Ví dụ 1.40: Trong phơng trình, bất phơng trình, ngời ta dùng chữ x để kí hiệu cho ẩn số và nói chung là phải tìm x (tất nhiên trong một số trờng hợp, đối với phơng trình và bất phơng trình, yêu cầu không phải là đi tìm x).
Nh vậy chữ x trong phơng trình, bất phơng trình nói chung ám chỉ đối tợng mà ta đang đi tìm. Thế nhng chữ x dùng trong tích phân không phải dùng để chỉ đối tợng ta cần tìm. Chữ x trong phơng trình mang tính chất tĩnh nhng chữ x trong tích phân thì không phải nh vậy.Đối với phơng trình x m− =3, việc chia ra x m≥ và x m< để từ đó tìm đợc x = m + 3 hoặc x = m – 3 là đúng đắn. Tuy
nhiên đối với tích phân
1
0
x m dx−
∫ mà đem chia ra x m≥ và x m< để rồi tìm ra hai kết quả lại là việc làm sai !
Học sinh không hiểu bản chất của khái niệm vi phân dx trong tính tích phân nghĩa là gì? Theo Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn “... khái niệm vi phân mang trong lòng cái gì đó vừa là “số không” vừa “không phải là số không”. Nếu coi
dx là “số không” thì
b
a
f(x)dx
∫ phải bằng không.
Nếu coi dx “không phải là số không” thì khi chia đoạn [ ]a;b bằng các điểm a x= 0 <xx <x2 < <... xn =b rồi lấy tổng k ( )k k
n 1 f = ξ ∆ ∑ (trong đó k x xk xk 1+
k
x
∆ có nhỏ nhng vẫn là một số hữu hạn, không phải là vô cùng nhỏ bé. Cho nên
dx phải hiểu là một quá trình nhỏ dần đến không; nó diễn tả một quá trình chứ không phải là một trạng thái, ...” [37, tr. 119 - 120].
Ví dụ 1.41: Tính I = ∫ − dx x x
3
1
(?): Trong ví dụ này nhiều học sinh sẽ làm nh sau. I = ∫ − dx x x 3 1 = ∫ x− x3dx 1 ) 1 ( = x − x3 +C 2 3 5 2 3 5 3
(!): Lời giải trên nhiều học sinh đã nghĩ rằng đói với căn bậc lẻ thì không cần đến điều kiện của x, và đơng nhiên nếu ta để nguyên căn bậc lẻ thì không sai, nhng để tính nguyên hàm này ta đa 3 x = 3
1
x , nh vậy vô tình ta đa hàm số căn về hàm số luỹ thừa mà không quan tâm đến định nghĩa hàm số luỹ thừa y = ax ( a > 0, a≠ 1). Vậy bài toán này ta phải xét hai trờng hợp x<0 và x>0, dù là cả hai trờng hợp kết quả là nh nhau.