội dung của chủ đề này, ta có thể giải quyết nhiều vấn đề thuộc phạm vi Đại số, Số học, Hình học, Vật lý, ... Vì vậy, dạy học chủ đề Giới hạn ở trư¬ờng THPT có ý nghĩa rất quan trọng. Có thể nói Giới hạn là kiến thức mở đầu cho bộ môn Giải tích ở tr¬ường phổ thông, nó là cơ sở đối với hai phép tính cơ bản của Giải tích toán học là phép tính đạo hàm và phép tính vi phân. Giới hạn còn đ¬ược áp dụng nh¬ư một ph¬ương pháp để giải một số dạng toán nh¬ư: tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, tìm tiệm cận của đồ thị, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức, xét sự tồn tại nghiệm của ph¬ương trình và bất phương trình ... Dãy số, hàm số cùng với khái niệm Giới hạn xây dựng khái niệm đạo hàm, vi phân, tích phân. Các bài toán về tính Giới hạn, các phư¬ơng pháp thông dụng và vấn đề chuyển qua Giới hạn trong các phép toán về Giới hạn là nền tảng cơ bản của Giải tích toán học và là một trong những phép toán cốt lõi nhất của Giải tích hiện đại đây là cơ sở để học sinh có khả năng tiếp tục học lên . Về thực tiễn: Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “ rời rạc”, “ tĩnh tại”, còn khi học về Giải tích vận dụng kiểu tư duy “ vô hạn”, “ liên tục”, “ biến thiên” mà khái niệm Giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với sự “ vô hạn “ , “ liên tục”, “ biến thiên” đó, chẳng hạn: Trong phần bài tập ta thấy các kiểu nhiệm vụ cơ bản yêu cầu HS thực hiện được: Tìm giới hạn của dãy số hay của hàm số; Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục của hàm số, tìm m để hàm số liên tục tại điểm... SGK yêu cầu học sinh vận dụng được các định lý để tìm giới hạn của một dãy số hay của một hàm số (tức là cần rèn luyện các kĩ năng tìm giới hạn cho học sinh); Số tiết dành cho phần giới hạn là ít nên học sinh không thể tiếp thu hết và hiểu một cách chính xác về giới hạn. 2. Các khó khăn và sai lầm thường gặp của HS trong quá trình học chủ đề giới hạn Khi học chủ đề giới hạn học sinh sẽ làm quen với đối t¬ượng mới, kiểu tư duy khác hơn những kiểu tư duy mà các em đã gặp phải trước đó, nên học sinh gặp phải rất nhiều khó khăn sai lầm là không thể tránh khỏi.Thực tiễn cho thấy trong quá trình học tập học sinh thường gặp phải các khó khăn sai lầm: 2.1. Khó khăn sai lầm về kiến thức: 2.1.1. Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm bản chất của khái niệm, định lý : Nếu xét Giải tích ở trường THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng rất khó hình thành cho học sinh vì học sinh chưa nhận thức hết tầm quan trọng cũng như các khía cạnh tinh vi trong lập luận xung quanh vấn đề này, nếu như muốn nắm vững được bản chất đích thực vấn đề này. Còn mấy lâu nay khi tìm Giới hạn hay xét tính liên tục, học sinh vẫn đang còn nặng về thuật toán, nói cách khác là thiên về cú pháp mà còn coi nhẹ ngữ nghĩa, chẳng hạn ngay sau khi học xong khái niệm giới hạn hàm số ( mà chưa học đến các định lý về giới hạn và hàm số f(x) liên tục) thì học sinh cho rằng việc tìm giới hạn của f(x) khi x a rất đơn giản: chỉ việc thay x = a và tính f(a). Khi đó f(x) =f(a) điều này phản ánh rằng học sinh chưa hiểu bản chất kí hiệu: lim. Ví dụ1: Tính với cách nghĩ như vậy nên việc tìm giới hạn chỉ là thay x = 9 vào để cho kết quả, suy nghĩ kiểu như vậy dẫn đến cho rằng không tồn tại. Để cho học sinh xem xét đồng thời những đối tượng thõa mãn các định nghĩa khái niệm và định lí (qua các ví dụ) và các đối tượng không thỏa mãn một trong các khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ ) qua đó làm sáng tỏ cho học sinh hiểu và nắm vững bản chất của một khái niệm hay định lí, chẳng hạn: Ví dụ2: Tính (?) : Học sinh cho rằng : = f(9) = = 0 vậy = 0 () : Thực ra thì hàm số f(x) = không có giới hạn tại x = 9 vì tập xác của hàm số f(x) : , tức tập xác định là K = . Do đó không thể áp dụng định nghĩa f(x) được vì không thể lấy bất kỳ dãy nào cả để thõa mãn điều kiện của định nghĩa đó là: xn K , xn 9 mà 9 , nên hàm số đã cho không có giới hạn tại x = 9.

A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài .2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu .3 Đối tượng khảo sát, thực nghiệm B NỘI DUNG Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.1 Khó khăn sai lầm kiến thức: 2.1.1 Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm chất khái niệm, định lý : 2.1.2 Khó khăn sai lầm về hình thức (như hiểu sai cơng thức, kí hiệu…) 2.2 Khó khăn sai lầm kĩ năng: .6 2.2.1.Khó khăn sai lầm vận dụng: định nghĩa, định lý, công thức 2.2.2 Khó khăn sai lầm về kĩ biến đổi 2.2.3 Khó khăn sai lầm về định hướng kĩ tính tốn .8 C KẾT LUẬN 12 Kết luận chung 12 Ý Nghĩa SKKN 12 Khả ứng dụng triển khai SKKN .12 4.Những kiến nghị đề xuất 13 A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài - Về lý luận: Giải tích là nội dung và khó đới với lớp học sinh lớp 11 Trước học sinh học nhiều năm về Đại số; Giới hạn, Hàm số liên tục, em được làm quen từ đầu Tư vấn đề thuộc về Giải tích và kỹ thuật giải bài tốn Giải tích có phần khác với Đại số Học sinh chuyển từ làm việc những đối tượng hữu hạn sang những đới tượng vơ hạn, địi hỏi trí tưởng tượng và tư trừu tượng phải phong phú và mức độ cao - Về thực tiễn: Khi học chủ đề Giới hạn học sinh làm quen với đối tượng mới, kiểu tư mang tính biện chứng Do học sinh gặp phải nhiều khó khăn sai lầm khơng thể tránh khỏi Bởi vì, sai lầm có tác dụng tích cực, sai lầm có ích việc xây dựng tri thức, đặc biệt tạo nên xem xét lại tri thức biết trước Vì trình dạy và học Tốn trường THPT, việc tìm hiểu những khó khăn, sai lầm và chướng ngại mà học sinh phải vượt qua để chiếm lĩnh tri thức toán học được đưa giảng dạy là bước đầu bỏ qua trình tìm kiếm những phương pháp dạy học hiệu nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức + Ở mức độ tri thức khoa học, giáo viên cần hiểu được lý phát sinh và chất tri thức cần dạy, mặt khác là những trở ngại mà nhà khoa học gặp phải trình xây dựng và phát triển tri thức này Đây là sở cho việc xác định nguồn gớc khoa học luận những khó khăn mà học sinh phải vượt qua để nắm vững tri thức + Ở mức độ tri thức cần dạy, thơng qua việc phân tích chương trình và SGK làm sáng tỏ những đặc trưng việc dạy tri thức q trình chuyển hóa sư phạm Nghiên cứu này giúp giáo viên xác định nguồn gốc sư phạm những khó khăn mà học sinh thường gặp Từ việc phát những khó khăn và chướng ngại tri thức Tốn học, giáo viên dự đoán được những sai lầm thường gặp học sinh lĩnh hội tri thức này + Ta nói có chướng ngại vấn đề được giải sau ta cấu trúc lại những quan niệm hay thay đổi quan điểm lý thuyết + Ta nói có khó khăn vấn đề được giải mà không cần phải xem xét lại những quan điểm lý thuyết xét hay thay đổi quan niệm hành - Về tính cấp thiết: Như ta biết, sai lầm là hậu không biết, không chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà cịn là hậu những kiến thức có từ trước, những kiến thức có ích đới với việc học tập trước lại là sai lầm đơn giản là khơng cịn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức Những sai lầm kiểu này là không dự kiến trước được, chúng được tạo nên từ những chướng ngại Những sai lầm sinh từ chướng ngại thường tồn tại dai dẳng và tái xuất sau chủ thể có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thớng nhận thức Vì giúp học sinh tìm sai lầm, phân tích ngun nhân dẫn đến sai lầm và tìm cách khắc phục những khó khăn sai lầm q trình lĩnh hội khái niệm là việc làm mang nhiều ý nghĩa quan trọng trình dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức học sinh góp phần nâng cao hiệu dạy học Từ những nguyên nhân nghiên cứu đề tài “Cách khắc phục khó khăn sai lầm học sinh học chủ đề giới hạn” Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 2.1 Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu chủ đề giới hạn sách lớp 11 (Bao gồm SGK, SBT, Chuẩn kiến thức kỹ năng) 2.2 Đối tượng nghiên cứu Học sinh khối 11 trường PT DTNT Đăk Hà Đối tượng khảo sát, thực nghiệm Học sinh lớp 11B1, 100% là học sinh DTTS, học lực yếu so với lớp khối Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu tài liệu sư phạm có liên quan - Phương pháp quan sát (việc dạy giáo viên và học học sinh) - Phương pháp thực nghiệm (kinh nghiệm giảng dạy ) Thời gian nghiên cứu Thời gian nghiên cứu năm học 2020-2021 B NỘI DUNG Thực trạng vấn đề nghiên cứu - Về lý luận: Chủ đề Giới hạn là chủ đề bản, có vị trí đặc biệt quan trọng Giải tích Tốn học nói chung và Giải tích Tốn học phổ thơng nói riêng, không những là đối tượng nghiên cứu trọng tâm đới tượng hàm sớ mà cịn là cơng cụ đắc lực Giải tích lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn,…ngoài chủ đề này có nhiều ứng dụng về mặt lý thuyết thực tiễn Trên sở nội dung chủ đề này, ta giải nhiều vấn đề thuộc phạm vi Đại số, Sớ học, Hình học, Vật lý, Vì vậy, dạy học chủ đề Giới hạn trường THPT có ý nghĩa quan trọng Có thể nói Giới hạn là kiến thức mở đầu cho mơn Giải tích trường phổ thơng, là sở đới với hai phép tính Giải tích tốn học là phép tính đạo hàm và phép tính vi phân Giới hạn được áp dụng phương pháp để giải sớ dạng tốn như: tính đạo hàm hàm sớ tại điểm, tìm tiệm cận đồ thị, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, xét tồn tại nghiệm phương trình và bất phương trình Dãy sớ, hàm sớ với khái niệm Giới hạn xây dựng khái niệm đạo hàm, vi phân, tích phân Các bài tốn về tính Giới hạn, phương pháp thông dụng và vấn đề chuyển qua Giới hạn phép toán về Giới hạn là nền tảng Giải tích tốn học và là những phép tốn cớt lõi Giải tích đại là sở để học sinh có khả tiếp tục học lên - Về thực tiễn: Đại số đặc trưng kiểu tư “hữu hạn”, “ rời rạc”, “ tĩnh tại”, học về Giải tích vận dụng kiểu tư “ vô hạn”, “ liên tục”, “ biến thiên” mà khái niệm Giới hạn là sở cho phép nghiên cứu vấn đề gắn liền với “ vô hạn “ , “ liên tục”, “ biến thiên” đó, chẳng hạn: Trong phần bài tập ta thấy kiểu nhiệm vụ yêu cầu HS thực được: Tìm giới hạn dãy sớ hay hàm sớ; Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục hàm sớ, tìm m để hàm sớ liên tục tại điểm SGK yêu cầu học sinh vận dụng được định lý để tìm giới hạn dãy số hay hàm số (tức là cần rèn luyện kĩ tìm giới hạn cho học sinh); Sớ tiết dành cho phần giới hạn là nên học sinh tiếp thu hết và hiểu cách xác về giới hạn Các khó khăn và sai lầm thường gặp HS trình học chủ đề giới hạn Khi học chủ đề giới hạn học sinh làm quen với đối tượng mới, kiểu tư khác những kiểu tư mà em gặp phải trước đó, nên học sinh gặp phải nhiều khó khăn sai lầm là tránh khỏi.Thực tiễn cho thấy trình học tập học sinh thường gặp phải khó khăn sai lầm: 2.1 Khó khăn sai lầm kiến thức: 2.1.1 Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm chất khái niệm, định lý : Nếu xét Giải tích trường THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng khó hình thành cho học sinh học sinh chưa nhận thức hết tầm quan trọng khía cạnh tinh vi lập luận xung quanh vấn đề này, muốn nắm vững được chất đích thực vấn đề này Cịn lâu tìm Giới hạn hay xét tính liên tục, học sinh nặng về thuật tốn, nói cách khác là thiên về cú pháp mà coi nhẹ ngữ nghĩa, chẳng hạn sau học xong khái niệm giới hạn hàm số ( mà chưa học đến định lý giới hạn hàm số f(x) liên tục) học sinh cho việc tìm giới hạn f(x) x → a đơn giản: việc thay x = a và tính f(a) Khi lim x→a f(x) =f(a) điều này phản ánh học sinh chưa hiểu chất kí hiệu: lim x − 18 x + 81 Ví dụ1: Tính lim với cách nghĩ nên việc tìm giới hạn x →9 x−9 là thay x = vào x − 18 x + 81 kết quả, suy nghĩ kiểu dẫn đến x−9 x − 18 x + 81 cho lim không tồn tại x →9 x−9 Để cho học sinh xem xét đồng thời những đối tượng thõa mãn định nghĩa khái niệm và định lí (qua ví dụ) và đới tượng khơng thỏa mãn khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ ) qua làm sáng tỏ cho học sinh hiểu và nắm vững chất khái niệm hay định lí, chẳng hạn: Tính lim x →9 Ví dụ2: ( 81 − x + x − lim (?) : Học sinh cho : lim x →9 ( x →9 ( ) ) 81 − x + x − = f(9) = ) 81 − x + x − = ( ) 81 − + − = (!) : Thực hàm số f(x) = ( ) 81 − x + x − khơng có giới hạn tại x =  81 − x ≥ ⇔ x = , tức tập xác định là K = { 9} tập xác hàm sớ f(x) :   x − ≥ Do khơng thể áp dụng định nghĩa lim x →9 f(x) được khơng thể lấy dãy { xn } nào để thõa mãn điều kiện định nghĩa là: ∀ xn { xn } → , nên hàm sớ cho khơng có giới hạn tại x = ∈ K , xn ≠ mà 2.1.2 Khó khăn sai lầm hình thức (như hiểu sai cơng thức, kí hiệu…) Bản chất + ∞ và - ∞ là những số thực cụ thể lớn nào đó, mà nói đến lân cận + ∞ tức là khoảng ( a , + ∞ ) và lân cận - ∞ là khoảng (- ∞ ; a) với ∀a ∈ R, khơng thể thực qui tắc hay phép toán đại số chúng lim Chẳng hạn: thể viết lim x→a x →a f ( x) = lim f ( x ) = L và lim g ( x ) = + ∞ không x→ a x→ a g ( x) f ( x) f ( x ) lim L = x→a = = g ( x ) lim g ( x ) + ∞ x →a Nhưng kết giới hạn (nếu có) dãy sớ u n là: Giới hạn hữu hạn ( 0, số L ≠ ) Giới hạn vô cực ( ± ∞ ), nên ta xem kí hiệu + ∞ - ∞ giới hạn dãy số Như vậy, thực hành giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn việc biến đổi phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm kí hiệu : ( + ∞ ) - ( + ∞ ) = ? ; ∞ = ? Ví dụ 3: Tính ( lim n → +∞ ( n2 +1 − n ) ( ) ) n + − n = lim n + − lim n = (+∞) − (+∞) = ; Học sinh A: nlim → +∞ n → +∞ n → +∞ ) (   n + − n = lim n + − 1 = ∞ ⋅ = ; Học sinh B: nlim n → +∞ → +∞ n   Học sinh C : lim n → +∞ ( ) ( ) ( ) n + − n = lim n + + ( − n ) = lim n + + lim ( − n ) = ( + ∞ ) + ( − ∞ ) = n → +∞ n → +∞ n → +∞ 2.2 Khó khăn sai lầm kĩ năng: Hiện trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sáng tạo, học sinh yếu Học sinh trường chuyên lớp chọn cịn có ý thức tự học tự độc lập suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tịi lời giải cho bài tốn, tự giải nhiệm vụ học tập, cịn đại đa sớ học sinh ỷ lại thầy cơ, sách giải bài tập, thiếu tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác định lý dạng bài tập bản, dẫn đến học tập cách máy móc, rập khuôn, không phát huy kỹ sáng tạo và không rèn được kỹ kỹ xảo giải bài toán giải tốn thừơng gặp khó khăn sai lầm 2.2.1.Khó khăn sai lầm vận dụng: định nghĩa, định lý, cơng thức Ví dụ 4: Tính lim x →1 x −1 (?) : Học sinh cho kết : lim x →1 = +∞ x −1 (!) : Nhưng kết này không tồn tại mà lúc này ta phải phân biệt ra: xlim →1 − 1 ∞ , lim = - ∞ và xlim = + không tồn tại + x →1 x − →1 x − x −1 2.2.2 Khó khăn sai lầm kĩ biến đổi Ví dụ 5: Tìm lim x →1 x2 −1 x −1 (?) : Học sinh giải : x2 −1 x2 −1 ( x + 1) = 2, = x+1 ⇒ lim = lim x →1 x →1 x − x −1 x2 −1 Kết là thật sai lầm biến đổi đồng = x+1 x −1 dấu xảy ra, chúng có tập xác định hoàn toàn khác (!) : Ta hiểu chất là chọn dãy xn → 1, xn ≠ , ( ∀n ∈ N * ) ⇒ Khi lim x →1 xn − = xn+1 xn − x2 −1 ( x + 1) = = lim x →1 x −1 Ví dụ : Tìm lim x →−∞ x + x + + 3x 16x + + x + (?) : Học sinh biến đổi là:   2 x  1+ + + 3÷ 1+ + + x x x + x + + 3x   x x lim = xlim = xlim = →−∞ →−∞ x →−∞  1 1  16x + + x + 16 + + + x  16 + + + ÷ x x x x   (!) : Thực học sinh thường hay nhầm lẫn đưa biểu thức khỏi dấu dạng x = x , kết x → + ∞ nên phải biến đổi, x 16 x + = x 16 + 2 và x x 1+ + − −2 x + x + + 3x x x = Khi xlim = xlim →−∞ →−∞ 1 16x + + x + 16 + − − x x Ta có : x + x + = x + + 2.2.3 Khó khăn sai lầm định hướng kĩ tính toán Khi tìm giới hạn, sớ học sinh khơng có thói quen xác định dạng thuộc lọai vơ định nào trước định hướng biến đổi tính tốn đại sớ, xem dạng: (- ∞ ) + (- ∞ ), (+ ∞ ) + (+ ∞ ), (+ ∞ ) - (- ∞ ), (- ∞ ) - (+ ∞ ) đều thuộc dạng vô định là ( ∞ ) - ( ∞ ), nên hay áp dụng kỹ thuật tính tốn khử dạng vơ định này để giải Đôi việc áp dụng cho phép tính được kết giới hạn, đa sớ trường hợp khác dẫn tới dạng vô định loại khác nữa, chẳng hạn: Ví dụ : x2 lim x − x = lim ∞ Tìm xlim → −∞ (x – x) = x → −∞ x → − ∞ 1 =+ ; x2 + x + x x3 Ví dụ : x2 + − x Tìm xlim → −∞ ( ( ) x + − x = lim x → −∞ x +1 + x ) = lim x → −∞ 1− cứ thực biến đổi   − x + − 1 x   = lim x → −∞ x (dạng ) − 1+ +1 x Nên đối với những dạng hiểu được chất xét sau, cụ thể: lim (x2 – x) = lim x 1 −  = +∞ x → −∞ x    + 12 − x x + − x = xlim x Ví dụ 8: xlim → −∞  → −∞ x x  Ví dụ : x → −∞ ) (     = lim − x + + 1 = +∞   x → −∞  x    2.2.4 Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm chất khái niệm dãy sớ q trình tính tổng cấp sớ nhân lùi vô hạn 1 + + n + 3 Ví dụ 9: Tính tổng S = + + Có học sinh giải sau: 1 ; ; n ; là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 3 Ta có dãy sớ 1; ; u1 = , công bội q = 1 1 S = + + + + n + = = Do 3 1− (!) Thoạt nhìn lời giải “rất ổn” học sinh lý phát sớ hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn và áp dụng công thức tổng u cấp số nhân lùi vô hạn S = − q ( | q |< 1) Nhưng để ý kỹ lời giải là khơng xác lẽ học sinh không xác định số hạng cấp số nhân lùi vô hạn, u1 = n = (điều này không với định nghĩa dãy số là n ∈ N * ) Lời giải là : Ta có dãy sớ u1 = 1 ; ; ; n ; là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 3 1 , công bội q = 3 Do 1 1 1 1 S = + + + + n + = + ( + + + n + ) = + = + = 3 3 2 3 1− 2.2.5 Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm chất quy tắc tính giới hạn vơ cực Ví dụ 10: Tính lim− x→3 3x + x2 − Có học sinh trình bày lời giải sau: ( 3x + ) = 3.3 + = 11 > Ta có xlim →3− ( ) lim x − = x→3− x − < 0, ∀x < Do lim− x→3 3x + x2 − = −∞ (!) Vậy bài toán sai lầm đâu học sinh áp dụng quy tắc tính giới hạn vơ cực? Sai lầm xảy khâu x − < 0, ∀x < Khơng khó khăn để phát x= - x − > Do để thu được lời giải mong ḿn giáo viên cần cho học sinh tránh sai lầm trình đánh giá dấu biểu thức mẫu Bài tốn được trình bày theo hai hướng Hướng thứ 1: Sửa lại sai sót đánh giá dấu mẫu Lời giải là : ( 3x + ) = 3.3 + = 11 > Ta có xlim →3− ( ) lim x − = x→3− x − < 0, ∀x ∈ (−3;3) Do lim− x→3 3x + x2 − = −∞ Tuy nhiên đới với học sinh có lực học trung bình yếu việc tìm được x − < 0, ∀x ∈ (−3;3) lại không hề đơn giản Chính q trình giảng dạy giáo viên trình bày bài tốn theo hướng thứ 2: giữ nguyên vùng đánh giá dấu mẫu 3x + x + Ta có lim = lim = lim− x + x→3− x − x→3− ( x − 3) ( x + ) x→3 x − 3x + lim− x→3 x + 3.3 + 11 = = >0 x+3 3+3 lim ( x − 3) = x→3− x − < 0, ∀x < Do lim− x→3 3x + x2 − = −∞ Khi dạy định lí phép toán về giới hạn giáo viên cần lưu ý học sinh “tính tồn tại” nêu định lí Kết thực Trên tơi trình bày sớ dạng tốn bản, những sai lầm cách giải sớ bài tốn giới hạn thường gặp Trước giải cần định hướng cho học sinh nhận dạng dạng toán và tiến hành bước giải phù hợp đặc biệt cần tránh phạm phải những sai lầm q trình giải Sau học sinh giải bài tập tương tự dạng, và tự đặt thêm số bài tập để khắc sâu thêm phương pháp giải Qua q trình giảng dạy, tơi nhận thấy học sinh nhận dạng được dạng toán, biết sử dụng phương pháp giải phù hợp có tiến đáng kể 10 việc trình bày lời giải tránh được những sai lầm Đặc biệt với những học sinh trung bình mức độ tiến rõ rệt nhất, nhiều em nhận dạng sử dụng cách giải phù hợp sai sót trình giải Sau trình tham gia giảng dạy và thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm mình trường PT DTNT khảo sát việc giải bài tốn tìm giới hạn đới với học sinh lớp trực tiếp giảng dạy hướng dẫn tự học buổi tối được kết sau: Khi chưa áp dụng chuyên đề Sau áp dụng chuyên đề Giỏi Khá TB Dưới TB Giỏi Khá TB Dưới TB 0% 14,5% 26% 59,5% 3% 20,7% 44, 2% 32,1% Với kinh nghiệm nho nhỏ xin được trao đổi đồng nghiệp Tôi mong được góp ý chân thành đồng nghiệp và thầy cô để càng ngày càng hoàn thiện về phương pháp nâng lũy thừa để giải phương trình và nâng cao hiệu giáo dục 11 C KẾT LUẬN Kết luận chung Sáng kiến kinh nghiệm thu được kết sau đây:  Đã phần nào làm sáng tỏ thực trạng dạy học chủ đề Giới hạn việc mô tả khó khăn, sai lầm học sinh giải Toán chủ đề này mà nguyên nhân chủ yếu những khó khăn, sai lầm này là chướng ngại về nhận thức học các khái niệm giới hạn Đặc biệt việc mở rộng khái niệm giới hạn dãy hàm số kéo theo số vấn đề cần quan tâm dạy học các khái niệm này;  Đề tài hệ thống hóa được những khó khăn và sai lầm học sinh thành hai phần chính: Khó khăn sai lầm về kiến thức, khó khăn sai lầm về kỹ Từ thơng qua ví dụ cụ thể để làm sáng tỏ vấn đề giúp học sinh tránh khỏi những khó khăn sai lầm thường gặp nêu Ý Nghĩa SKKN Chủ đề Giới hạn là chủ đề quan trọng và chương trình giải tích 11 Khi học chủ đề Giới hạn học sinh làm quen với đối tượng mới, kiểu tư mang tính biện chứng Do học sinh gặp phải nhiều khó khăn sai lầm khơng thể tránh khỏi Vì q trình dạy và học Tốn trường THPT, việc tìm hiểu những khó khăn, sai lầm và chướng ngại mà học sinh phải vượt qua để chiếm lĩnh tri thức toán học được đưa giảng dạy là bước đầu bỏ qua trình tìm kiếm những phương pháp dạy học hiệu nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức Chính việc nghiên cứu những sai lầm, khó khăn học sinh giúp nâng cao chất lượng dạy học chủ đề Giới hạn Khả ứng dụng triển khai SKKN Theo khả ứng dụng và triển khai đề tài là cao và dễ dàng thực thơng qua tiết dạy, tiết bài tập Bởi trình giảng dạy giáo viên thơng qua ví dụ để chỉnh sửa những sai lầm 12 học sinh, giúp học sinh hoàn thiện và nắm vững tri thức có liên quan 4.Những kiến nghị đề xuất Tơi mong ḿn xây dựng được mơ hình động thao tác được để học sinh và giáo viên sử dụng nhằm đạt hiệu cao giảng dạy và học tập chủ đề giới hạn Các mô hình được thiết kế đáp ứng được nhu cầu sử dụng giáo viên và học sinh Nghiên cứu giúp giáo viên thấy được hạn chế nhận thức học sinh THPT đối với chủ đề giới hạn Từ những hạn chế mà học sinh gặp phải giải vấn đề giới hạn học sinh giúp giáo viên đứng lớp có biện pháp để giúp học sinh nâng cao hiểu biết về giới hạn Việc những khó khăn sai lầm học sinh là lời cảnh tỉnh đến việc dạy phận giáo viên đối với chủ đề giới hạn là “dạy cho xong” Tôi mong muốn Ban giám hiệu nhà trường cần quan tâm, dạo sát việc dạy học, là dạy học tốn tránh tình trạng trùn thụ chiều tồn tại phận nhỏ giáo viên 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo, Khu Quốc Anh (2007), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn Tốn lớp 11, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Lê Quang Anh (chủ biên), Giới hạn dãy số, Nxb Đồng Nai Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thành Quang (1996), Sai lầm phổ biến giải toán, Nxb Giáo dục Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ( bản), chuẩn kiến thức kỹ lớp 11 Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Nxb Hà Nội PHỤ LỤC Đề kiểm tra tiết lần lớp 11B1 chương giới hạn hàm số, trường PT DTNT Đăk Hà Tài liệu tự học chương giới hạn lớp 11B1 14 ... dạy học chủ đề Giới hạn việc mơ tả khó khăn, sai lầm học sinh giải Toán chủ đề này mà nguyên nhân chủ yếu những khó khăn, sai lầm này là chướng ngại về nhận thức học các khái niệm giới. .. hoạt động nhận thức học sinh góp phần nâng cao hiệu dạy học Từ những nguyên nhân nghiên cứu đề tài ? ?Cách khắc phục khó khăn sai lầm học sinh học chủ đề giới hạn? ?? Phạm vi và đối tượng... chính: Khó khăn sai lầm về kiến thức, khó khăn sai lầm về kỹ Từ thơng qua ví dụ cụ thể để làm sáng tỏ vấn đề giúp học sinh tránh khỏi những khó khăn sai lầm thường gặp nêu Ý Nghĩa SKKN Chủ