Trớc hết ta đi tìm hiểu lịch sử hình thành khái niệm tích phân để thấy rõ hơn khó khăn trong việc hình thành khái niệm và bản chất khái niệm tích phân.
Ngời đầu tiên có ý tởng về phép tính tích phân là nhà bác học Ac- si -met. Ông đa ra một phơng pháp mới gọi là "phơng pháp vét cạn" để tính diện tích A của một viên phân parabol và đã sử dụng nó để giải nhiều bài toán tính diện tích, thể tích, chiều dài cung. Đó là tiền thân của phép tính tích phân.
Sau ông nhiều nhà toán học cũng tham gia mở đờng cho sự ra đời của tích phân trong đó phải kể đến những đóng góp xuất sắc của nhà khoa học Kê- plê ( J. kepler), Ca-va-li-ơ-ri ( B. Cavalieri), Phéc - ma, Đề - các, Ba- râu (I. Barrow)
Ông Kepler thích một phơng pháp cầu phơng hình tròn mang tính trực giác hơn. Ông đồng nhất hình tròn với một đa giác đều nội tiếp có vô hạn cạnh và tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng diện tích các tam giác vô cùng bé có đáy là cạnh đa giác đều, có đỉnh đa giác là tâm hình tròn. Trong trờng hợp tổng quát, ông chia các mặt và các vật thể thành các thành vô hạn các phần tử vô cùng bé có cùng kích thớc và áp dụng phơng pháp này vào việc tính thể tích các vật thể tròn xoay ( hình cầu, hình nón, hình trụ, ...). Tuy nhiên ông không trình bày tờng minh những ý tởng là cơ sở cho cách làm này.
Ông Ca-la-vi-ơ-ri quan niệm một đờng đợc tạo bởi các điểm giống nh một xâu chuỗi gồm nhiều hạt ngọc, một mặt đợc tạo bởi các đờng giống nh một miếng vải gồm nhiều sợi chỉ và một vật thể đợc tạo bởi các mặt giống nh một quyển sách gồm nhiều trang sách. Tránh việc lấy tổng của một số vô hạn phần tử, ông xác định tỷ số diện tích của các mặt nhờ tỷ lệ các phần tử " không thể phân chia đợc" cấu thành.
Nắm vững các phơng pháp của trờng phái Archimède, từ năm 1936 Fermat đã biết cầu phơng các parabol y = axm với m nguyên không âm sau đó ông xây dựng một công thức tổng quát hơn để cầu phơng tất cả các parabol và hyperbol. Đợc xây dựng trên quan điểm hình học giải tích mà ông là ngời sáng lập cùng với Descartes, phơng thức của ông cho phép phát triển khía cạnh thuật toán của giải tích các vô cùng bé.
Barrow( 1630- 1677) là ngời đầu tiên nhận rõ mối liên hệ gữa bài toán tiếp tuyến và bài toán diện tích, nhng ngôn ngữ hình học mà ông sử dụng ngăn cản ông diễn đạt tờng minh ý tởng của mình.
Các đại lợng vô cùng bé tơng đơng với các số gia vô cùng bé của Fermat đợc Newton (1642-1727) gọi là các mô măng. Giả sử rằng S là diện tích đã biết của một hình phẳng đợc giới hạn bởi một đồ thị hàm số không âm y =f(x), các trục toạ độ và đờng thẳng x = xo , (xo> 0). Ông xét mô măng diện tích 0S ( số gia ∆S của diện tích ) khi xo tăng thêm một lợng vô cùng bé KH là o ( số gia
∆x0 của x0). Ông tính tỷ số biến thiên tức thời của diện tích
o S
0 tại điểm có hoành độ xo và nhận thấy tỷ số này bằng f(x0). Kết quả này đợc phát biểu bằng thuật ngữ hiện đại S'(x0) = f(x0).
Newton xác định phần diện tích nằm dới đồ thị có phơng trình y = f(x) cho trớc bằng cách đảo ngợc các thao tác lấy đạo hàm, tức là tích phân bất định của f. Ông đặt đạo hàm vào vị trí trung tâm của tiến trình, u tiên tích phân bất định. Từ năm 1669 Newton nêu rõ mối quan hệ giữa bài toán diện tích và bài toán đạo hàm, tuy nhiên ta không thể tìm thấy ở Newton các định nghĩa t- ờng minh về đạo hàm, tích phân hay số gia vô cùng bé.
Trong luận án của mình (1666), Leibniz (1646-1716) nghiên cứu dãy các số chính phơng : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Ông lập dãy số mới có các số hạng là hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số đang xét, ông nhận thấy tổng n số hạng đầu tiên của dãy thứ hai bằng số thứ n+1 của dãy thứ nhất 1
Trong những ghi chép riêng năm 1675, Leibniz bắt đầu phát triển một cách hệ thống các ý tởng của mình để hình thành mối liên hệ với phép tính các vô cùng bé. Ông xem dãy số đầu tiên nh dãy các giá trị của một hàm số và dãy thứ hai nh dãy hiệu hai giá trị lân cận của hàm số đó. Ông dùng số 1 để KH số này và omn để KH tổng các hiệu 1. Tính chất nói trên đợc viết thành omn. 1 = y. Sau đó ít lâu Leibniz dùng dy thay cho 1 và ∫ (cách điệu hoá chữ S trong từ
summa) thay cho omn. Hệ thức ∫dy =y. KH tao nhã và tiện lợi này đợc dùng cho đến ngày nay đã cho phép ông hình thành phơng pháp hình thức tổng và hiệu các vô cùng bé. Leibniz đa vào sử dụng tích phân bất định và xem diện tích và thể tích nh tổng các vô cùng bé.
Chia sẻ quan niệm với Leibniz, Cauchy (1789-1857) là ngời đầu tiên đa ra một định nghĩa chính xác của tích phân (1823). Ông nhấn mạnh sự cần thiết phải chứng minh sự tồn tại của tích phân trớc khi làm rõ các tính chất của chúng, Cauchy xét hàm số thực f liên tục trên [x0, X ] , các phần tử x1, x2, ..., xn-1,
xn = X của [x0, X ] chia đoạn này thành n đoạn con. Cauchy lập tổng S = (x1 - x0)f(x0) + (x2-x1)f(x1) + ...+ (X-xn-1)f(xn-1)
Rồi chứng minh rằng, nếu f liên tục trên [x0; X] thì khi độ dài của đoạn con lớn nhất tiến đến 0, giới hạn của S tồn tại và "chỉ phụ thuộc vào các hàm
số f và các lân cận x0 X. Giới hạn này là cái mà ngời ta gọi là tích phân xác định ".
Thông qua lịch sử hình thành của tích phân mới thấy đợc phép tính Tích phân là một thành tựu lớn của trí tuệ nhân loại. Nó đã tạo nên một bớc ngoặt lớn trong sự phát triển của khoa học và trở thành một công cụ sắc bén, đầy sức mạnh đợc các nhà khoa học sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu cũng nh trong ứng dụng thực tiễn.
Nh vậy về mặt lịch sử khái niệm tích phân đợc định nghĩa thông qua giới hạn của tổng tích phân và độc lập với khái niệm nguyên hàm. Công thức Niu- tơn-lai-bơ-nit thiết lập quan hệ giữa nguyên hàm và tích phân đợc gọi là định lí cơ bản của tích phân. Tuy nhiên theo quan điểm của các nhà s phạm hiện nay đã trình bày theo một trình tự "ngợc" so với lịch sử hình thành của phép tính Tích phân. Sách giải tích 12 hiện hành đã định nghĩa Tích phân thông qua Nguyên hàm từ công thức Niu- tơn-lai-bơ-nít.
Việc không đa vào tổng tích phân làm cho học sinh không thấy đợc bản chất đích thực của phép tính Tích phân gây nên sự khó khăn cho học sinh và giáo viên trong quá trình dạy học khái niệm Tích phân, không những vậy phải thừa nhận hàng loạt những ứng dụng của Tích phân nh diện tích, thể tích, quãng đờng đi đợc của một vật đồng thời cũng khó cho giáo viên trong trờng hợp giải thích cho học sinh tại sao lại dùng KH∫f(x)dx,∫b
a
dx x
f( ) để chỉ Nguyên hàm, Tích phân trong khi khái niệm Tích phân đợc định nghĩa bằng tổng tích phân đúng nh lịch sử ra đời của nó thì các KH Nguyên hàm, Tích phân xuất hiện rất tự nhiên.